高三数列专题练习30道带答案


高三数列专题训练二
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、解答题 1.在公差不为零的等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 3 ,且 a1、a3、a7 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,记 bn ?

9 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2S2 n

2.已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0, 且S 3 ? S 5 ? 50, a1 , a 4 , a13 成等比数 列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 ?

? bn ? ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a ? n?
1 1 ,且 S1 ? , S2 , S3 成等差数列,数 8 16

3.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 列 ?bn ? 满足 bn ? 2n . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2) 设 cn ?an b?n , 若对任意 n ? N * , 不等式 c1 ? c2 ? … ? cn ? 求 ? 的取值范围.

1 ? ? 2S n ? 1 恒成立, 2

4.已知等差数列{ an }的公差 d ? 2 ,其前 n 项和为 Sn ,且等比数列{ bn }满足 b1 ? a1 ,

b2 ? a4 , b3 ? a13 .
(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式和数列{ bn }的前 n 项和 Bn ; (Ⅱ)记数列{

1 }的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . Sn

5.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2 ? an ? n ? 1,2,3,?? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn ? n ? 3 ? bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
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6.已知差数列等 (1)求数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ,且对于任意的正整数 n 满足 2

Sn ? an ? 1

.

?an ? 的通项公式;
1 an an?1 , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn .

bn ?
(2)设

7.对于数列 {an } 、{bn } ,Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且 Sn ?1 ? (n ? 1) ? Sn ? an ? n ,

a1 ? b1 ? 1 , bn ?1 ? 3bn ? 2 , n ? N ? .
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)令 cn ?

2(an ? n) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n(bn ? 1) 1 1 ? ), a1 a2

8.已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2(

a3 ? a4 ? a5 ? 64(

1 1 1 ? ? ). a3 a4 a5

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

9.已知数列

{an } 的首项 a1 ? 1 ,前 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ?1 ? 0 ( n ? N* ). n

(Ⅰ) 求证:数列 {an ? 1} 为等比数列; (Ⅱ) 令 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 10. 已知各项都为正数的等比数列 {an } 满足 2 a3 是 3a1 与 2 a2 的等差中项, 且 a1a2 ? a3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? log3 an , 且 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和, 求数列 {

1

1 ? 2Sn } 的前 n 项和 Tn . Sn

11.已知数列 (1)求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, S2n ? 2an2 ? an .

?an ? 的通项公式;
a

(2)若 bn ? 2 n ,求 b1 ? b3 ? b5 ? ... ? b2n?1 . 12.设公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项为 1,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.
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(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

13.已知数列 ?an ? 是等比数列,满足 a1 ? 3, a4 ? 24 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4, b4 ? 22 , 且 ?bn ? an ? 是等差数列. (I)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (II)求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 14.设数列 {an } 满足 a1 ?

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn ? 2n , n ? N * . 2 2 2 ?1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . (an ? 1)(an?1 ? 1)

15.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn?1
1 a3 是 3a1 与 2a2 的等差中项, 且 a1a2 ? a3 . 2

16. 已知各项都为正数的等比数列 {an } 满足 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ) 设 bn ? log3 an , 且 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和, 求数列的 {

1 ? 2Sn } 的前 n 项和 Tn . Sn
?

17 . 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 a1 ? 2 , b1 ? 1 , an?1 ? 2an ( n ? N ),

1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 ? 1 ( n ? N ? ). 2 3 n
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 18. 已知数列 {an } 中,a1 ? 2 ,an?1 ? 2 ? (1)求证:数列 {bn } 是等差数列;

1 1 ? , 数列 {bn } 中,bn ? , 其中 n ? N . an an ? 1

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(2)设 Sn 是数列 { bn } 的前 n 项和,求

1 3

1 1 1 ? ??? S1 S 2 Sn

19 . 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列

?an ?

的 前

n 项 和 为 Sn , 满 足

2 an a, 2 ? a 1a , 恰为等比数列 , ?bn ? 的前 3 项. ?1 ? 2Sn ? n ? 4 3 7

(1)求数列

?an ? , ?bn ? 的通项公式;
n

(2)若 cn ? ? ?1? log 2 bn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn . an an?1
4 1 , a1a3 ? ,公比 q ? 1 3 3

20.已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和; (2)设 bn ?

1 ,数列 ?bnbn?2 ? 的前 n 项和为 Tn,若对于任意的正整数,都有 2 ? log 3an
3 成立,求实 4

Tn ? m 2 ? m ?

数 m 的取值范围. 21.已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 ,前 4 项和 S4 ? 28 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 T2 n .
n

22.已知公差不为零的等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)求数列 {2 n } 的前 n 项和 Sn 。 23. (本小题满分 14 分)等比数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n?6 ? a ,数列 {bn } 满足
a

bn ?

1 an a2 * 1 (log a 2 ? log 2 ? ? ? log 2 ) ( n ? N ). n

(1)求 a 的值及 {an } 的通项公式; (2)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 ; b ? b ? n n?1 ?
? an ? ? 的最小项的值. ? bn ?

(3)求数列 ?

2 24 . 数 列 {an } 的 通 项 an 是 关 于 x 的 不 等 式 x ? x ? nx 的 解 集 中 正 整 数 的 个 数 ,

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f ( n) ?

1 1 1 . ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n

(1)求数列 {an } 的通项公式;

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; 2n 7 (3)求证:对 n ? 2 且 n ? N * 恒有 ? f ( n) ? 1 . 12
(2)若 bn ? 25. 已知各项均不为零的数列 ?an ? 满足: 且 a1 ? 2 , 8a4 ? a7 . an ? 2 an ? an +12 n ? N * , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

?

?

an n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n ? n ? n ? 1? 2

26.已知 ?an ? 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 是等比 数列,首项 b1 ? 1 ,且 a2b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20 . (1)求 ?an ? 和 ?bn ? 通项公式;
? (2)令 cn ? S n cos ? an? ? n ? N ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

27.在数列{an}中,a1=1,a4=7,an+2﹣2an+1+an=0(n∈N ) (1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn= ) (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
+



? 28.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? n ? n ? 1? n ? N .

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? (3) 令 cn ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ... ? n n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

anbn ? n ? N ? ? ,数列 ?cn? 的前 n 项和为 Tn . 4 n(n ? 1) 29.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? . 2
(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (?1) (an ? 2
n an

?

1 ) ,求数列 ?bn ?的前 项和 . Tn an?1 ? an n
*

30.设数列 {an } 满足: a1 ? 1 ,an ?1 ? 3an , n ? N .设 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,已 知 b1 ? 0 , 2bn ? b1 ? S1S n , n ? N .
*

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(1)求数列 {an } , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? bn log 3 an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

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参考答案

a ? n ? 1 (2) 1. (1) n

Tn ?

n ?1 n

【解析】 试题分析: (1)求等差数列通项公式,基本方法为待定系数法,即根据条件列两个关于首项

与公差的方程:

a1 ? d ? 3, ? a1 ? 2d ?

2

? a1 ? 2 ? ? a1 ? a1 ? 6d ? d ? 1 ,代 ,注意公差不为零,解得 ?
(2)先根据等差数列求和公式得

入通项公式得

an ? 2 ? 1 1 ? n ?n? ? ?

1 ?

S3n ? 3n ? 2 ?

3n ? 3n ? 1? 9n ? n ? 1? ?1 ? ?bn ? 通 项 公 式 2 2 , 因 此 代 入 化 简 数 列
bn ? 1 1 ? n n ?1 ,

bn ?

9 9 2 1 ? ? ? 2S3n 2 9n ? n ? 1? n ? n ? 1?

,所以利用裂项相消法求和,即

1? 1 n ?1 ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? n n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?
试 题 解 析 : ① 设

?an ?









d











a1 ? d ? 3 ? ? 2 ?? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ? d ?0 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分

? a1 ? 2 ? d ?1 , 解得 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分


an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ?1
S3n ? 3n ? 2 ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分



3n ? 3n ? 1? 9n ? n ? 1? ?1 ? 2 2 ,

bn ?

9 9 2 1 1 1 ? ? ? ? ? 2S3n 2 9n ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分

1? 1 n ?1 ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? n n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?
Tn ? n ?1 n . . . . . .12 分





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考点:等差数列通项,裂项相消法求和 【方法点睛】 裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式, 然后通过累加抵 消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 ?

?

c ? ? (其中 ?an ? 是各项均不为零的等差 ? an an ?1 ?

数列,c 为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有 一类隔一项的裂项求和,如

1 1 或 . (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2)
n

2. (Ⅰ) an ? 2n ? 1(Ⅱ) Tn ? n ? 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)将已知条件转化为首项和公差表示,解方程组可得到基本量,从而确定数 列的通项公式; (Ⅱ)首先化简数列 ? 点采用裂项相消法求和 试题解析: (Ⅰ)依题意得

? bn ? n?1 ? 得到 ?bn ? 的通项公式 bn ? (2n ? 1) ? 3 ,结合特 ? an ?

3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12d ) 1 1 ? 1
解得 ?

???2 分

?a1 ? 3 , ?d ? 2

????4 分

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 即a n ? 2n ? 1 . ?????????6 分
( Ⅱ) 分

bn ? 3 n ?1 , bn ? a n ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 an

???????7

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 2 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) ? 3 n
????????9 分

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? ? ? 2 ? 3 n ?1 ? (2n ? 1)3 n

? 3? 2?

3(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1)3n ? ?2n ? 3n 1? 3
????????????12 分

∴ Tn ? n ? 3 n 考点:数列求通项公式及数列求和

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3. (1) an ? ( ) 【解析】

1 2

n ?1

; (2) (??, 2] .

1 1 , S2 , S3 称等差数列,求解 q ? , 16 2 n 即可求解数列的通项公式; (2)由(1)可知 cn ? n ,利用乘公比错位相减法,求解数列 2 n?2 1 的和 Tn ? 2 ? n ,再根据不等式 c1 ? c2 ? … ? cn ? ? ? 2 S n ? 1 恒成立,利用 f ( n) 关于 2 2 n 单调性,即可求解 ? 的取值范围.
试题分析: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 S1 ? 试题解析: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q , ∵ S1 ? ∵ a2 ?

1 1 1 ? S3 ,∴ a2 ? a3 ? , , S2 , S3 称等差数列,∴ 2 S 2 ? S1 ? 16 16 16
1 1 a 1 ,∴ a3 ? ,∴ q ? 3 ? , 8 16 a2 2
n?2

∴ an ? a2 q

1 1 1 ? ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 . 8 2 2

(2)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? c1 ? c2 ? … ? cn , 又 cn ? an ? bn ? 2n ? ( ) ∴ Tn ?

1 2

n ?1

?

n , 2n

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?…? n , 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? ? 3 ? … ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n Tn ? ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ? 2 两 式 相 减 得 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 n?2 ? 1 ? n ?1 w, 2 n?2 ∴ Tn ? 2 ? n , 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 (1 ? 1 ) , 又 Sn ? 4 1 2 2n 1? 2 1 对任意 n ? N * ,不等式 c1 ? c2 ? … ? cn ? ? ? 2 S n ? 1 恒成立, 2 1 n?2 1 1 n ?1 1 等价于 Tn ? ? ? 2 S n ? 1 恒成立,即 2 ? n ? ? ?1 ? n ?1 恒成立,即 2 ? n ? ? 2 2 2 2 2 2
恒成立,
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n +1 n ? 2 n ? 1 ?n , f (n ? 1) ? f (n) ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 0 , n 2 2 2 2 n ?1 2 1 ∴ f ( n) 关于 n 单调递减,∴ 2 ? n 关于 n 单调递增,∴ 2 ? ? ? ,∴ ? ? 2 , 2 2 2
令 f ( n) ? 所以 ? 的取值范围为 (??, 2] . 考点:数列的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题,其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等 比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、数列与函数的应用等知识点的综合考查,着 重中考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及学生转化与化归思想的应用, 本题的解答 中利用乘公比错位相减法求得数列的和, 转化为利用函数的单调性是解答的关键, 试题有一 定的难度,属于中档试题. 4. (Ⅰ) 【解析】
2 试题分析: (Ⅰ) 因为等差数列{ an }的公差 d ? 2 , 所以有 b2 ? b1b3 ? a1 (a1 ? 24) ? (a1 ? 6)2 ,

3 n 3 2n ? 3 (3 ? 1) ; (Ⅱ) ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

解之得 a1 ? 3 ,得 an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 ,设等比数列{ bn }的公比为 q ,则 q ? 3 ,由 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 即 可 求 出 结 果 . ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 Sn ? n(n ? 2) , 所 以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,采用裂项相消即可求出结果. Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2
试题解析:解: (Ⅰ)因为等差数列{ an }的公差 d ? 2 ,
2 所以有 b2 ? b1b3 ? a1 (a1 ? 24) ? (a1 ? 6)2 ,解之得 a1 ? 3

得 an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 ,设等比数列{ bn }的公比为 q ,则 q ? 3 ,
n 于是 Bn ? 3 ? (1 ? 3 ) ? 3 (3n ? 1) 1? 3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 Sn ? n(n ? 2) ,所以 因此 Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 1 n n?2

1 1 1 1 3 2n ? 3 ? ? (1 ? ? ? )? ? . 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)
考点:1.等差数列与等比数列;2.数列求和. 【方法点睛】 裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征, 就是能把一个数列的每一项裂为

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两 项的 差,其 本质就 是两 大类 型类型 一 : an ?

k 型 ,通过 拼凑 法裂解 成 f ? n? f ? n ? c?

an ?

k k ?1 1 ? ? ? ? ? ;类型二:通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公 an an?c cd ? an an ?c ?
k 型, f ? n? ? f ? n ? c?

式直接裂项型; 该类型的特点是需要熟悉无理型的特征, 对数的运算法则和阶乘和组合数公 式。 无理型的特征是, 分母为等差数列的连续两项的开方和, 形如 an ?

常见的有①

a 1 ? n ? 1 ? n ;②对数运算 log a n?1 ? log a an?1 ? log a an 本身可 an n ?1 ? n

m m m?1 以裂解;③阶乘和组合数公式型要重点掌握 nn! ? ? n ?1?!? n! 和 Cn . ?1 ? Cn ? Cn

?1? 5. (1) an ? ? ? ?2?
【解析】

n ?1

1 ?1? ; (2) bn ? 3 ? 2 ? ? ; (3) Tn ? 8 ? ?8 ? 4n ? n . 2 ?2?

n ?1

试题分析: (1)由已知数列递推式求出首项,得到当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2 ? an?1 ,与原递推式 作差后可得数列 ?an ? 是以 6 为首项, 以 3 为公比的等比数列. 再由等比数列的通项公式得答 案;(2)由(1)可得 bn?1 ? bn ? ? ? 其前 n 项和. 试题解析: (1)解:当 n ? 1 时, S1 ? 2 ? a1 ,则 a1 ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? 2 ? an ? ? ? 2 ? an?1 ? ? an?1 ? an , 则 2an ? an?1 ,∴

?1? ?2?

n ?1

,由累加法可求其通项公式; (3)由错位相减法求

an 1 1 ?1? ? ,所以,数列 ?an ? 是以首相 a1 ? 1 ,公比为 ,而 an ? ? ? 2 an ?1 2 ?2?
n ?1

n ?1



?1? (2)∵ bn?1 ? bn ? an ,∴ bn?1 ? bn ? ? ? ?2?



当 n ? 2 时, bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ?? ?bn ? bn?1 ?

?1? ?1? ?1? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2? ?2? ?2? ? 2?

0

1

2

n?2

?1? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 1 1? 2

n ?1

?1? ? 3 ? 2? ? ? 2?

n ?1



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又 b1 ? 1 满足,∴ bn ? 3 ? 2 ?

?1? ? ; ?2? ?1? ?2?
n ?1

n ?1

(3)∵ Cn ? n ? 3 ? bn ? ? 2n ? ?



2 n?2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? Tn ? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ? ? ① ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?? 2 ? ? 3 n ?1 n ?? 1 ? ? 1 ? 2 1 ?1? ?1? ?1? ? 而 Tn ? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ? ? ② 2 ?2? ?2? ?2? ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? n ?1 n ?? 1 ?0 ? 1 ?1 ? 1 ?2 1 ?1? ? ?1? ①---②得: Tn ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n ? ? , 2 ?2? ? ?2? ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

?1? 1? ? ? n n 8 1 2? ?1? ?1? ? Tn ? 4 ? 4n ? ? ? 8 ? n ? 4n ? ? ? 8 ? ? 8 ? 4n ? n . 1 2 2 ?2? ?2? 1? 2
考点: (1)数列递推式; (2)数列的通项公式; (3)数列求和. 【方法点晴】本题考查了数列的通项公式,考查了数列的求和,关键是会用累加法求通项公 式和数列的错位相减法求和,难度适中;解题中,在利用 an ? Sn ? Sn?1 这一常用等式以及

n

bn?1 ? bn ? f ?n? 时,用累加法求其通项公式;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比
数列求和公式,分组求和类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 和 ?bn ?分别为特殊数列,裂项相消 法类似于 an ? 数列等. 6. (1) an ? 2n ? 1; (2) Bn ? 【解析】 试题分析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 , n ? 1 时,利用 an ? ?

? ?

1 ,错位相减法类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 为等差数列,?bn ?为等比 n?n ? 1?

? ?

1? 1 ? ?1 ? ?. 2 ? 2n ? 1 ?

(n ? 1) ?S1 求得通项公式为 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

n 1? 1 1 ? (2) 根据 (1) 化简 bn ? ? 利用裂项求和法求得 Tn ? . ? an ? 2n ? 1; ?, 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
试题解析: ( 1 )? 对于任意的正整数 n, 2 Sn ? an ? 1 ① 恒成立,当 n ? 1 时, 2 a1 ? a1 ? 1 ,即
答案第 6 页,总 27 页

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?

a1 ? 1 ? 0,? a1 ? 1 , 当 n ? 2 时 , 有 2 Sn?1 ? an?1 ? 1
, 即

?

2



, ① -②

2

2

得 ,

2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1

? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? 2? ? 0

? an ? 0,?an ? an?1 ? 0,?an ? an?1 ? 2 ,

? 数列 ?an ? 是首项为 1 公差为 2 的等差数列.?an ? 1? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?1 .
(2)

? an ? 2n ? 1,?bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ,? Bn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?. 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ? 1 ?
考点:递推数列求通项,裂项求和法. 7. (1) an ? n 2 , bn ? 2 ? 3n?1 ? 1 ; (2) Tn ? 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 由 Sn ?1 ? (n ? 1) ? Sn ? an ? n ? an?1 ? an ? 2n ? 1 ?

15 2n ? 5 ? . 4 4 ? 3n ?1

an?1 ? ( an ? a ? n 1) ? ( a ? n 1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2n ?1) ? (2n ? 3) ? ?? 3 ? 1 ?
(2n ? 1 ? 1) n ? n2 2

? an ? n2 . 由 bn ?1 ? 3bn ? 2 ? bn?1 ? 1 ? 3(bn ? 1) ? {bn ? 1} 是 等 比 数 列 , 首 项 为
公比为 3 ? bn ? 1 ? 2 ? 3n?1 ? bn ? 2 ? 3n?1 ? 1 ; (2)cn ? b1 ? 1 ? 2 ,

2(n2 ? n) n ? 1 ? n ?1 ? 2n ? 3n ?1 3

2 3 4 ? ? ? 30 31 32 n n ?1 2?3 3 4 n n ?1 ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 3Tn ? 0 ? 0 ? 1 ? ? ? n ? 3 ? n ? 2 ? 3 3 3 3 3 3 3 15 2n ? 5 Tn ? ? . 4 4 ? 3n ?1 Tn ?

2Tn ?

15 2n ? 5 ? ? 2 2 ? 3n ?1

试题解析: (1)因为 Sn ?1 ? (n ? 1) ? Sn ? an ? n ,所以 an ?1 ? an ? 2n ? 1 ,所以

an?1 ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ? ? 3 ? 1 ?

?

(2n ? 1 ? 1)n ? n 2 , 所 以 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? n2 . 由 bn ?1 ? 3bn ? 2 , 得 2

答案第 7 页,总 27 页

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bn ?1 ? 1 ? 3(bn ? 1) , 所 以 {bn ? 1} 是 等 比 数 列 , 首 项 为 b1 ? 1 ? 2 , 公 比 为 3 , 所 以

bn ? 1 ? 2 ? 3n?1 ,所以 {bn} 的通项公式为 bn ? 2 ? 3n?1 ? 1 .
(2) cn ? 则 3Tn ?

2 3 4 n n ?1 2(n2 ? n) n ? 1 ? n ?1 ,所以 Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ,① n ?1 3 3 3 3 3 2n ? 3 3

2?3 3 4 n n ?1 ? 0 ? 1 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ② 0 3 3 3 3 3

1 1 ? n ?1 1 1 1 n ?1 3 ? n ? 1 ? 15 ? 2n ? 5 . ②-①得 2Tn ? 6 ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ? n ?1 ? 6 ? 1 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n ?1 1? 3 15 2n ? 5 ? 所以 Tn ? . 4 4 ? 3n ?1 考点:1、等差数列及其性质;2、等比数列及其性质;3、数列的前 n 项和. 【方法点晴】本题考查等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列的前 n 项和,涉及特殊
与一般思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较 强,属于较难题型.第一小题先由 Sn ?1 ? (n ? 1) ? Sn ? an ? n 求得 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,再利 用累加法求得 an ? n 2 .又由 bn ?1 ? 3bn ? 2 求得 bn?1 ? 1 ? 3(bn ? 1) , 可得 {bn ? 1}是等比数列 再 求 得 bn ? 1 ? 2 ? 3n?1 . 第 二 小 题 化 简 cn ?

2(n2 ? n) n ? 1 ? n ?1 ,再 利 用 错 位相 减 法 求得 2n ? 3n ?1 3

Tn ?

15 2n ? 5 ? . 4 4 ? 3n ?1 1 3
n 1? n

8. (1) an ? 2n?1 ; (2) (4 ? 4 【解析】

) ? 2n ? 1 .

试题分析: (1)根据已知列出关于首项 a1 和公比 q 的方程组,解出首项 a1 和公比 q 的值即 可求得 ?an ? 的通项公式; (2) 由 (1) 可知 bn ? (an ? 分三组分别求和即可. 试 题 解 析 :( 1 ) 设 公 比 为 q , 则 an ? a1q n?1 , 由 已 知 有

1 2 1 1 ) ? an 2 ? 2 ? 2 ? 4n?1 ? n?1 ? 2 , an an 4

1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2( a ? a q ), ? 1 1 , ? 1 1 1 2 3 4 ?a q ? a q ? a q ? 64( ? ? ), 1 1 1 ? a1q 2 a1q 3 a1q 4 ?

答案第 8 页,总 27 页

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?a12 q ? 2, ? 化简得 ? 2 6 ? ?a1 q 64,
又 a1 ? 0 ,故 q ? 2 , a1 ? 1 , 所以 an ? 2n?1 . (2)由(1)可知 bn ? (an ? 因此 Tn ? (1 ? 4 ? … ? 4
n ?1

1 2 1 1 ) ? an 2 ? 2 ? 2 ? 4n?1 ? n?1 ? 2 , an an 4
1 1 1 ? … ? n ?1 ) ?2n ? (4n ? 41? n ) ? 2n ? 1 . 4 4 3
n ?1

) ? (1 ?

考点:1、等比数列的通项及求和公式;2、“分组求和”的应用. 9. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) Tn ? (n ? 1)2 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 根据 an ? Sn ? Sn?1 结合已知条件等式即可使问题得证; (Ⅱ) 首先根据 (Ⅰ) 求得 bn 的通项公式,然后利用分组求和法与错位相减法求解即可. 试题解析: (Ⅰ) 由 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 1 ? 0 , 当 n ≥ 2 时, Sn ? 2Sn ?1 ? n ? 1 ? 1 ? 0 , 两式相减,得 an?1 ? 2an ? 1 ? 0 ,可得 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1)(n ≥ 2) , 4 分 又 (a1 ? a2 ) ? 2a1 ? 1 ? 1 ? 0 ,则 a2 ? 3 ,满足 a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) , 即 {an ? 1} 是一个首项为 2,公比为 2 的等比数列.6 分 (Ⅱ) 据(Ⅰ)得 an ? 2n ? 1 , 所以 bn ? nan ? n ? 2n ? n , 7 分 则 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ? ? n) . 令 Wn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ,则 2Wn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n?1 , 所以 ?Wn ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 则 Wn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 .10 分 所以 Tn ? (n ? 1)2n?1 ?

?

n(n ? 1) ? 2. 2

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n)2n?1 ? 2 . 1? 2

n(n ? 1) ?2 . 2
答案第 9 页,总 27 页

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考点:1、等比数列的定义;2、数列求和. 【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差 或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列,此法称为辅助数列法.常用 转化方法:变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等. 10. (Ⅰ) an ? 3n ; (Ⅱ) Tn ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用等差等比定义及性质组建方程组,求通项; (Ⅱ)利用第一问求出 bn , 再利用等差数列求和公式得 Sn ,最后通过裂项相消法求和. 试题解析: (I)设等比数列的公比为 q ,由题意知 q ? 0 ,且 3a1 ? 2a2 ? a3 ,
2 ? ?3a1 ? 2a1q ? a1q ∴? ,解得 a1 ? q ? 3 ,故 an ? 3n .??????5 分 2 ? ?a1 ?a1q ? a1q

2n 2 ? 4n . n ?1

(II)由(I)得 bn ? log3 an ? n ,所以 S n ? ∴

n(n ? 1) .??????6 分 2

1 ? 2Sn 2 1 1 ? ? 2 ? 2( ? ) ? 2 ,??????8 分 Sn n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 1 1 1 ? 2Sn )] ? 2n } 的前 n 项和为 Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 Sn

故数列 {

? 2(1 ?

1 2n 2 ? 4n ) ? 2n ? .??????12 分 n ?1 n ?1
2 n ?1 ? 4 ? 1? . 3

考点:1、等差等比知识;2、裂项相消求和. 11. (1) an ? n ; (2) 【解析】 试题分析: (1)根据 a1 ? 1, S2n ? 2an 2 ? an ,令 n ? 1 解得 a1 ? d ? 1 ,进而得数列 ?an ? 的通 项公式为 an ? n ; (2)由(1) bn ? 2
an

? 2n ,进而得 ?b2n?1? 是首项为 2 ,公比为 4 的等比

数列,再由等比数列前 n 项和公式可得结果. 试题解析: (1) 数列
2 S2n ? 2an2 ? an ,则 S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? a1 ,又 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 ,等差

?an ? 的公差 d ? a2 ? a1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n .
an

( 2 ) bn ? 2

? 2n , 所 以 数 列 ?b2n?1? 是 首 项 为 2 , 公 比 为 4 的 等 比 数 列 ,

答案第 10 页,总 27 页

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? b1 ? b3 ? b5 ? ... ? b2 n ?1 ?

2 n ?1 ? 4 ? 1? . 3 2n ? 3 . 2n

考点:1、等差数列的通项公式;2、等比数列前 n 项和公式. 12. (1) an ? 2n ? 1; (2) Tn ? 3 ? 【解析】

d的 试题分析: (1) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ?d ? 0? , 由 a2 , a 5 ,a 1 4 构成等比数列得关于
方程,解出 d 后 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得 an ; ( 2 ) 由 条 件 可 知 , n ? 2 时 ,

bn 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n ,再由(1)可求得 bn ,注意验证 n ? 1 的情形,利用错位相 an 2 ? 2 ? 2
减法可求得 Tn . 试题解析: ( 1 )设等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,由 a2 , a 5, a 14构成等比数列,有
2 d?? 1? 1d 3 a5 ? a2 a14 , 即 ?1 ? 4d ? ?? 1 ? 2 ? , 解 得 d ? 0 ( 舍 去 ), 或 d ? 2 , ∴
2

. an ? 1 ?? n ?1 1 ? ?2 ?2n ? (2)由已知

b b1 b2 b 1 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ,当 n ? 1 时, 1 ? ; a1 a2 an 2 a1 2

当 n ? 2 时,有

b ? 1? ? 1 ? 1 b b1 b2 1 ? ? ? ? n?1 ? 1 ? n?1 ,相减得 n ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n?1 ? ? n , an ? 2 ? ? 2 ? 2 a1 a2 an?1 2
bn 1 , 知 an ? 2n ? 1 , ∴ ? n ?n ? N* ? , 又 由 ( 1 ) an 2

当 n ?1 时,上式也成立,所以

2n ? 1 ?n ? N* ? , 2n 1 3 5 2n ? 1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 , Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 , 由 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2n 2 bn ?
相减得 Tn ?

1 2

2n ? 3 1 ? 2 2 2 ? 2n ? 1 3 1 2n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? ? n?1 ? n?1 ,∴ Tn ? 3 ? n . 2 2 ?2 2 2 ? 2 2 2 2

考点: (1)数列的求和; (2)等差数列与等比数列的综合. 【方法点晴】本题主要考查了等差数列,等比数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常 考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和 类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 和 ?bn ?分别为特殊数列,裂项相消法类似于 an ?

? ?

1 , n?n ? 1?

答案第 11 页,总 27 页

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错位相减法类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 为等差数列, ?bn ?为等比数列等. 13.(Ⅰ) an ? 3 ? 2 n?1 ; bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?). (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)数列 ?an ? 是等比数列,所以根据公式 q n ? m ?

? ?

n (3 ? n) ? 3 ? 2n ? 3 . 2

an ,求公比,根据首项和公 am

比求通项公式,因为数列 ?bn ? an ? 是等差数列,所以根据数列的首项 b1 ? a1 和数列的第四 项 b4 ? a 4 ,求数列的公差,即求得数列 ?bn ? an ? 的通项公式,最后再求得数列 ?bn ? 的通项 公式; (Ⅱ) bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) ,所以根据分组转化法:等差数列加等比数列 求和. 试题解析: (I)设等比数列 ?an ? 的公比为 q,由题意得 q3 ? 所以 an ? a1qn?1 ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) . 设等差数列 ?bn ? an ? 的公差为 d, 所以 b4 ? a4 ? (b1 ? a1 ) ? 3d .即 22 ? 24 ? (4 ? 3) ? 3d .解得 d ? ?1 . 所以 bn ? an ? (b1 ? a1 ) ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? n . 从而 bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?). (II)由(I)知 bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1(n ? 1,2, ? ). 数列 ?2 ? n? 的前 n 项和为

a4 24 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . a1 3

n (3 ? n) ,数列 ?3 ? 2 n ?1? 的前 n 项和为 2

3?

1 ? 2n ? 3(2n ? 1) ? 3 ? 2n ? 3 . 1? 2

所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为

n (3 ? n) ? 3 ? 2n ? 3 . 2
1 2
n ?1

考点:1.等差,等比数列求和;2.分组转化法求和.
n * 14. (1) an ? 2 (n ? N ) ; (2) S n ? 1 ?

?1

.

【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 利 用 递 推 关 系 即 可 得 出 ; ( 2 ) 结 合 ( 1 ) 可 得

bn ?

?

2n 1 1 ? n ? n?1 ,利用裂项相消求和. n n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

??

?

答案第 12 页,总 27 页

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试题解析: (1)因为 a1 ? 所以当 n ? 1 时, a1 ? 2 . 当 n ? 2 时, a1 ? ①-②得,

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn ? 2n , n ? N * , ?1 2 2 2



an ?1 a2 a3 ? 2 ?? ? n ? 2(n ? 1) ,② 2 2 2 ?2

an ?2. 2 n ?1
n

所以 an ? 2 . 因为 a1 ? 2 ,适合上式,所以 an ? 2 (n ? N ) .
n *

(2)由(1)得 an ? 2 ,所以 bn ?
n

an 2n ? n (an ? 1)(an?1 ? 1) (2 ? 1)(2n?1 ? 1)

?

1 1 ? n ?1 . 2 ?1 2 ?1
n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n ? n ?1 ) 3 3 7 7 15 2 ?1 2 ?1 1 ? 1 ? n ?1 . 2 ?1
考点: (1)数列递推式; (2)数列求和.

1 1 ? n?2 n a ? 2 15. (1) n (2) 2 2 ? 2
【解析】 试题分析: (1)由通项与和项关系求数列通项公式,需注意分类讨论,即

an ? sn ? sn?1 ? n ? 2?,an ? s1 ? n=1?

,而由

an ? 2an?1 ? n ? 2?
bn ?

得数列成等比是不充分的,

需强调每一项不为零,这就必须求出首项(2)因为

2n ?1 ? 2n?1 ? 2 ?? 2n?2 ? 2 ?

,所以一般利













bn ?

1 1 ? n?2 2 ?2 2 ?2
n ?1





? 1 Tn ? ? 2 ? ?2 ?
? 1 ? 2 ?
2 n?

? 1? ? ??? 2 ? ?3 ? 2 ?
1
n?

1 ? ? 1 ? ? ? ?? ? ? 4n? ? 2 ? 2? ? 2
3

n?

? ? ? 2 ?
2

1

1 2

1
2

2

1 ? ? 2 2 ? 2

?

2

2

1 2

2

试题解析:解: (1)由已知

n ? 2? a ? 2an?1 ? n ? 2? sn ? 2an ? a1 ,有 an ? sn ?sn ?1 ? ,即 n ,
答案第 13 页,总 27 页

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即数列 ∴

a ? a3 ? 2 ? a2 ? a1 ? a , a ? 1, a3 成等差数列, ?an ? 是以 2 为公比的等比数列, 又 1 2 即: 1 ,

a1 ? 4a1 ? 2 ? 2a1 ? 1, 解得a1 ? 2, 故an ? 2n ? n ? 1? ?

(2)由(1)知

Sn ? 2n?1 ? 2 ,∴

bn ?

2n ?1 1 1 ? n ?1 ? n?2 n ?1 n?2 ? 2 ? 2 ?? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2



1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? n?2 ??? 3 ? ? ?? ? ? n?1 ? ? 2 ?2 2 ?2? ? 2 ?2 2 ?2? ? 2 ?2 2 ?2? ∴
? 1 1 1 1 ? n?2 ? ? n?2 2 ?2 2 ?2 2 2 ?2
2

考点:由通项与和项关系求数列通项公式,裂项相消法求和 【方法点睛】给出 Sn 与 an 的递推关系求 an,常用思路是:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关

系,再求 an. 应用关系式 an=

?

S1,,n=1, Sn ?Sn-1,n ? 2 时,一定要注意分 n=1,n≥2 两种情况,

在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.

2n 2 ? 4n 16. (I) an ? 3 ; (II) ?n ? n ?1
n

【解析】 试题分析: (I)根据“

1 a3 是 3a1 与 2a2 的等差中项” , “ a1a2 ? a3 ”这两个已知条件,化为 2

n 联立方程组, 解得 a1 ? q ? 3 , 故 an ? 3 . (II) 由 (Ⅰ) , 得 bn ? log3 an ? n , a1 , q 的形式,

所以 S n ?

1 ? 2Sn 2 1 1 n(n ? 1) ? ? 2 ? 2( ? ) ? 2 ,利用裂项求和 ,代入所求,得 2 Sn n(n ? 1) n n ?1
2n 2 ? 4n . n ?1

法,求得 Tn ? 试题解析:

(Ⅰ)设等比数列的公比为 q ,由题意知 q ? 0 ,且 3a1 ? 2a2 ? a3 , ∴?
2 ? ?3a1 ? 2a1q ? a1q , n ,解得 a1 ? q ? 3 ,故 an ? 3 . 2 ? ?a1 ?a1q ? a1q .

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 bn ? log3 an ? n ,所以 S n ? ∴

n(n ? 1) . 2

1 ? 2Sn 2 1 1 ? ? 2 ? 2( ? )?2, Sn n(n ? 1) n n ?1

答案第 14 页,总 27 页

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故数列 {

1 ? 2Sn 1 1 1 1 1 )] ? 2n } 的前 n 项和为 Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 Sn

? 2(1 ?

1 2n 2 ? 4n . ) ? 2n ? n ?1 n ?1
n?1

考点:数列基本概念,数列求和. 17. (1) bn ? n ; (2) Tn ? (n ?1) ? 2 【解析】 试题分析: (1)利用公式直接计算可知数列 ?an ? 的通项公式,通过作差可知
n

?2
bn ?1 bn ? ,进 n ?1 n

而可得 bn ? n ; (2)通过(1)可知 anbn ? n ? 2 ,即可利用错位相加法计算数列的和. 试题解析: (1)由 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ,得: an ? 2 .
n

当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 . 当 n ? 2 时, ∴ bn ? n . (2)由(1)知, anbn ? n ? 2 ,
n

b n ?1 1 bn ? bn?1 ? bn ,整理得 n?1 ? , n bn n

∴ Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?? n ? 2 ,
2 3 n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
∴ Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 n n?1

? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ,

∴ Tn ? (n ?1) ? 2

n?1

?2.
6n n ?1

考点:数列的递推关系式;数列的求和. 18. (1)证明见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)化简 bn?1 ? bn ? 1 , b1 ? 1 ,证得数列 {bn } 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差 数列; (2)由 S n ?

1 1 1 n(n ? 1) ? 6( ? ) ,即可利用裂项求和,求得数列的和. ,得到 6 Sn n n ?1

答案第 15 页,总 27 页

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bn?1 ? bn ? 试题解析: (1) 证明:

a 1 1 1 1 ? ? ? n ? ? 1, an?1 ? 1 an ? 1 2 ? 1 ? 1 an ? 1 an ? 1 an ? 1 an 1 ?

而 b1 ?

1 ? 1 ,∴数列 {bn } 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列. a1 ? 1
1 1 n bn ? [1 ? (n ? 1) ? 1] ? 3 3 3



2









1 n n( ? ) n(n ? 1) Sn ? 3 3 ? 2 6



1 6 1 1 ? ? 6( ? ), S n n(n ? 1) n n ?1


1 1 1 1 1 1 1 1 6n . ? ??? ? 6(1 ? ? ? ? ? ? ? )? S1 S 2 Sn 2 2 3 n n ?1 n ?1

考点:等差数列的概念;数列求和.

1 ? n ?1 ? (n为偶数) ? ? 2 n?2 n 19. (1) an ? n ? 1 , bn ? 2 ; (2) Tn ? ? . n ? 2 1 ?? ? (n为奇数) ? n?2 ? 2
【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用等差数列等比数列的通项公式求解; (2)借助题设条件运 用分类整合思想和裂项相消法求解. 试题解析: ( 1 ) ?an?1 ? 2Sn ? n ? 4,?an ? 2Sn?1 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2?
2 2
2

, 两 式 相 减 得

2 2 2 2 an ?1 ? an ? 2an ? 1,? an ?1 ? an ? 2an ? 1 ? ? an ? 1? ,??an ? 是各项均为正数的数列 , 所以 2 ? ? a2 ? 1? a7 ,? ? a2 ? 1? ? ? a2 ? 1?? a2 ? 5 ? , 解 得 a2 ? 3,a1 ? 2 , 所 以 an?1 ? an ? 1 , 又 a3 2

?an ?

是 以 2 为 首 项 , 1 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 an ? n ? 1 . 由 题 意 知

b1 ? 2, b2 ? 4, b3 ? 8,?bn ? 2n .
(2)由(1)得 cn ? ? ?1? log 2 2 ?
n n

? n ? 1?? n ? 2?
n

1

? ? ?1? n ?
n

? n ? 1?? n ? 2?

1

,

故 Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ... ? ? ?1? n ? ? ?

?

? 1 ? 1 1 ? ? ... ? ? ? 2 ? 3 3? 4 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ?




Fn ? ?1 ? 2 ? 3 ? ... ? ? ?1? n
n

,



n









,

答案第 16 页,总 27 页

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Fn ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?3 ? 4 ? ? ... ? ? ? ? ? n ? 1? ? n ? ??


n , 2

n









,

Fn ? Fn ?1 ? ? ?n ? ?

? ? n ? 1? n ?1 ?n ? 2 2

,



Gn ?


1 1 1 ? ? ... ? , 2 ? 3 3? 4 ? n ? 1? ? ? n ? 2?
Gn ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
, 所 以

1 ? n ?1 ? (n为偶数) ? ? 2 n?2 Tn ? ? . ?? n ? 2 ? 1 (n为奇数) ? n?2 ? 2
考点:等差数列等比数列的通项公式及分类整合思想和裂项相消法等有关知识的综合运用. 20. (1) an ? 3 【解析】 试题分析: (1)由等比数列的通项公式和性质可求得 a2 ? 1, a3 ? 项公式和前 n 项和公式; ( 2 ) 化 简 得 bn ?
2? n

, Sn ?

9 1 ? ; (2) m ? 0 或 m ? 1 . 2 2 ? 3n?2 1 ,由此可求得数列的通 3

1 1 1 1 ) ,由裂项相消可求得 , 可 求 得 bnbn ? 2 ? ( ? n 2 n n?2 1 1 1 1 3 3 3 Tn ? (1 ? ? ? ) ? ,题中不等式可转化为 ? m 2 ? m ? ,由此可解得 m 的 2 2 n n?2 4 4 4 1 4 1 a2 ? 1, a3 ? , q ? 1 ,解得: , 又因为 a2 ? a3 ? , 3 3 3

取值范围.

a2 a3 ? a1a4 ? 试题解析: (1) 由题设知,

?1? 故 an=3 ? ? ? 3?

n ?1

=3

2?n

前 n 项和 Sn=

9 1 - . 2 2 ? 3n ? 2 1 1 1 = = , 2 ? log3 an 2 ? ? 2 ? n? n

(2)因为 bn=

所以 bnbn?2 ?

1?1 1 ? 1 = ? ? ?, n ? n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?

所以 Tn ? b 1b3 ? b2b4 ? b3b5 ? ? ? bnbn?2 =

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??
答案第 17 页,总 27 页



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1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ?< , 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4
故要使 Tn ? m ? m ?
2

3 3 3 2 恒成立,只需 ? m ? m ? ,解得 m ? 0 或 m≥1 m ? 1 . 4 4 4

考点:等比数列的性质;裂项相消数列求和. 21. (1) an ? 4n ? 3 ; (2) T2n ? 4n . 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 根 据 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 前

n 项和公式得到方程组

?a2 ? a1 ? d ? 5 n ? 4? , 求 解 即 可 ; ( 2 ) 可 得 bn ? ? ?1? ? n ? 4?3 S4 ? 4a1 ? ? d ? 28 ? ? 2
bn ?1 ? bn ? ? ?1?
n ?1

? 3,

? 4n ? 1? ? ? ?1? ? 4n ? 3? ? ? ?1?
n

n ?1

? 4 ,即 b1 ? b2 ? 4, b3 ? b4 ? 4,? ,所

以 T2n ? ?b1 ? b2 ? ? ?b3 ? b4 ? ? ?? ?b2n?1 ? b2n ? ? 4 ? 4 ? ?4 ? 4n .

?a2 ? a1 ? d ? 5 ?a1 ? 1 ? 试 题 解 析 :( 1 ) 由 已 知 条 件 ? , 解 得 ? , 4?3 d ? 4 S ? 4 a ? ? d ? 28 ? 4 1 ? ? 2

?an ? a1 ? ? n ?1? ? d ? 4n ? 3 .

n

2











bn ? ? ?1? an ? ? ?

? ?
n

n?

1 T2 n ? ? ??

? ? 4?

?

?

? ? 3n ?

??

?n ? , n.

1

考点:1.等差数列;2.观察法在数列中的应用. 22. (1) an ? n ; (2) Sn ? 2n?1 ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)由已知设等差数列的公差为 d ,又 a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,根据等
2 比数列的性质列方程 ( 1? 2d) ? 1? ?1? 8d? ,解得 d ? 1 ,代入等差数列的通项公式即可;

(2) 由已知得 bn ? 2n , 根据等比数列的定义判断 {bn } 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列, 代入等比数列的前 n 项和公式即可. 试题解析: 解: (1)设公差为 d,则有 ( 1? 2d)? 1? ?1 ? 8d ? ,
2

∴d=0(舍)或 d ? 1 , ∴ an ? n

答案第 18 页,总 27 页

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(2)令 bn ? 2an ? 2n ∵

bn 2n ? n?1 ? 2, 为定常数 bn?1 2

∴ {bn } 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 ∴ Sn ?

2 ? (1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 1? 2

考点:等差数列的通项公式;等比数列的定义和性质;等比数列的前 n 项和公式. 23. (1) an ? 2n?5 ,a=64; (2)前 n 项和 Tn ? 4( 【解析】 试题分析: (1)根据等差数列前 n 项和公式求出 an ? 2n?5 ,带入 S n ? 2 n?6 ? a 即可求出 a 的值; (2)由题意求出 ?

?a ? 1 1 ? ); (3) ? n ? 12 n ? 12 ? bn ?

min

?

a1 32 ? . 3 b1

?

1 ? (3)方法一:求 ? 的通项公式,再用类推法求出前 n 项和; b ? b ? n n?1 ?

出 bn ,

?a ? an a a 的值,再判断 n ?1 ? n 的符号,进而判断 ? n ? 的单调性,求出最小项的值; bn bn?1 bn ? bn ? ?a ? an a a 的值,再用比值法判断 n ?1 、 n 的大小,进而判断 ? n ? 的单调性, bn bn ?1 bn ? bn ?

方法二: 求出 bn , 求出最小项的值.

试题解析: (1)? Sn ? 2n?6 ? a

Sn?1 ? 2n?5 ? a ( n ? 2且n ? N ? )
? an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?5
经检验 n ? 1 时也成立

? an ? 2n?5

a1 ? S1 ? 64 = 2n?6 ? a
? a ? 64
(2)

1 4 1 1 ? ? 4( ? ) bnbn?1 (n ? 11)(n ? 12) n ? 11 n ? 12
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ? ) 12 13 13 14 n ? 11 n ? 12
答案第 19 页,总 27 页

其前 n 项和 Tn ? 4(

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= 4(

1 1 ? ) 12 n ? 12

(3)解:方法一:

1 (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 5n) n n ? 11 = 2 bn ?

an 2n ?5 2n ? 6 ? ? b n n ? 11 n ? 11 2

2n ?7 ? n ? 11? ? 2n ?6 (n ? 12) a n ?1 a n 2n ? 7 2n ? 6 ? ? ? ? bn?1 bn n ? 12 n ? 11 (n ? 12) ? n ? 11?
2n ? 6 ? ?? 2n ? 22 ? ? ( n ? 12) ? ? (n ? 12) ? n ? 11?

?

?

2n?6 ? n ? 10 ? ?0 (n ? 12) ? n ? 11?

?a ? ? ? n ? 在其定义域上单调递增 ? bn ? ?a ? ?? n? ? bn ?
min

?

a1 32 ? 3 b1
1 (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 5n) n

方法二、 bn ? =

n ? 11 2

an 2n ?5 2n ? 6 ? ? b n n ? 11 n ? 11 2

a n ?1 b n ?1 an bn

2n?6 n ? 12 2 ? 2(n ? 11) ? 2(1 ? 1 ) ? n 2 ?5 n ? 12 n ? 12 n ? 11 2

答案第 20 页,总 27 页

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a n ?1 n ?1 即 b n >1 a bn
又?

an ?0 bn

?a ? ? ? n ? 在其定义域上单调递增 ? bn ? ?a ? ?? n? ? bn ?
min

?

a1 32 ? 3 b1
n (2) S n ? 2 ? ( n ? 2)( )

考点:等差数列前 n 项和,类推法求一般数列前 n 项和,做差法、比值法判断数列单调性. 24. (1) an ? n 【解析】 试题分析: ( 1 )由条件已知 x 2 ? x ? nx 的解集中正整数的个数,可先求出不等式的解集

1 2

(3)见解析

x ? (0, n ? 1) ,则可得数列 ?an ? 的通项公式;
(2)由(1)已知 ?an ? 的通项公式,由条件可先求出 ?bn ? ,观察 ?bn ? 的通项公式为等差与 等比数列的积,需运用错位相减法来求和; (3)为证明不等关系,可先分析 f ( n) 的表达式,先定界出上限,再讨论它函数的单调性来 先定界出下限,即可证出。 试题解析: (1) x 2 ? x ? nx 等价于 x( x ? n ? 1) ? 0 ,解得 x ? (0, n ? 1) 其中有正整数 n 个,于是 an ? n

n 1 1 1 1 ? n ? ( )n Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ? 1? ? 2 ? ( )2 ? … ? n ? ( )n n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? … ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 两式相减得 Sn ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n ?1 1 n 1 n 故 S n ? 2 ? ( ) ? n ? ( ) =2 ? ( n ? 2)( ) 2 2 2
(2) bn ? (3)

f ( n) ?

1 1 1 1 1 1 ? ? …? ? ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 n?n

?

1 1 1 ? ??? ?1 n n n
答案第 21 页,总 27 页

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由 f ( n) ?

1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 n?n

1 1 1 1 1 ? ?…? + + n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 于是 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 故 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) 当 n ? 2 且 n ? N * 时为增函数? f (n) ? f (2) ? 12 7 综上可知 ? f ( n) ? 1 12
知 f (n +1) ? 【考点】 (1)数列通项公式的求法。 (2)错位相减法求数列的和 (3)函数的单调性与不等关系的证明。 25. (1) an ? 2n 【解析】 试题分析: (1) 由题已知 an ? 2 an ? an +12 n ? N * 可运用等比数列的定义判定为等比数列 (后 一项比前一项的比为常数) ,再结合题中条件可得列 ?an ? 的通项公式; (2)由(1)已知等比数列的通项公式,可利用 bn ? 项公式,观察可运用列项法求和。 试题解析: (1) an ? 2 an ? an +12 n ? N * ,所以数列 ?an ? 是等比数列, (2) S n ?

n n ?1

?

?

an n ? N * ? ,求出 ?bn ? 的通 n ? n ? n ? 1? 2

?

?

an ? a1q 设公比为 q , 又 a1 ? 2 , 8a4 ? a7 ? 8a1q3 ? a1q 6 ? q ? 2 ,所以,
(2)由(1) , an ? 2 , bn ?
n

n ?1

? 2n ? n ? N * ?

an 1 1 1 , ? ? ? n n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? n n ? 1
? ? 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?

数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ?

? 1?

1 n . ? n ?1 n ?1

【考点】 (1)等比数列的定义。 (2)列项法求数列的和。

? 3n ? n ? 2 ? , n是偶数 ? ? 4 26. (1) an ? 3n, bn ? 2n?1 ; (2) Tn ? ? . 3 2 ?? ? n ? 1? , n是奇数 ? ? 4
【解析】 试题分析: (1)可设公差为 d ,公比为 q ,根据 a2b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20 ,列出关于 d 、 q 的
答案第 22 页,总 27 页

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方程组,解出 d 、 q 的值,进而可得( ?an ? 和 ?bn ? 通项公式; (2)对于 n 分奇数、偶数两 种情况讨论, n 为偶数时 Tn ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ? an , n 为奇数时, Tn ? Tn?1 ? Sn 可求解. 试题解析: (1)设公差为 d ,公比为 q ,则 a2b2 ? ?3 ? d ? q ? 12 ,

S3 ? b2 ? 3a2 ? b2 ? 3?3 ? d ? ? q ? 9 ? 3d ? q ? 20 ,
3d ? q ? 11, q ? 11 ? 3d ,

? 3 ? d ??11 ? 3d ? ? 33 ? 2d ? 3d 2 ? 12 3d 2 ? 2d ? 21 ? 0, ? 3d ? 7 ?? d ? 3? ? 0

?an ? 是单调递增的等差数列, d ? 0 ,
则 d ? 3, q ? 2, an ? 3 ? ? n ?1? ? 3 ? 3n, bn ? 2
n?1



? 3n ? n ? 1? , n ? 2k , k ? N * ? ? 2 (2) cn ? Sn cos 3n? ? ? , 3 n n ? 1 ? ? ?? , n ? 2k ? 1, k ? N * ? ? 2
当 n 是偶数, Tn ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ? an ?

3n ? n ? 1? 2

n 为奇数时 Tn ? Tn?1 ? Sn ?

3 ? n ? 1?? n ? 1? 3 2 3 3 2 ? n ? n ? ? ? n ? 1? , 4 2 2 4

? 3n ? n ? 2 ? , n是偶数 ? ? 4 综上可得 Tn ? ? . 3 2 ?? ? n ? 1? , n是奇数 ? ? 4
考点:1、等差数列、等比数列的通项公式;2、等差数列前 n 项和公式. 27. (1)an=2n﹣1; (2)Sn= (1﹣ ) .

【解析】 ﹢ 试题分析: (1)通过 an+2﹣2an+1+an=0(n∈N )可知数列{an}为等差数列,进而可得结论; (2)通过 an=2n﹣1,裂项可得 bn= 解: (1)∵an+2﹣2an+1+an=0(n∈N ) , ﹢ ∴an+2﹣an+1=an+1﹣an(n∈N ) , 即数列{an}为等差数列, ∵a1=1,a4=7,
答案第 23 页,总 27 页


( ﹣

) ,并项相加即可.

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∴公差 d=

=

=2,

∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)∵an=2n﹣1, ∴bn= ∴Sn= = = ? )= = ( ﹣ (1﹣ ) . ) ,

(1﹣ + ﹣ +?+ ﹣

28. (1) an ? 2n (2) bn ? 2 3 ? 1 n ? N
n

?

??

?

?

(3) Tn

2n ? 1? ? 3n?1 ? 3 n ? n ? 1? ? ? ? 4 2

【解析】 试题分析: (1)当 n ? 2 时,由

an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1? ? ? n ?1? n ? 2n
an ?

,再验证

a1 ? 2 满

足 该 式 ( 2 ) 同 ( 1 ) 方 法 , 由

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ... ? n n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ,

an ?1 ?
n ?1 n ?1

b b b ?1 b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ... ? n n ? n ?n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1 ? an ?1 ? an ? 2, bn ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? 1?











b

3

?1

(3) cn ?

anbn ? n ? 3n ? 1? ? n ? 3n ? n ,求和用 4
,再用错位相减法求和

先分组求和

Tn ? ?1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n ? ? ?1 ? 2 ? ... ? n ?

Hn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ... ? n ? 3n

a ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时 , 试 题 解 析 : 解 : ( 1 ) 当 n ?1 时 , 1

an ? Sn ? ?1Sn ? ? ? n1? n ?


? ?1 n ? 2 n ?
,

n

a1 ? 2 满足该式,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n .
? an ? b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ... ? n n (n ? 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 )①

(2)

? an ?1 ?

b b b ?1 b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ... ? n n ? n ?n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1 ②
n ?1 n ?1

b

②-①得: 3

?1

? an ?1 ? an ? 2, bn ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? 1?

,故

bn ? 2 ? 3n ? 1?? n ? N ? ?

.

答案第 24 页,总 27 页

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(3) cn ?

anbn ? n ? 3n ? 1? ? n ? 3n ? n , 4
,

?Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ? ?1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n ? ? ?1 ? 2 ? ... ? n ?
令 则 ①
2 3

Hn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ... ? n ? 3n ,① 3Hn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ... ? n ? 3n?1 ②
n n ?1







?2H n ? 3 ? 3 ? 3 ? ... ? 3 ? n ? 3

?

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

? n ? 3 ,? H n

n ?1

2n ? 1? ? 3n?1 ? 3 ? ? 4

?Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ? ?1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n ? ? ?1 ? 2 ? ... ? n ?

.

∴数列

?cn ? 的前 n 项和 Tn

2n ? 1? ? 3n?1 ? 3 n ? n ? 1? ? ? ? 4 2

考点:由和项求通项,错位相减法求和 【方法点睛】给出 Sn 与 an 的递推关系求 an,常用思路是:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关
?S1,n=1, ? 系,再求 an. 应用关系式 an=? 时,一定要注意分 n=1,n≥2 两种情况,在 ? ?Sn-Sn-1,n≥2

求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 29. (Ⅰ) an ? n ; (Ⅱ) Tn ? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由数列 ?an ?的前 n 项和公式再结合对 n 的讨论,即可求数列 ?an ? 的通项公 式; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,先求出数列 ?bn ?的通项公式,再利用分组求和法并结合错位 相减法以及裂项相消法,即可求得数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 试题解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1; 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

11 3n ? 1 ? ? (?2) n ?1 ? (?1) n ? n ? 1 . 9 9

n(n ? 1) (n ? 1)n ? ?n. 2 2

又 a1 ? 1 也满足上式,所以 an ? n . ( Ⅱ )

bn ? (?1) n (an ? 2an ?
.

1 1 ) ? (?1) n (n ? 2n ? ) ? n ? (?2) n ? (?1) n ( n ? 1 ? n ) an?1 ? an n ?1 ? n

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设数列 n ? (?2) n 的前 n 项和为 An ,数列 (?1)n ( n ? 1 ? n ) 的前 n 项和为 Bn , 则 An ? 1? (?2) ? 2 ? (?2)2 ? 3 ? (?2)3 ? ? ? ? ? n ? (?2)n ,

?

?

?

?

? 2 An ? 1? (?2)2 ? 2 ? (?2)3 ? 3 ? (?2)4 ? ? ? ? ? (n ?1) ? (?2)n ? n ? (?2)n?1 ,
所以 3An ? (?2) ? (?2)2 ? (?2)3 ? ? ? ? ? (?2)n ? n ? (?2)n?1 ,

?

(?2) ? (?2) n ? (?2) 2 3n ? 1 ? n ? (?2) n?1 ? ? ? ? (?2) n?1 , 1 ? (?2) 3 3
2 3n ? 1 ? ? (?2) n ?1 . 9 9
n

所以 An ? ?

又 Bn ? ?( 2 ?1) ? ( 3 ? 2 ) ? ( 4 ? 3) ? ? ? ? ? (?1) ? ( n ?1 ? n )

? (?1)n ? n ? 1 ?1.
2 3n ? 1 ? ? (?2) n ?1 ? (?1) n ? n ? 1 ? 1 9 9 11 3n ? 1 ?? ? ? (?2) n ?1 ? (?1) n ? n ? 1 . 9 9 ? 11 3n ? 1 n ?1 ?? 9 ? 9 ? (?2) ? n ? 1, n为奇数, (说明:也可写成 Tn ? 同样给分) 11 3n ? 1 n ?1 ?? ? ? (?2) ? n ? 1, n为偶数 9 ? 9
所以 Tn ? ? 考点:1、通项公式及前 n 项和公式;2、错位相减法及裂项相消法. 30. (1) an ? 3n?1 , bn ? 2n?1 ; (2) Tn ? ? n ? 2 ? 2n ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)本题求数列通项公式,由已知数列 {an } 是等比数列,通项公式即得,对数 列 {bn } ,已知条件是 2bn ? b1 ? S1S n ,出现前 n 项和 Sn ,处理方法是先让 n ? 1 ,求得首项

b1 ,然后当 n ? 1 时,利用 bn ? Sn ? Sn?1 得出 bn 的递推式,本题中正好确定 {bn } 也是等比数
列; (2)由(1)可得 cn ? (n ?1) ? 2n?1 ,可以看作是一个等比数列与一个等差数列的乘积, 其前 n 项和的求法是错位相减法, 即写出 Tn ? ? , 此式两乘等比数列的公比 q , 得 qTn ? ? , 两式相减得 (1 ? q)Tn ? ? ,此式右边中间是一个等比数列的和,由此可得 Tn . 试题解析: (1)∵ an ?1 ? 3an ,∴ {an } 是公比为 3,首项 a1 ? 1 的等比数列, ∴通项公式为 an ? 3n –1 .
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∵ 2bn ? b1 ? S1 ? Sn ,∴当 n ? 1 时, 2b1 ? b1 ? S1 ? S1 , ∵ S1 ? b1 , b1 ? 0 ,∴ b1 ? 1 . ∴当 n ? 1 时, bn ? S n ? S n ?1 ? 2bn ? 2bn ?1 ,∴ bn ? 2bn ?1 , ∴ ?bn ? 是公比为 2,首项 a1 ? 1 的等比数列, ∴通项公式为 bn ? 2n ?1 . (2) cn ? bn ? log3 an ? 2n ?1 log3 3n ?1 ? ? n ? 1? 2n ?1 ,

Tn ? 0 ? 20 ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? ?? ? n ? 2 ? 2n ?2 ? ? n ? 1? 2n ?1
2Tn ? 0 ? 21 ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? n ? 2 ? 2n ?1 ? ? n ? 1? 2n
①-②得:

①, ②,

?Tn ? 0 ? 20 ? 21 ? 22 ? 23 ???? 2n?1 ? ? n ? 1? 2n ? 2n ? 2 ? ? n ? 1? 2n ? ?2 ? ? n ? 2? 2n ,
∴ Tn ? ? n ? 2 ? 2n ? 2 . 考点:等比数列的通项公式,错位相减法求和.

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