南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷


南京市、盐城市 2017 届高三年级第二次模拟考试


注意事项:



2017.03

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. ... 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目的 答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1 1.函数 f(x)=ln 的定义域为 1-x ▲ . ▲ .

- 2.若复数 z 满足 z(1-i)=2i(i 是虚数单位) ,- z 是 z 的共轭复数,则 z· z=

3.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可 能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ .

4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示: 不喜欢戏剧 男性青年观众 女性青年观众 40 40 喜欢戏剧 10 60

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研,若在“不喜欢戏 剧的男性青年观众”的人中抽取了 8 人,则 n 的值为 5.根据如图所示的伪代码,输出 S 的值为 ▲ . ▲ . S←1 I←1 While I≤8 S←S+I I←I+2 End While Print S
(第 5 题图)

6.记公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S4-5S2=0, 则 S5 的值为 ▲ .

π 7.将函数 f(x)=sinx 的图象向右平移 个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 3 则函数 y=f(x)+g(x)的最大值为 ▲ .

8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.若直线 AF 的斜率 k=- 3,则线段 PF 的长为
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π 3 π 9.若 sin(α- )= ,α∈(0, ),则 cosα 的值为 6 5 2



. ▲ (填上所

10.α,β 为两个不同的平面,m,n 为两条不同的直线,下列命题中正确的是 有正确命题的序号) . ①若 α∥β,m?α,则 m∥β; ③若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β; ②若 m∥α,n?α,则 m∥n;

④若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:kx-y+2=0 与直线 l2:x+ky-2=0 相交于点 P,则当实 数 k 变化时,点 P 到直线 x-y-4=0 的距离的最大值为 ▲ . ▲ .

12. 若函数 f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8 有唯一零点, 则满足条件的实数 m 组成的集合为 → → → → 13.已知平面向量 AC =(1,2), BD =(-2,2),则 AB ? CD 的最小值为 ▲ .

b 14.已知函数 f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中 e 为自然对数的底数.若不等式 f(x)≤0 恒成立,则 的最 a 小值为 ▲ . ........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,AD=6,BD=3,DC=2. (1)若 AD⊥BC,求∠BAC 的大小; π (2)若∠ABC= ,求△ADC 的面积. 4
A A

B

C D (第 15 题图 1)

B

D

C

(第 15 题图 2)

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16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AD⊥平面 PAB,AP⊥AB. (1)求证:CD⊥AP; (2)若 CD⊥PD,求证:CD∥平面 PAB;
D C

A

B

P (第 16 题图)

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17. (本小题满分 14 分) 在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD,然后在矩形纸板的 四个角上切去边长相等的小正方形, 再把它的边沿虚线折起, 做成一个无盖的长方体纸盒 (如图) . 设 小正方形边长为 x 厘米,矩形纸板的两边 AB,BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 a≥b. (1)当 a=90 时,求纸盒侧面积的最大值; (2)试确定 a,b,x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.
D C

A

B (第 17 题图)

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18. (本小题满分 16 分) x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C: + 2=1 经过点(b,2e),其中 e 8 b 为椭圆 C 的离心率.过点 T(1,0)作斜率为 k(k>0)的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点(A 在 x 轴下方). (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M,N,求 AT·BT 的值; MN 2
y M B

→ 2 → (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若 AP = TB ,求直线 l 的斜率 k. 5

O T P N A x

(第 18 题图)

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)=ex-ax-1,其中 e 为自然对数的底数,a∈R. (1)若 a=e,函数 g (x)=(2-e)x. ①求函数 h(x)=f (x)-g (x)的单调区间;
?f (x),x≤m, ②若函数 F(x)=? 的值域为 R,求实数 m 的取值范围; ?g (x),x>m

(2)若存在实数 x1,x2∈[0,2],使得 f(x1)=f(x2),且|x1-x2|≥1, 求证:e-1≤a≤e2-e.

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20. (本小题满分 16 分) Sn 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn},{cn}满足 (n+1) bn=an+1- , n (n+2) cn= an+1+an+2 Sn - ,其中 n∈N*. 2 n

(1)若数列{an}是公差为 2 的等差数列,求数列{cn}的通项公式; (2)若存在实数 λ,使得对一切 n∈N*,有 bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.

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数学附加题
定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲

2017.03

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指 . ...

如图,△ABC 的顶点 A,C 在圆 O 上,B 在圆外,线段 AB 与圆 O 交于点 M. (1)若 BC 是圆 O 的切线,且 AB=8,BC=4,求线段 AM 的长度; (2)若线段 BC 与圆 O 交于另一点 N,且 AB=2AC,求证:BN=2MN.
C C O A M B O A M B N

(第 21(A)图)

B.选修 4—2:矩阵与变换

? 3 0? 设 a,b∈R.若直线 l:ax+y-7=0 在矩阵 A= ? ? 对应的变换作用下,得到的直线为 ?-1 b? l′:9x+y-91=0.求实数 a,b 的值.

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C.选修 4—4:坐标系与参数方程

?x=1+5t, ?x=4k , 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:? (t 为参数),与曲线 C:? (k 为参数)交 4 ?y=4k y = t ? 5
2

3

于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

D.选修 4—5:不等式选讲 设 a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出 . ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面四边形 ABCD 为菱形,A1A=AB=2, π ∠ABC= ,E,F 分别是 BC,A1C 的中点. 3 (1)求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, A1M =λ .若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值. A1D
A1 B1 F A B E C C1 M D D1

(第 22 题图)

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23. (本小题满分 10 分) n(n+1) 现有 (n≥2,n∈N*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵: 2 * * * * * * ????? ??????? * * ???? * ??????? 第 1 行 ??????? 第 2 行 ??????? 第 3 行

* ??????? 第 n 行

设 Mk 是第 k 行中的最大数,其中 1≤k≤n,k∈N*.记 M1<M2<?<Mn 的概率为 pn. (1)求 p2 的值; (2)证明:pn>
2 Cn +1 . (n+1)!

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数学参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.) 1.(-∞,1) 7. 3 9 13.- 4 2 .2 8. 6 1 14.- e 2 3. 3 4 3-3 9. 10 4.30 10.①④ 5.17 11.3 2 6.31 12.{2}

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)设∠BAD=α,∠DAC=β. 因为 AD⊥BC,AD=6,BD=3,DC=2, 1 1 所以 tanα= ,tanβ= , 2 3 1 1 + 2 3 tanα+tanβ 所以 tan∠BAC=tan(α+β)= = =1. 1 1 1-tanαtanβ 1- × 2 3 π 又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC= . 4 (2)设∠BAD=α. π 在△ABD 中,∠ABC= ,AD=6,BD=3. 4 由正弦定理得 AD BD 2 = , 解得 sinα= . π sinα 4 sin 4 ??????? 8 分 ??????? 2 分

??????? 4 分

??????? 6 分

因为 AD>BD,所以 α 为锐角,从而 cosα= 1-sin2α= π π π 因此 sin∠ADC=sin(α+ )=sinαcos +cosαsin 4 4 4 = 2 2 14 1+ 7 ( + )= . 2 4 4 4

14 . ??????? 10 分 4

??????? 12 分

1 △ADC 的面积 S= ×AD×DC·sin∠ADC 2 1+ 7 3 1 = ×6×2× = (1+ 7). 2 4 2 ??????? 14 分

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16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 AD⊥平面 PAB,AP?平面 PAB, 所以 AD⊥AP. ??????? 2 分

又因为 AP⊥AB ,AB∩AD=A,AB?平面 ABCD,AD?平面 ABCD, 所以 AP⊥平面 ABCD. 因为 CD?平面 ABCD, 所以 CD⊥AP. ??????? 6 分 ??????? 4 分

(2)因为 CD⊥AP,CD⊥PD,且 PD∩AP=P,PD?平面 PAD,AP?平面 PAD, 所以 CD⊥平面 PAD. ① ??????? 8 分

因为 AD⊥平面 PAB,AB?平面 PAB, 所以 AB⊥AD. 又因为 AP⊥AB,AP∩AD=A,AP?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 AB⊥平面 PAD. 由①②得 CD∥AB, 因为 CD ? / 平面 PAB,AB?平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB. 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为矩形纸板 ABCD 的面积为 3600,故当 a=90 时,b=40, 从而包装盒子的侧面积 S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x) =-8x2+260x,x∈(0,20) . 65 4225 因为 S=-8x2+260x=-8(x- )2+ , 4 2 65 4225 故当 x= 时,侧面积最大,最大值为 平方厘米. 4 2 65 4225 答:当 x= 时,纸盒的侧面积的最大值为 平方厘米. 4 2 (2)包装盒子的体积 b V=(a-2x)(b-2x) x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈(0, ),b≤60.????? 8 分 2 V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4 abx+4x2) =x(3600-240x+4x2)
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??????? 10 分 ??????? 12 分

??????? 14 分

??????? 3 分

??????? 6 分

=4x3-240x2+3600x. 当且仅当 a=b=60 时等号成立. 设 f (x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30). 则 f ′ (x)=12(x-10)(x-30).

??????? 10 分

于是当 0<x<10 时,f ′ (x)>0,所以 f (x)在(0,10)上单调递增; 当 10<x<30 时,f ′ (x)<0,所以 f (x)在(10,30)上单调递减. 因此当 x=10 时,f (x)有最大值 f (10)=16000, 此时 a=b=60,x=10. 答:当 a=b=60,x=10 时纸盒的体积最大,最大值为 16000 立方厘米. ?????? 14 分 18. (本小题满分 16 分) x2 y2 b2 4e2 解: (1)因为椭圆 + 2=1 经过点(b,2e),所以 + 2 =1. 8 b 8 b c2 c2 b2 c2 因为 e2= 2= ,所以 + 2=1. a 8 8 2b 因为 a2=b2+c2,所以
2 b2 8-b + 2 =1. 8 2b

?????? 12 分

???????? 2 分

整理得 b4-12b2+32=0,解得 b2=4 或 b2=8(舍) . x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 ???????? 4 分

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 T(1,0),则直线 l 的方程为 y=k(x-1). k(x-1), ?y= ? 2 x y2 联立直线 l 与椭圆方程 ? + ? ? 8 4 =1, 消去 y,得 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0, 4k2 , 2k2+1 所以 2k2-8 x1x2= 2 . 2k +1

? ? ?

x1+x2=

?????? 6 分

因为 MN∥l,所以直线 MN 方程为 y=kx, kx, ?y= ? 2 x y2 联立直线 MN 与椭圆方程? + ? ? 8 4 =1, 消去 y 得 (2k2+1)x2=8,解得 x2= 因为 MN∥l,所以 8 . 2k2+1 ???????? 8 分

AT·BT (1-x1)·(x2-1) = . MN 2 (xM-xN)2
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因为 (1-x1)· (x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1]= (xM-xN)2=4x2= 所以 32 , 2k2+1

7 , 2k2+1

2 AT·BT (1-x1)·(x2-1) 7 2k +1 7 = 2 · = . 2 = 2 MN 32 (xM-xN) 2k +1 32

??????? 10 分

(3)在 y=k(x-1)中,令 x=0,则 y=-k,所以 P(0,-k), → → 从而 AP =(-x1,-k-y1), TB =(x2-1,y2). 2 2 2 → 2 → 因为 AP = TB ,所以-x1= (x2-1),即 x1+ x2= .???????? 12 分 5 5 5 5

由(2)知,

? ? ?

4k2 , 2k2+1 2k2-8 x1x2= 2 . 2k +1 x1+x2=

4k2 , 2k2+1 -4k2+2 16k2-2 由 解得 x1= ,x = . ?????? 14 分 2 2 3(2k2+1) 2 3(2k2+1) x1+ x2= , 5 5

? ? ?

x1+x2=

因为 x1x2=

2k2-8 -4k2+2 16k2-2 2k2-8 , 所以 × = , 2k2+1 3(2k2+1) 3(2k2+1) 2k2+1

17 整理得 50k4-83k2-34=0,解得 k2=2 或 k2=- (舍) . 50 又因为 k>0,所以 k= 2. 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)当 a=e 时,f (x)=ex-ex-1. ① h (x)=f (x)-g (x)=ex-2x-1,h′ (x)=ex-2. 由 h′ (x)>0 得 x>ln2,由 h′ (x)<0 得 x<ln2. 所以函数 h(x)的单调增区间为 (ln2,+∞),单调减区间为 (-∞,ln2). ??????? 3 分 ② f ′ (x)=ex-e. 当 x<1 时,f′ (x)<0,所以 f (x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当 x>1 时,f′ (x)>0,所以 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 1° 当 m≤1 时,f (x)在(-∞,m]上单调递减,值域为[em-em-1,+∞), g(x)=(2-e)x 在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m), 因为 F(x)的值域为 R,所以 em-em-1≤(2-e)m, 即 em-2m-1≤0. (*)
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???????? 16 分

由①可知当 m<0 时,h(m)=em-2m-1>h(0)=0,故(*)不成立. 因为 h(m)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,1)上单调递增,且 h(0)=0,h(1)=e-3<0, 所以当 0≤m≤1 时,h(m)≤0 恒成立,因此 0≤m≤1. ??????? 6 分

2° 当 m>1 时,f (x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,m]上单调递增, 所以函数 f (x)=ex-ex-1 在(-∞,m]上的值域为[f (1),+∞),即[-1,+∞). g(x)=(2-e)x 在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m). 因为 F(x)的值域为 R,所以-1≤(2-e)m,即 1<m≤ 综合 1° ,2° 可知,实数 m 的取值范围是[0, (2)f ′ (x)=ex-a. 若 a≤0 时,f ′ (x)>0,此时 f(x)在 R 上单调递增. 由 f(x1)=f(x2)可得 x1=x2,与|x1-x2|≥1 相矛盾, 所以 a>0,且 f(x)在(-∞,lna]单调递减,在[lna,+∞)上单调递增.?? 11 分 若 x1,x2∈(-∞,lna],则由 f (x1)=f (x2)可得 x1=x2,与|x1-x2|≥1 相矛盾, 同样不能有 x1,x2∈[lna,+∞). 不妨设 0≤x1<x2≤2,则有 0≤x1<lna<x2≤2. 因为 f(x)在(x1,lna)上单调递减,在(lna,x2)上单调递增,且 f (x1)=f (x2), 所以当 x1≤x≤x2 时,f (x)≤f (x1)=f (x2). 由 0≤x1<x2≤2,且|x1-x2|≥1,可得 1∈[x1,x2], 故 f (1)≤f (x1)=f (x2). ?????? 14 分 1 ]. e-2 1 . e-2 ??????? 9 分

又 f (x)在(-∞,lna]单调递减,且 0≤x1<lna,所以 f (x1)≤f (0), 所以 f (1)≤f (0),同理 f (1)≤f (2).
?e-a-1≤0, 即? 解得 e-1≤a≤e2-e-1, 2 ?e-a-1≤e -2a-2,

所以 e-1≤a≤e2-e. 20. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为{an}是公差为 2 的等差数列, Sn 所以 an=a1+2(n-1), =a1+n-1, n

???????? 16 分

??????? 2 分

a1+2n+a1+2(n+1) 从而 (n+2) cn= -(a1+n-1)=n+2,即 cn=1. ??? 4 分 2 Sn (2)由(n+1)bn=an+1- , n
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得 n(n+1) bn=nan+1-Sn, (n+1)(n+2) bn+1=(n+1)an+2-Sn+1, 两式相减,并化简得 an+2-an+1=(n+2) bn+1-nbn. 从而 (n+2) cn= = = ????????? 6 分

an+1+an+2 Sn an+1+an+2 - = -[an+1-(n+1) bn] 2 n 2 an+2-an+1 +(n+1) bn 2 (n+2) bn+1-nbn +(n+1) bn 2

1 = (n+2)( bn+bn+1). 2 1 因此 cn= ( bn+bn+1). 2 ????????? 9 分

1 因为对一切 n∈N*,有 bn≤λ≤cn,所以 λ≤cn= (bn+bn+1)≤λ, 2 故 bn=λ,cn=λ. Sn 所以 (n+1)λ=an+1- , n 1 Sn (n+2)λ= (an+1+an+2)- , 2 n ????????? 11 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

1 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 ,得 (an+2-an+1)=λ,即 an+2-an+1=2λ. 2 故 an+1-an=2λ (n≥2). S1 又 2λ=a2- =a2-a1,则 an+1-an=2λ (n≥1). 1 所以数列{an}是等差数列. ????????? 16 分 ????????? 14 分

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数学附加参考答案及评分标准
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指 定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 解: (1)因为 BC 是圆 O 的切线,故由切割线定理得 BC2=BM·BA. ????? 2 分 设 AM=t,因为 AB=8,BC=4, 所以 42=8(8-t),解得 t=6 ,即线段 AM 的长度为 6. ?????????? 4 分 (2)因为四边形 AMNC 为圆内接四边形,所以∠A=∠MNB. ???????? 6 分
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又∠B=∠B,所以△BMN∽△BCA, BN MN 所以 = . BA CA 因为 AB=2AC,所以 BN=2MN. B.选修 4—2:矩阵与变换

????????? 8 分

????????? 10 分

解: (方法一)在直线 l:ax+y-7=0 取点 A(0,7),B(1,7-a). 3 ? 3 0 ? ? 0? ? 0 ? ? 3 0 ? ? 1 ? ? 因为 ? , ? ? 7?=? 7b?,? ? ? 7-a?=? b(7-a)-1? ? ?-1 b? ?-1 b? 所以 A(0,7),B(1,7-a)在矩阵 A 对应的变换作用下 分别得到点 A′(0,7b),B′(3,b(7-a)-1). 由题意,知 A′,B′在直线 l′:9x+y-91=0 上,
?7b-91=0, 所以 ? ?27+b(7-a)-1-91=0.

????? 4 分

????? 8 分 ????? 10 分

解得 a=2,b=13.

(方法二)设直线 l 上任意一点 P(x,y),点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 Q(x′,y′).
?x′=3x, ? 3 0 ? ? x? ? x′? 因为 ? ? ? y?=? y′?,所以?y′=-x+by. ? ?-1 b?

????? 4 分

又因为点 Q(x′,y′)在直线 l′上,所以 9x′+y′-91=0. 即 27x+(-x+by)-91=0,也即 26x+by-91=0, 又点 P(x,y)在直线 l 上,所以有 ax+y-7=0. 26 b -91 所以 = = ,解得 a=2,b=13. a 1 -7 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (方法一)直线 l 的参数方程化为普通方程得 4x-3y=4, 将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x.
?4x-3y=4, 联立方程组? 2 ?y =4x,

????? 8 分 ????? 10 分

?????? 4 分 1

?x= , ?x=4, ? 解得 ? 或? 4 ?y=4 ?

?y=-1.
?????? 8 分 ?????? 10 分 ?????? 2 分

1 所以 A(4,4),B( ,-1). 4 所以 AB= 1 25 (4- )2+(4+1)2= . 4 4

(方法二)将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x. 直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的方程得 15 25 所以 t1+t2= ,t1t2=- . 4 4
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4 3 ( t)2=4(1+ t),即 4t2-15t-25=0, 5 5 ?????? 6 分

所以 AB=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2 D.选修 4—5:不等式选讲



15 25 ( )2+25= . 4 4

?????? 10 分

证明: a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2 =(a2+b2-2ab)2=(a-b)4. 因为 a≠b,所以(a-b)4>0, 所以 a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2). ????? 10 分 ?????? 5 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出 . ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 解:因为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱,所以 A1A⊥平面 ABCD. 又 AE?平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 A1A⊥AE,A1A⊥AD. π 在菱形 ABCD 中∠ABC= ,则△ABC 是等边三角形. 3 因为 E 是 BC 中点,所以 BC⊥AE. 因为 BC∥AD,所以 AE⊥AD. → → → 以{ AE , AD ,AA1}为正交基底建立空间直角坐标系.
A B1 F C1 M y D C z A1 D1

则 A(0,0,0),C( 3,1,0),D(0,2,0), 3 1 A1(0,0,2),E( 3,0,0),F( , ,1). 2 2
B E

x
(第 22 题图)

3 1 → → →→ (1) AD =(0,2,0), EF =(- , ,1),所以 AD · EF =1. 2 2 →→ 2 AD · EF → → 从而 cos< AD , EF >= = . 4 → → | AD |· | EF | 故异面直线 EF,AD 所成角的余弦值为 2 . 4 A1M =λ, A1D

?????? 4 分

(2)设 M(x,y,z),由于点 M 在线段 A1D 上,且 → → 则A1M=λA1D,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).

→ 则 M(0,2λ,2-2λ),CM=(- 3,2λ-1,2-2λ). 设平面 AEF 的法向量为 n=(x0,y0,z0). 3 1 → → 因为 AE =( 3,0,0), AF =( , ,1), 2 2
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?????? 6 分

1 → → 由 n· AE =0,n· AF =0,得 x0=0, y0+z0=0. 2 取 y0=2,则 z0=-1, 则平面 AEF 的一个法向量为 n=(0,2,-1). ?????? 8 分

2 → 由于 CM∥平面 AEF,则 n· CM=0,即 2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得 λ= .?? 10 分 3 23. (本小题满分 10 分) 2A2 2 2 解: (1)由题意知 p2= = , 即 p2 的值为 . 3 3 3 A3 n 2 (2)先排第 n 行,则最大数在第 n 行的概率为 = ; n(n+1) n+1 2 去掉第 n 行已经排好的 n 个数, n(n+1) n(n-1) n 2 则余下的 -n= 个数中最大数在第 n-1 行的概率为 = ; 2 2 n(n-1) n 2 ?? 2n 1 2 2 2 2n 故 pn= × ×?× = = . 3 (n+1)×n×?×3 (n+1)! n+1 n


2

?????? 3 分

?????? 5 分

?????? 7 分
1 2

2 由于 2n=(1+1)n=Cn+Cn+Cn+?+Cn≥Cn+Cn+Cn>Cn+Cn=Cn +1, 2 2 Cn Cn 2n +1 +1 故 > ,即 pn> . (n+1)! (n+1)! (n+1)!

0

1

2

n

0

1

2

?????? 10 分

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