高三数学总复习--排列组合与概率统计


排列组合复习
一、 知识回顾

1.分类计数原理和分步计数原理 (1)分类计数原理(加法原理): 做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二 类办法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法。那么完成这件 事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 (2) 分步计数原理(乘法原理): 做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有 N=m1× m2×…×mn 种不同的方法。 2.排列的定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素 (这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 3.排列数定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示. 4.排列数公式: A
m n

m

? n(n ? 1)(n ? 2)

n An n! (n ? m ? 1) ? n? m ? . An? m (n ? m)!

5.全排列:n 个不同元素全部取出的排列。
n An ? n!

6.阶乘:从自然数 1 到 n 的连乘积,记为

,规定:0!=1

7.组合的定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素 (这里的被取元素各不相同) 并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 8.组合与排列的区别:组合无序,排列有序。 9.组合数:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有组合的个数叫做从 n 个元
m 素中取出 m 元素的组合数,用符号 C n 表示.

10.组合数公式:
m Cn ? m An n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) n! ? ? . ?n, m ? N? , m ? n? m Am m! m!(n ? m)!

m n?m m m m?1 11.两个性质: Cn ; Cn . 规定: Cn ? Cn ?1 ? Cn ? Cn

0

? 1.

1

12.几个常用公式: ⑴ n ? n!? (n ? 1)!?n! ⑵

n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!

m m m m?1 ⑶ Cm ? Cm ?1 ? ? ? Cn ? Cn?1



m m Am ? Am ?1 ?

m m m m ? An ? Am (Cm ? Cm ?1 ?

m m m?1 ? Cn ) ? Am ? Cn ?1

概率统计复习
分布列、数学期望和方差
1、 分布列: ξ

P

x1 P1

x2 P2

… …

xi Pi

… …

2、分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1. 3、数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? … 性质: E (a? ? b) ? aE? ? b

为 ξ 的数学期望,简称期望.

4、方差: D ? = ( x1 ? E? ) ? p1 + ( x2 ? E? ) ? p2 +…+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +…
2 2

称为随机变量 ξ 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ξ 的期望. 性质: (1) D(a? ? b) ? a 2 D? ; (2) D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ;

5、二项分布: ξ ~ B ( n , p ) ,并记 Cn p q ξ 0
0 0 n Cn pq

k

k

n ?k

=b(k;n,p).

1
1 1 n ?1 Cn pq

… …

k
k k n ?k Cn p q

… …

n
n n 0 Cn p q

P

Eξ =np, D? ? np(1-p)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2

排列组合试题
1、 不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁两种不能 排在一起,则不同的排法种数共有

A、12 种

B、20 种

C、24 种

D、48 种

2、 有 6 个座位连成一排,安排 3 人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有

A、36 种

B、48 种

C、72 种

D、96 种

3、 从 0,1,2,3,4 每次取出不同的三个数字组成三位数,那么这些三位数的个位数字 之和为

A、80

B、90

C、110

D、120

4、 以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是

B、

C、

-6

D、

5、 5 人站成一排,其中 A 不在左端也不和 B 相邻的排法种数为

A、48

B、54

C、60

D、66

6、 由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有

A、72

B、60

C、48

D、52

7、用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数 字 12340 应是第( )个数。

A、6

B、9

C、10

D、8

3

8、AB 和 CD 为平面内两条相交直线,AB 上有 m 个点,CD 上有 n 个点,且两直线上各有 一个与交点重合,则以这 m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是

B、

C、

D、

2.6 人排成一排,如果甲与乙之间恰有两人,则不同的排法种数为 ( ) A.144 B.120 C.96 D.48 6.5 人排成一排,甲必须站第一、二个位置,乙必须站第二、三个位置,则不同的排法有 ( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.30 种

答案:1、C 7、C 8、D

2、C

3、B

4、D

5、B

6、B

4

概率测试题
一、选择题: 1. 打靶时,甲每打 10 次可打中 8 靶次,乙每打 10 次可打中 7 靶次,若两人同时射击 同一个目标,则他们都中靶的概率是 ( ) A.

14 25

B.

12 25

C.

3 4

D.

3 5

2. 有 2n 个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所得的两个数的和为偶 数的概率为 ( ) A.

1 2

B.

1 2n

C.

n ?1 2n ? 1

D.

n ?1 2n ? 1

3. 有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球放入这五个 盒子中,要求每个盒子内放一个球,则恰好有两个球的编号与盒子的编号相同的概率为 ( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 2

4.一个学生宿舍里有 6 名学生,则 6 个人的生日都在星期天的概率与 6 个人的生日都不在 星期天的概率分别为 ( )

1 6 与 6 6 7 7 7 6 6 C. 6 与( ) 7 7
A.

B.

6 6 与( ) 6 6 7 7 1 6 6 D. 6 与( ) 7 7

5.某商场开展促销抽奖活动,摇奖摇出的一组中奖号码是 8,2,5,3,7,1,参加抽奖的每位顾 客从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,这十个数码中任意抽出六个组成一组,如果顾客抽出的六个数码 中至少有 5 个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖,则得奖的概率为( ) A.

1 7

B.

1 32

C.

4 35

D.

5 42

6.如果在一百张有奖储蓄的奖券中,只有一、二、三等到奖,其中一等奖 1 个,二等奖 5 个, 三等奖 10 个,买一张奖券,则中奖的概率为 ( ) A.0.10 B.0.12 C.0.16 D. 0.18 7.一块各面均有油漆的正方体被锯成 1000 个同样大小的正方体,若将这些小正方体均匀 地搅匀混在一起,则任意取出的一个小正方体其两面均有油漆的概率是( ) A.

12 125

B.

3 25

C.

1 10

D.

1 12 7 为概率的事件是 10

8.在 5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件,那么以 ( )

A.都不是一等品. B .恰有一件一等品. C.至少有一件一等品. D.至多有一件一等品. 9.袋子中有白球 5 只,黑球 6 只,连续取出 3 只球,则顺序为“黑白黑”的概率为( A.

)

1 11

B.

2 32

C.
5

4 33

D.

5 33

10.某人对同一目标进行射击,每次命中率是 0.25,若使至少命中一次的概率不少于 0.75, 则至少应射击 ( ) A.4 次 B.5 次 C.6 次 D.8 次 11.某班有学生 40 人,其中男生 25 人,女生 15 人,任选 5 人组成班委会,则至少有 2 名女班 委的概率是 ( ) A.0.4309 B.0.5309 C.0.6309 D.0.7309 12.流星穿过大气层落在地球上的概率为 0.002,则流星数量为 10 个的流星群穿过大气层 时有 4 个落在地球上的概率约为 ( ) A.3.32 ? 10-5 B.3.32 ? 10
?8

C.6.64 ? 10

?5

D.6.64 ? 10

?8

二、填空题: 13.在某次花样滑冰比赛中,发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增 加到 14 名,但只任取其中的 7 名裁判的评分作为有效分,若 14 名裁判中有 2 人受贿, 则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 (结果用数值表示). 14. 6 个人坐到 9 个座位的一排位置上,则恰有 3 个空位且 3 个空位互不相邻的概率为 15.有 2n 名运动员参加比赛,分成两组进行,每组 n 人,其中两名最强的运动员分在一组的 概率为 . 16.某人备有两合名片,每合有 n 张,会见客人时从任意一合中取一张送给客人,经若干时间 后,发现一合内名片已用完,这时另一合内还有 r 张名片的概率是 . 三、解答题: 17.A、B、C、D、E 五人分四本不同的书,每人至多分一本, 求: (1)A 不分甲书,B 不分乙书的概率. (2)甲书不分给 A、B,乙书不分给 C 的概率.

18.从 5 双不同号码的鞋子中任取 4 只,求这 4 只鞋子中至少有 2 只可以配成一双的概率.

19. 设有 6 个球,每个球都以同样的可能性落入 10 个格子的每一个格子中,试求: (1)某指定的 6 个格子中各有一个球的概率. (2)6 个球各在一个格子中的概率.

6

20.某食品公司为做广告开展摸球兑奖活动,盒中装有 4 红 4 白共 8 个小球,其大小和 手感都无区别,交 40 元钱摸 4 个球,具体奖金如下:4 红(100 元)、3 红(50 元)、2 红(10 元)、1 红(1 包成本 2 元的该公司生产的瓜子),试说明该公司是否盈利。

21.设人的某一特征(如眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的,以 d 表示显性基因,r 表示 隐性基因,则具有 dd 基因的人为纯显性,具有 rr 基因的纯隐性,具有 rd 基因的人为 混合性,纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各 得到一个基因,假定父母都有是混合性的,问: (1).1 个孩子有显性决定特征的概率是多少? (2).2 个孩子中至少有一个有显性决定的特征的概率是多少?

22.某电路如图所示,在某段时间内,开关 A、B、C、D 能接通的概率都有是 P. (1).计算这段时间内电灯不亮的概率 f(p). (2).f(p)在 p ? (0,1)内是否存在最大值,若存在,请求出 P 的值及最大值,否则,说明理 由. B A D

C

7

概率测试题答案
一、选择题: 1.A 2.C 7.A 8.D 二、填空题: 13.

3.A 9.D

4.D 10.B

5.D 11.C

6.C 12.B

3 13

14.5/12

15.(n-1)/(2n-1)

16.

三、解答题: 17.解: (1)
4 1 1 3 3 4 4 ? A4 ? A3 A3 A3 13 ? A3 A4 A4 ? 或 1 ? ? ? ? 5 5 5 5 ? A5 20 ? A5 A5 A5 ?

4 1 1 3 A4 ? A2 A3 A3 1 (2) ? 5 A5 2

?C C C ? ? C
1 5 1 8 1 6

18.解:

A

2 2

2 5

C

4 10

?
6 A10 10 6

13 21

19.解:①

A66 10 6



20.解:

3 1 2 2 1 3 C4 10C4 C4 2C4 C4 100 50C4 40 ? 4 ? ? ? 4 4 4 C8 C8 C8 C8

? 40 ?

1292 1508 ? ? 21.5 ? 0 70 70

所以该公司一般情况下会盈利。 21.解:① 1 ?

1 3 ? 2? 2 4

② 1 ? ?1 ?

? ?

3 ? 15 ? ? 4 ? 16

2

22.解:假设事件 A 为 A 键闭合,事件 B 为 B 键闭合,事件 C 为 C 键闭合,事件 D 为 D 键闭合。

P A ? D ??B ? C?

?

? 1 ? P ? A? P ? ? B ? C ?

?

?

?

? 1 ? P ? A? P ? D ? ?1 ? P ? B ? ? P ? C ? ? ? 1 ? p ?1 ? p ? p 2 ? p 3 ? ? ? p 4 ? p3 ? p 2 ? p ? 1

8

二项分布与超几何分布辨析
山东 韩文文

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、 应用广泛的概率模型, 实际中的许多问题都 可以利用这两个概率模型来解决. 在实际应用中, 理解并区分两个概率模型是至关重要的. 下 面举例进行对比辨析. 例 袋中有 8 个白球、2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解: (1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 ? 1? 黑球的概率均为,3 次取球可以看成 3 次独立重复试验,则 X ~ B ? 3, ? . ? 5?
64 ?4? 0 ?1? ∴ P( X ? 0) ? C3 ; ? ? ?? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 48 ?1? ? 4? P( X ? 1) ? C ? ? ? ? ? ? ; ? 5 ? ? 5 ? 125
1 3 1 2 0 3

12 ?1? ? 4? P( X ? 2) ? C32 ? ? ? ? ? ? ; 5 5 125 ? ? ? ? 1 ?4? 3?1? P( X ? 3) ? C3 . ? ? ?? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
3 0

2

1

因此, X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

64 125

48 125

12 125

1 125

2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:
P(Y ? 0) ?
0 3 1 2 2 1 C2 C8 C2 C8 C2 C8 1 7 7 ? P ( Y ? 1) ? ? P ( Y ? 2) ? ? . ; ; 3 3 3 C10 15 C10 15 C10 15

因此, Y 的分布列为

Y P

0

1

2

7 15

7 15

1 15

辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到 某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽 样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何 分布模型. 因此, 二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放 回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重
9

要的.

超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别: 超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复)

当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.........

10


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