【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:3.3 第3课时 函数的最大(小)值与导数


选修 1-1

第三章

3.3

第 3 课时

一、选择题 1.(2014· 营口三中期中)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值, 则 a+b 等于( A.2 C.6 [答案] C [解析] f ′(x)=12x2-2ax-2b,由条件知 x=1 是方程 f ′(x)=0 的实数根,∴a+b= 6. 2.函数 f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为( 2 3 A. 9 3 2 C. 9 [答案] A [解析] f ′(x)=1-3x2=0,得 x= ∵f? 3? 2 3 = ,f(0)=f(1)=0. ?3? 9 2 3 . 9 3 ∈[0,1], 3 ) ) B.3 D.9

2 2 B. 9 3 D. 8

∴f(x)max=

3.(2014· 河南淇县一中模拟)设 a∈R,若函数 y=eax+3x,x∈R 有大于零的极值点,则 ( ) A.a>-3 1 C.a>- 3 [答案] B 3 [解析] y′=aeax+3,由条件知,方程 aeax+3=0 有大于零的实数根,∴0<- <1,∴ a a<-3. 1 4.(2014· 枣庄市期中)若 1、3 为函数 f(x)= x3+bx2+cx(b,c∈R)的两个极值点,则曲 3 线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为( A.8 C.4 ) B.a<-3 1 D.a<- 3

B.6 D.0

[答案] A [解析] f ′(x)=x2+2bx+c,由条件知,1,3 是方程 f ′(x)=0 的两个实根,∴b=-2, c=3,∴f ′(-1)=8,故选 A. 5.(2014· 北京东城区联考)如图是函数 y=f(x)的导函数 f ′(x)的图象,则下面判断正确 的是( )

A.在区间(-2,1)上 f(x)是增函数 C.在(4,5)上 f(x)是增函数 [答案] C

B.在(1,3)上 f(x)是减函数 D.当 x=4 时,f(x)取极大值

[解析] 由导函数 y=f ′(x)的图象知,f(x)在(-2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减, 在(4,5)上单调递增,x=4 是 f(x)的极小值点,故 A、B、D 错误,选 C. 6. (2014· 河北冀州中学期中)已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则 实数 a 的取值范围是( A.(-1,2) C.(-3,6) [答案] B [解析] f ′(x)=3x2+2ax+a+6,由条件知,方程 f ′(x)=0 有两不等实根,∴Δ=4a2 -12(a+6)>0, ∴a<-3 或 a>6,故选 B. 二、填空题 7. (2014· 福建安溪一中、养正中学联考 )曲线 y= x(3lnx+ 1)在点 (1,1)处的切线方程为 ________. [答案] 4x-y-3=0 [解析] y′|x=1=(3lnx+4)|x=1=4,∴切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0. 8.(2014· 河北冀州中学期中)若函数 f(x)=x+asinx 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围 为________. [答案] [-1,1] [解析] f ′(x)=1+acosx,由条件知 f ′(x)≥0 在 R 上恒成立,∴1+acosx≥0,a=0 时显然成立;a>0 时, 1 1 1 ∵- ≤cosx 恒成立,∴- ≤-1,∴a≤1,∴0<a≤1;a<0 时,∵- ≥cosx 恒成立, a a a ) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

1 ∴- ≥1,∴a≥-1,即-1≤a<0,综上知-1≤a≤1. a x 9.(2014· 三亚市一中月考)曲线 y= 在点(1,1)处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x2+y2 2x-1 +4x+3=0 上的点的最近距离是________. [答案] 2 2-1 [解析] y′|x=1=- 1 | = =-1,∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0, ?2x-1?2 x 1

圆心(-2,0)到直线的距离 d=2 2,圆的半径 r=1, ∴所求最近距离为 2 2-1. 三、解答题 10.(2014· 淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线 y=f(x) 在点 P(1,f(1))处的切线方程为 y=3x+1. (1)求 a、b 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值. [解析] (1)依题意可知点 P(1,f(1))为切点,代入切线方程 y=3x+1 可得,f(1)=3×1 +1=4, ∴f(1)=1+a+b+5=4,即 a+b=-2, 又由 f(x)=x3+ax2+bx+5 得,f ′(x)=3x2+2ax+b, 而由切线方程 y=3x+1 的斜率可知 f ′(1)=3, ∴3+2a+b=3,即 2a+b=0,
?a+b=-2, ?a=2, ? ? 由? 解得? ?2a+b=0. ?b=-4, ? ?

∴a=2,b=-4. (2)由(1)知 f(x)=x3+2x2-4x+5, f ′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2), 2 令 f ′(x)=0,得 x= 或 x=-2. 3 当 x 变化时,f(x),f ′(x)的变化情况如下表: x f ′(x) f(x) 8 -3 (-3,-2) + 增 -2 0 极大值 2 (-2, ) 3 - 减 2 3 0 极小值 2 ( ,1) 3 + 增 4 1

2 95 ∴f(x)的极大值为 f(-2)=13,极小值为 f( )= , 3 27 又 f(-3)=8,f(1)=4,

∴f(x)在[-3,1]上的最大值为 13.

一、选择题 11.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[-2,1]上的最大值、最小值分别是( A.12;-8 C.12;-15 [答案] A [解析] y′=6x2-6x-12,由 y′=0?x=-1 或 x=2(舍去).x=-2 时 y=1,x=-1 时 y=12,x=1 时 y=-8. ∴ymax=12,ymin=-8.故选 A. 12.(2014· 开滦二中期中)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值 范围是( ) B.(-∞,1) 1 D.(0, ) 2 B.1;-8 D.5;-16 )

A.(0,1) C.(0,+∞) [答案] D

[解析] f ′(x)=3x2-6b,∵f(x)在(0,1)内有极小值, ∴在(0,1)内存在点 x0,使得在(0,x0)内 f ′(x)<0,在(x0,1)内 f ′(x)>0,由 f ′(x)=0 得, x =2b>0,
? ?b>0 1 ∴? ∴0<b< . 2 ? ? 2b<1,
2

13.(2014· 抚顺市六校联合体期中)已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x2 -2x-3)f ′(x)>0 的解集为( )

A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) [答案] D [解析] 由 f(x)的图象知,在(-∞,-1)上 f ′(x)>0,在(-1,1)上 f ′(x)<0,在(1,+ ∞)上 f ′(x)>0,又 x2-2x-3>0 的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),x2-2x-3<0 的解集为(- 1,3).

∴不等式(x2-2x-3)f ′(x)>0 的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞). 14.(2014· 安徽程集中学期中)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f ′(x)>f(x),则( A.f(2)<e2f(0) C.f(2)=e2f(0) [答案] D f?2? f?0? [分析] 所给四个选项实质是比较 f(2)与 e2f(0)的大小,即比较 2 与 0 的大小,故构造 e e f?x? 函数 F(x)= x 解决. e f ′?x?-f?x? f?x? [解析] 设 F(x)= x ,则 F′(x)= >0, e ex ∴F(x)在 R 上为增函数,故 F(2)>F(0), ∴ f?2? f?0? > , e2 e0 B.f(2)≤e2f(0) D.f(2)>e2f(0) )

即 f(2)>e2f(0). 二、填空题 x2+a 15.若函数 f(x)= 在 x=1 处取得极值,则 a=________. x+1 [答案] 3 [解析] 考查分式函数求导法则、极值点的性质. 2x?x+1?-?x2+a? x2+2x-a f ′(x)= = , ?x+1?2 ?x+1?2 1+2-a f ′(1)=0? =0?a=3. 4 16.函数 y=x3-3x+9 的极小值是________. [答案] 7 [解析] y′=3x2-3,令 y′>0,得 x>1 或 x<-1,令 y′<0,得-1<x<1, ∴函数在(-∞,1),(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减, ∴当 x=1 时,函数取得极小值 1-3+9=7. 三、解答题 17.已知 f(x)=ax3+bx2-2x+c,在 x=-2 时有极大值 6,在 x=1 时有极小值. (1)求 a、b、c 的值; (2)求出 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx-2,

f′?-2?=12a-4b-2=0 ? ? 由已知得?f′?1?=3a+2b-2=0 ? ?f?-2?=-8a+4b+4+c=6 1 1 8 解得 a= ,b= ,c= . 3 2 3 1 1 8 (2)由(1)知 f(x)= x3+ x2-2x+ , 3 2 3



f′(x)=x2+x-2,令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=1. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 25 6 -3 (-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - 1 0 3 2 (1,3) + 61 6 3

61 3 由上表可知,当 x=3 时,f(x)取得最大值 ,当 x=1 时,f(x)取得最小值 . 6 2


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