2013.2.3.4平面向量共线的坐标表示


北京市三里屯一中

2.3.4平面向量共线的坐标表示

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平行向量?方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
? b ? a

几何表示

向量共线定理:

? ? ? ? ? ? 如果 a, b 其中 b ? 0共线,当且仅当存在实数 ? 使 a ? ? b
字母表示 向量的共线关系能否通过向量坐标来表示

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? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? 0

? ? 由a ? ?b得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ?x 2 ?? , 消去?:x1 y2 ? x2 y1 ? 0. ? y1 ? ?y2

? ? ? ? a与b 共线 (b ? 0) 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0时.

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y1 y2 1.能不能写成 ? ? x1 x2

不能, ? x1 , x2有可能为0 .
2.向量共线的两种表示

? ? ? ? ? a // b (b ? 0)

? ? a ? ?b

字母表示

x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
坐标表示

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例1.

已知a ? (4, 2), b ? (6, y ), 且

a // b, 求y.

解: 因为 a // b , 则有 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,

即 4 y ? 2 ? 6 ? 0 ,解得 y ? 3

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例2. 已知 A??1,?1?, B?1,3?, C?2,5? , 证明:A, B, C 三点共线。
证明: AB ? ?1,3? ? ??1,?1? ? ?2,4? ,

AC ? ?2,5? ? ??1,?1? ? ?3,6?
因为 2 ? 6 ? 4 ? 3 ? 0

所以向量 AB, AC 共线
又因为 AB, AC 有公共点A,所以 A, B, C 三点共线。

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例3. 若向量a ? ( ?1, x )与b ? ( ? x , 2)

共线且方向相同 , 求x .
? ? 当 x ? 2时,a, b 方向相同 ? ? 当x ? ? 2 时, a, b 方向相反

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例4.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别 是(x1, y1),(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,求点P的坐 标. 解:设P(x,y),则 ?    P1 P ? ( x ? x1 , y ? y1 )

??? ??? ? PP2 ? ( x2 ? x , y2 ? y ) ∴P 1P = PP 2
x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2

线段 P 的 1P 2 中点坐标公式

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练习

1. 若a ? (2, 3), b ? (?4, ?1 ? y ), 且a // b, 则y ? ( B )
A. 6 B. -5 C. 7 D. 8

2. 若A(x, -1),B(1, 3),C(2, 5)三点共线, 则x的值为( B ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

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3. 若 AB ? i ? 2 j , DC ? ( 3 ? x )i ? (4 ? y ) j (其中i , j的方向分别与x轴、y轴正方向相 同且为单位向量), AB与DC共线,则x、y 的值可能分别为 ( B )
A. 1, 2 B. 2, 2 C. 3, 2 D. 2, 4

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? ? ? ? 4. 已知a ? (1, 2), b ? ( x, 1), 若a ? 2b 1 ? ? 与2a ? b平行, 则x的值为 2 .
5. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为 A(5, 7),B(3, x),C(2, 3),D(4, x), 则 x= .

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练习
1 1. 若M (3, ?2), N (?5, ?1)且MP ? MN, 2 求P点的坐标.

2. 若A(0, 1), B(1, 2), C ( 3, 4), 则 AB ? 2 BC ? .

3. 已知四点A(5, 1), B( 3, 4), C (1, 3), D(5, ?3), 求证 : 四边形ABCD 是梯形.

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小结:
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线 性运算律得出的结论,它符合实数的运算规律,并使 得向量的运算完全代数化. 2.通过向量的坐标运算可以得到几何图像的相关性质

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