高三数学套卷综合练习八(带详细答案)


高二下综合复习 8
一.选择题(共 12 小题) 1. (2016?潍坊二模)设集合 M={x|x≤0},N={x|lnx≤1},则下列结论正确的是( A. B.M=N C.M∪?RN=R ) D.M∩?RN=M )

2. (2016?吉林校级模拟) 已知复数 z= A.第一象限 B.第二象限

(i 为虚数单位) , 则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( C.第三象限 D.第四象限

3. (2015?朝阳二模)已知几个命题:①若点 P 不在平面 α 内,A、B、C 三点都在平面 α 内,则 P、A、B、C 四点不 在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的 个数是( A.0 ) B.1 C. 2
*

D.3

4. (2016?唐山一模)设数列{an},a1=1,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1=3Sn(n∈N ) ,则数列{an}的第 5 项是() A.81 B.
2 2

C. 54

D. 162

5. (2016?烟台一模)记集合 A={(x,y)|x +y ≤16},集合 B={(x,y)|x+y﹣4≤0, (x,y)∈A}表示的平面区域分别 为 Ω1,Ω2.若在区域 Ω1 内任取一点 P(x,y) ,则点 P 落在区域 Ω2 中的概率为( A. B. C. ) ) D.

6. (2016?黄山一模)如图可能是下列哪个函数的图象(

A.y=2 ﹣x ﹣1 C.y=(x ﹣2x)e
2 x

x

2

B.y= D.y= ,则输出的 k 值是( )

7. (2016?石嘴山校级一模)阅读如图所示的程序框图,若输入 a=

A.9

B.10
2 2

C.11

D.12

8. (2016?新余二模)命题 p:若 a<b,则 ac <bc ;命题 q:?x0>0,使得 x0﹣1﹣lnx0=0,则下列命题为真命题的是 ( ) B.p∨(¬q) C. (¬p)∧q D. (¬p)∧(¬q)

A.p∧q

9. (2015?江西校级一模)已知 PC 为球 O 的直径,A,B 是球面上两点,且 AB=6,∠APC=∠BPC= 积为 64π,则棱锥 A﹣PBC 的体积为( A. B.
2

若球 O 的表面

) C. D.

10. (2016?岳阳校级一模)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距 离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( A. B. C. )的图象向右平移 ) D. 个单位后的图象关于 y 轴对称,则函

11. (2016?湖南四模)将函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< 数 f(x)在[0, A.0 ]上的最小值为( B.﹣1 ) C.﹣

D.﹣
2

12. (2016?邯郸二模)已知函数 f(x)=﹣

,g(x)=lnx﹣ x + ,实数 a,b 满足 a<b<﹣1,若?x1∈[a, ) D.3

b],?x2∈(0,+∞) ,使得 f(x1)=g(x2)成立,则 b﹣a 的最大值为( A.2 B.2 C.2

二.填空题(共 4 小题) 13. (2016?上海模拟)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是 .

14. (2016?汕头模拟)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从 1,2,3,4, 5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 15. (2016?浙江)已知正方形 ABCD 的边长为 2,P 为其外接圆上一动点,则 16. (2016?南通模拟)过双曲线
2

个. ? 的最大值为
2 2 2



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆 x +y =a 的切线,切点为 E,

延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P,O 为原点,若 三.解答题(共 7 小题)

,则双曲线的离心率为



17. (2016?长沙二模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 的最大值.



18. (2016?衡水校级模拟)已知数列{an}满足:Sn=1﹣an(n∈N ) ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)试求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足: (n∈N ) ,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.
*

*

19. (2016?商丘校级模拟)为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中学举办一次中 学生围棋擂台赛.比赛规则如下,双方各出 3 名队员并预先排定好出场顺序,双方的第一号选手首先对垒,双方的胜 者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局,由第二号选手挑战上一局获胜的选手,依此类推,直到一方的队员全部被 淘汰,另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等) (Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率. (Ⅱ)记双方结束比赛的局数为 ξ,求 ξ 的分布列并求其数学期望 Eξ.

20. (2016?大庆校级二模)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折 起,得到三棱锥 B﹣ACD,点 M 是棱 BC 的中点, (1)求证:OD⊥面 ABC; (2)求点 M 到平面 ABD 的距离. .

21. (2016?河东区一模)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存直线 l,满足 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

,过点 P(2,1)

22. (2016?衡阳校级模拟)已知函数 f (x)=ax﹣e (a∈R) ,g(x)= (I)求函数 f (x)的单调区间;

x



(Ⅱ)?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f (x)≤g(x)﹣e 成立,求 a 的取值范围.

x

23. (2015 秋?石嘴山校级期末)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的方程为 ρ =8ρsinθ﹣15,曲线 C2 的方程为 (1)将 C1 的方程化为直角坐标方程; (2)若 C2 上的点 Q 对应的参数为 α= ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值.
2

(α 为参数) .

2016 年 07 月 11 日 TjuSky 高二下综合复习 8
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1. (2016?潍坊二模)设集合 M={x|x≤0},N={x|lnx≤1},则下列结论正确的是( A. B.M=N C.M∪?RN=R D.M∩?RN=M
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【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】数形结合;转化思想;函数的性质及应用;集合. 【分析】N={x|lnx≤1}=(0,e],利用集合的运算性质即可得出. 【解答】解:集合 M={x|x≤0},N={x|lnx≤1}=(0,e], 则上述结论正确的是 M∩?RN=M. 故选:D. 【点评】本题考查了集合的运算性质、函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

2. (2016?吉林校级模拟) 已知复数 z=

(i 为虚数单位) , 则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 (



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数.
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【分析】由 i =1,可得 i =(i ) =1.再利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 4 2016 4 504 【解答】解:∵i =1,∴i =(i ) =1. ∴复数 z= = = = i,

4

2016

4

504

则复数 z 的共轭复数

i 在复平面内对应的点( , )位于第一象限.

故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、复数的周期性与几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题. 3. (2015?朝阳二模)已知几个命题:①若点 P 不在平面 α 内,A、B、C 三点都在平面 α 内,则 P、A、B、C 四点不 在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的 个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据平面的基本性质进行判断①的正误共点的三条直线可能不共面,由此能判断②的正误;将平行四边形沿 其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形,两组对边仍然相等,但四个点不共面,由此能判断③的正误. 【解答】解:在①中:根据平面的基本性质得直线与直线外一点确定一个平面, 若在平面 α 内,A、B、C 三点共线,则 P、A、B、C 四点在同一平面内.故①不正确; 在②中:共点的三条直线可能不共面,如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面,故②不正确; 在③中:将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形,两组对边仍然相等,但四个点不共面, 连平面图形都不是,所以不是平行四边形,故③不正确. 故选:A. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意平面的基本性质及推论的合理运用.
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4. (2016?唐山一模)设数列{an},a1=1,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1=3Sn(n∈N ) ,则数列{an}的第 5 项是()

*

A.81

B.

C.54

D.162

考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的通项公式可得 Sn.再利用当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出 an. * 解答: 解:∵a1=1,前 n 项和为 Sn,Sn+1=3Sn(n∈N ) , ∴数列{Sn}是等比数列, n﹣1 n﹣1 ∴Sn=1×3 =3 . n﹣1 n﹣2 n﹣2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3 ﹣3 =2?3 . 3 ∴a5=2×3 =54. 故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式、利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求 an 方法,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题. 5. (2016?烟台一模)记集合 A={(x,y)|x +y ≤16},集合 B={(x,y)|x+y﹣4≤0, (x,y)∈A}表示的平面区域分别 为 Ω1,Ω2.若在区域 Ω1 内任取一点 P(x,y) ,则点 P 落在区域 Ω2 中的概率为( ) A. B.
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2

2

C.

D.

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意,根据几何概型的公式,只要求出平面区域 Ω1,Ω2 的面积,利用面积比求值. 【解答】解:由题意,两个区域对应的图形如图, 其中 , , ;

由几何概型的公式可得点 P 落在区域 Ω2 中的概率为 故选 B.

【点评】本题考查了几何概型的概率求法,解答本题的关键是分别求出平面区域 Ω1,Ω2 的面积,利用几何概型公式求 值. 6. (2016?黄山一模)如图可能是下列哪个函数的图象( )

A.y=2 ﹣x ﹣1 B.y= C.y=(x ﹣2x)e D.y= 【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】函数的性质及应用.
x 2
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x

2

2

x

【解答】解:A 中,∵y=2 ﹣x ﹣1,当 x 趋向于﹣∞时,函数 y=2 的值趋向于 0,y=x +1 的值趋向+∞, x 2 ∴函数 y=2 ﹣x ﹣1 的值小于 0,∴A 中的函数不满足条件; B 中,∵y=sinx 是周期函数,∴函数 y=
2 2

x

2

的图象是以 x 轴为中心的波浪线,

∴B 中的函数不满足条件; (当 x<0,y 有小于 0 的可能) C 中,∵函数 y=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,当 x<0 或 x>2 时,y>0,当 0<x<2 时,y<0; x 且 y=e >0 恒成立, 2 x ∴y=(x ﹣2x)e 的图象在 x 趋向于﹣∞时,y>0,0<x<2 时,y<0,在 x 趋向于+∞时,y 趋向于+∞; ∴C 中的函数满足条件; D 中,y= ∴y= 的定义域是(0,1)∪(1,+∞) ,且在 x∈(0,1)时,lnx<0, <0,∴D 中函数不满足条件.

故选:C. 【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题,解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征,是综合 性题目.

7. (2016?石嘴山校级一模)阅读如图所示的程序框图,若输入 a=

,则输出的 k 值是(



A.9 B.10 C.11 D.12

【考点】程序框图. 【专题】操作型;等差数列与等比数列;算法和程序框图.
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【分析】根据程序框图的流程,计算运行 n 次的结果,根据输入 a= 【解答】解:由程序框图知第一次运行 s=0+ 第二次运行 s=0+ … ∴第 n 次运行 s=0+ = + +…+ + ,k=3; ,k=2;

,判断 n 满足的条件,从而求出输出的 k 值

= ×( [ 1﹣ ) + ( ﹣ ) +…+ (



) = × (1﹣



, (n 就是 k) (当 k=10 时成立) 时,由 n>a 得 n>9,程序运行了 10 次,输出的 k 值为 11.

当输入 a=

故选:C 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,由程序框图判断程序运行的功能,用裂项相消法求和是解答本题的 关键. 8. (2016?新余二模)命题 p:若 a<b,则 ac <bc ;命题 q:?x0>0,使得 x0﹣1﹣lnx0=0,则下列命题为真命题的是 ( ) A.p∧q B.p∨(¬q) C. (¬p)∧q D. (¬p)∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用;简易逻辑.
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2

2

【分析】命题 p:取 c=0 时是不成立,因此是假命题;命题 q:取 x0=1,满足 x0﹣1﹣lnx0=0,即可判断出真假.再利 用复合命题真假的判定方法即可得出. 【解答】解:命题 p:若 a<b,则 ac <bc ,c=0 时是不成立,因此是假命题; 命题 q:取 x0=1,满足 x0﹣1﹣lnx0=0,因此是真命题. 则下列命题为真命题的是(¬p)∧q, 故选:C. 【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.
2 2

9. (2015?江西校级一模)已知 PC 为球 O 的直径,A,B 是球面上两点,且 AB=6,∠APC=∠BPC= 积为 64π,则棱锥 A﹣PBC 的体积为( A. B. C. D.
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若球 O 的表面



【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离.

【分析】由题意知 OP=OC=OA=OB=4,∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=

,∠PAC=∠PBC=

,求出棱锥 A﹣PBC

的体积. 【解答】解:如图,由题意球 O 的表面积为 64π,可得球的半径为:4,知 OP=OC=OA=OB=4,AB=6, ∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP= ∠PAC=∠PBC= , ,

AO⊥PC,BO⊥PC, ∴PC⊥平面 AOB,

BP=BC=4

, =3 , = .

∴S△ OAB= ×AB×h= ×6×

∴棱锥 A﹣PBC 的体积 V= ×PC×S△ OAB= 故选:A.

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意球的性质的合理运用. 10. (2016?岳阳校级一模)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距 离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) A. B. C.
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2

D.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题.

【分析】如图点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1,过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线,此时 d1+d2 最小, 根据抛物线方程求得 F,进而利用点到直线的距离公式求得 d1+d2 的最小值. 【解答】解:如图点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1. 过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线,此时 d1+d2=|PF|+d2﹣1 最小, ∵F(1,0) ,则|PF|+d2= 则 d1+d2 的最小值为 故选 D. . = ,

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质,两点距离公式的应用.解此列题设和先画出图象,进而利用数形结合的 思想解决问题.

11. (2016?湖南四模)将函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< 数 f(x)在[0, ]上的最小值为( )

)的图象向右平移

个单位后的图象关于 y 轴对称,则函

A.0 B.﹣1 C.﹣ D.﹣ 【考点】正弦函数的图象. 【专题】函数思想;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得 φ 值,可得函数解析式,由三角函数区间的最值可得.
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【解答】解:将函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移 的图象, ∵图象关于 y 轴对称,∴由诱导公式和偶函数可得 φ﹣

个单位后得到 y=sin[2(x﹣

)+φ)]=sin(2x+φ﹣



=kπ+

,解得 φ=kπ+

,k∈Z,

由|φ|< 由 x∈[0, ∴当 2x﹣

可得当 k=﹣1 时 φ=﹣ ]可得 2x﹣ =﹣ ∈[﹣

,故 f(x)=sin(2x﹣ , ],

) ,

即 x=0 时,函数 f(x)在[0,

]上取最小值 sin(﹣

)=﹣



故选:D. 【点评】本题考查正弦函数图象,涉及函数图象变换和函数的奇偶性以及最值,属中档题.
2

12. (2016?邯郸二模)已知函数 f(x)=﹣

,g(x)=lnx﹣ x + ,实数 a,b 满足 a<b<﹣1,若?x1∈[a, )

b],?x2∈(0,+∞) ,使得 f(x1)=g(x2)成立,则 b﹣a 的最大值为( A.2 B.2 C.2 D.3 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.
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【分析】求出 g(x)max=g(1)=3,令 t=x﹣1(t<0) ,设 h(t)=﹣2﹣(t﹣ ) ,作函数 y=f(t)的图象如图所示, 由 f(t)=3 得 t=﹣1 或 t=﹣4,即可得出结论. 【解答】解:∵g(x)=lnx﹣ x + , ∴g′(x)= ,
2

∴0<x<1 时<X,g′(x)>0;x>1 时,g′(x)<0, ∴g(x)max=g(1)=3.

根据图像,当 f(x)=3 时,b-a 最大

f(x)=﹣

=﹣2﹣(﹣x﹣1﹣

) ,

令 t=x﹣1(t<0) ,设 h(t)=﹣2﹣(t﹣ ) ,作函数 y=f(t)的图象如图所示, 由 f(t)=3 得 t=﹣1 或 t=﹣4, ∴b﹣a 的最大值为 3. 故答案为:3. 【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的最大值,考查数形结合的数学思想,属于中档题. 二.填空题(共 4 小题) 13. (2016?上海模拟)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的体积. 【解答】解:由三视图可知,该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体,如图, 正方体棱长为 2,正三棱锥侧棱互相垂直,侧棱长为 1,
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V=V 正方体﹣2V 三棱锥=2×2×2 故答案我:

=



【点评】本题考察了运用三视图给出的数据求解几何体的体积,关键是判断几何体的形状. 14. (2016?汕头模拟)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从 1,2,3,4, 5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 40 个. 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】根据题意,因十位上的数最大,则其只能为 3、4、5、6,进而分四种情形处理,即当十位数字分别为 3、4、 5、6 时,计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目,由分类计数原理,计算可得答案. 【解答】解:根据题意,十位上的数最大,只能为 3、4、5、6,分四种情形处理. 2 当十位数字为 3 时,百位、个位的数字为 1、2,有 A2 种选法, 2 当十位数字为 4 时,百位、个位的数字为 1、2、3,有 A3 种选法, 2 当十位数字为 5 时,百位、个位的数字为 1、2、3、4,有 A4 种选法, 2 当十位数字为 6 时,百位、个位的数字为 1、2、3、4、5,有 A5 种选法, 2 2 2 2 则伞数的个数为 A2 +A3 +A4 +A5 =40; 故答案为 40. 【点评】本题考查排列、组合的运用,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是注意到十位数字特殊,要对其进行分 类讨论.
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15. (2016?浙江)已知正方形 ABCD 的边长为 2,P 为其外接圆上一动点,则

?

的最大值为 2+2



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,利用向量的坐标运算、数量积运算和一次函数的单调性即可得出. 解答: 解:如图所示,建立直角坐标系. O(0,0) ,A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) . ∴ =(1,﹣1)﹣(﹣1,﹣1)=(2,0) .
2 2

设 P(x,y) ,则 x +y =2, ∴ ∴ ∵ ∴当 x= 时, =(x,y)﹣(﹣1,﹣1)=(x+1,y+1) . ? =(2,0)?(x+1,y+1)=2(x+1) , , ? . 的最大值为





故答案为:

点评: 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算和一次函数的单调性,属于基础题.

16. (2016?南通模拟)过双曲线
2

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆 x +y =a 的切线,切点为 E,

2

2

2

延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P,O 为原点,若
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,则双曲线的离心率为



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题设知|EF|=b,|PF|=2b,|PF′|=2a,过 F 点作 x 轴的垂线 l,过 P 点作 PD⊥l,则 l 为抛物线的准线, 据此可求出 P 点的横坐标,后在 Rt△ PDF 中根据勾股定理建立等式,由此能求出双曲线的离心率. 【解答】解:∵|OF|=c,|OE|=a,OE⊥EF ∴|EF|=b, ∵ ,

∴E 为 PF 的中点,|PF|=2b, 又∵O 为 FF′的中点, ∴PF′∥EO, ∴|PF′|=2a, 2 ∵抛物线方程为 y =4cx, ∴抛物线的焦点坐标为(c,0) , 即抛物线和双曲线右支焦点相同, 过 F 点作 x 轴的垂线 l,过 P 点作 PD⊥l,则 l 为抛物线的准线, ∴PD=PF′=2a, ∴P 点横坐标为 2a﹣c,设 P(x,y) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在 Rt△ PDF 中,PD +DF =PF ,即 4a +y =4b ,4a +4c(2a﹣c)=4(c ﹣a ) , 解得 e=

故答案为:



【点评】本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,同时考查双曲线的定义及性质,考查运算 求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 三.解答题(共 7 小题) 17. (2016?长沙二模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 的最大值.
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【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形. 【分析】 (Ⅰ)化简已知条件可得 sin(A+ (Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 【解答】解: (Ⅰ)sinA+ =2sin(A+

)=sinB,再由大边对大角可得 A+B= ) ,由此可得 的最大值.

,从而求得 C 的值.

cosA=2sinB,即 2sin(A+

)=2sinB,则 sin(A+

)=sinB.…(3 分)

因为 0<A,B<π,又 a≥b,进而 A≥B, 所以 A+ =π﹣B,故 A+B= ,故 C= = .…(6 分) = [sinA+sin(A+ )](用 sin(2/3π -A)也一样)

(Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 = sinA+cosA=2sin(A+ 时,

) .…(10 分)

故当 A=

取最大值 2.…(12 分)

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式,正弦定理,正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 18. (2016?衡水校级模拟)已知数列{an}满足:Sn=1﹣an(n∈N ) ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)试求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足: (n∈N ) ,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.
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*

*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)先把 n=1 代入求出 a1,再利用 an+1=Sn+1﹣Sn 求解数列的通项公式即可. (Ⅱ)把(Ⅰ)的结论代入,发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列,故直接利用数列求和的错位相减 法求和即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵Sn=1﹣an① ∴Sn+1=1﹣an+1② ②﹣①得 an+1=﹣an+1+an? n=1 时,a1=1﹣a1?a1= (6 分) (Ⅱ)因为 bn=
2

an;

=n?2 .
3 n

n

所以 Tn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 ③ 2 3 n+1 故 2Tn=1×2 +2×2 +…+n×2 ④

③﹣④﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2
n+1

2

3

n

n+1

=

整理得 Tn=(n﹣1)2 +2. (12 分) 【点评】本题的第一问考查已知前 n 项和为 Sn 求数列{an}的通项公式,第二问考查了数列求和的错位相减法.错位相 减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列. 19. (2016?商丘校级模拟)为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中学举办一次中 学生围棋擂台赛.比赛规则如下,双方各出 3 名队员并预先排定好出场顺序,双方的第一号选手首先对垒,双方的胜 者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局,由第二号选手挑战上一局获胜的选手,依此类推,直到一方的队员全部被 淘汰,另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等) (Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率. (Ⅱ)记双方结束比赛的局数为 ξ,求 ξ 的分布列并求其数学期望 Eξ. 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,相当于乙校还有 3 名选手,而甲校还剩 2 名选手,甲校要想取胜,需要 连胜 3 场,或者比赛四场要胜三场,且最后一场获胜,由此能求出甲校获胜的概率.
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(Ⅱ) 记双方结束比赛的局数为 ξ, 则 ξ=3,4,5.由题设条件知 ,由此能求出 ξ 的数学期望.





【解答】解: (Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,相当于乙校还有 3 名选手,而甲校还剩 2 名选手,甲校要想取胜, 需要连胜 3 场,或者比赛四场要胜三场,且最后一场获胜,所以甲校获胜的概率是 (Ⅱ)记双方结束比赛的局数为 ξ,则 ξ=3,4,5

所以 ξ 的分布列为 ξ P 数学期望

3

4

5



【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,解题之前,要分析明确事件间的关 系,一般先按互斥事件分情况,再由相互独立事件的概率公式,进行计算.

20. (2016?大庆校级二模)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折 起,得到三棱锥 B﹣ACD,点 M 是棱 BC 的中点, . (1)求证:OD⊥面 ABC; (2)求点 M 到平面 ABD 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)根据题意给出的条件得出 OD⊥AC.OD⊥OM,运用直线平面的垂直判定定理可证明.
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(2)VM﹣ABD=VD﹣MAB,运用等积法求解距离问题. 【解答】证明: (1)由题意,OM=OD=3, ∵DM=3 , ∴∠DOM=90°,OD⊥OM, 又∵菱形 ABCD, ∴OD⊥AC. ∵OM∩AC=O, ∴OD⊥平面 ABC (2)由(1)知 OD=3 为三棱锥 D﹣ABM 的高.

△ ABM 的面积为 S△ ABM= 又 AB=AD=6,BD=3 ?d= d= . 所以 S△ ABD= ×3,

×sin120°= × =

=



,VM﹣ABD=VD﹣MAB,

【点评】本题考查了空间直线平面垂直问题,利用等积法求解空间距离,考查了学生的空间想象能力,计算能力.

21. (2016?河东区一模)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存直线 l,满足 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
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,过点 P(2,1)

【考点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题. 2 2 2 【分析】 (1)先设椭圆的标准方程,将点 M 代入得到一个方程,根据离心率得到一个关系式,再由 a =b +c 可得到 a, b,c 的值,进而得到椭圆的方程. (2)假设存在直线满足条件,设直线方程为 y=k(x﹣2)+1,然后与椭圆方程联立消去 y 得到一元二次方程,且方程 一定有两根,故应△ 大于 0 得到 k 的范围,进而可得到两根之和、两根之积的表达式,再表示出 入关系式 可确定 k 的值,从而得解. 、 、 ,再代

【解答】解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

,由题意得

解得 a =4,b =3,故椭圆 C 的方程为

2

2



(Ⅱ)若存在直线 l 满足条件,由题意可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+1,



得(3+4k )x ﹣8k(2k﹣1)x+16k ﹣16k﹣8=0.

2

2

2

因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 2 2 2 所以△ =[﹣8k(2k﹣1)] ﹣4?(3+4k )?(16k ﹣16k﹣8)>0. 整理得 32(6k+3)>0. 解得 .







且 所以

,即 .即

, .

所以

,解得



所以

.于是存在直线 l 满足条件,其的方程为



【点评】本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题.直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型,要着重 复习. 22. (2016?衡阳校级模拟)已知函数 f (x)=ax﹣e (a∈R) ,g(x)=
x



(I)求函数 f (x)的单调区间; x (Ⅱ)?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f (x)≤g(x)﹣e 成立,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. x 【分析】 (Ⅰ)f′(x)=a﹣e ,x∈R.对 a 分类讨论,利用导数研究函数的单调性即可得出;
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(Ⅱ)由?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f(x)≤g(x)﹣e ,即 a≤ 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. x 【解答】解: (Ⅰ)∵f′(x)=a﹣e ,x∈R. 当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在 R 上单调递减; 当 a>0 时,令 f′(x)=0 得 x=lna. 由 f′(x)>0 得 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,lna) ; 由 f′(x)<0 得 f(x)的单调递减区间为(lna,+∞) . (Ⅱ)∵?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f(x)≤g(x)﹣e ,则 设 h(x)= ,则问题转化为 a ,
x

x

.设 h(x)=

,则问题转化为 a



,即 a≤



由 h′(x)=

,令 h′(x)=0,则 x=



当 x 在区间(0,+∞) 内变化时,h′(x) 、h(x)变化情况如下表: x h′(x) + 0 ﹣

h(x)

单调递增

极大值

单调递减 .

由上表可知,当 x= ∴ .

时,函数 h(x)有极大值,即最大值为

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属 于难题. 23. (2015 秋?石嘴山校级期末)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的方程为 ρ =8ρsinθ﹣15,曲线 C2 的方程为 (1)将 C1 的方程化为直角坐标方程; (2)若 C2 上的点 Q 对应的参数为 α= ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值.
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2

(α 为参数) .

【考点】极坐标刻画点的位置;简单曲线的极坐标方程. 【专题】综合题.
2 2 2

【分析】 (1)利用极坐标公式 ρ =x +y ,x=ρcosθ,y=ρsinθ 进行化简即可求出曲线 C1 普通方程; (2)先求出曲线 C2 上的点 Q 的坐标,利用圆心到点 Q 的距离减去半径即为所求的 PQ 的最小值即可解决问题. 2 【解答】解: (1)曲线 C1 的方程为 ρ =8ρsinθ﹣15 化为直角坐标方程为: 2 2 x +y ﹣8y+15=0; (3 分)其圆心坐标(0,4) ,半径为:1. (2)当 α= ,时,得 Q(﹣2,1)它到曲线 C1 的圆心 C1(0,4)的距离为: ,

∴PQ 的最小值 . 【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程,以及圆的极坐标方程,属于基础题.


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