辽宁版 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编专题12 概率和统计 Word版含解析


一.基础题组 1.【辽宁省铁岭市第一高级中学
2013—2014 学年高三上学期期中考试试题理】连续抛掷两
? ?

次骰子,得到的点数分别为 m,n,记向量 a ? ? m, n ? , b ? ?1, ?1? 的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, 概率是( A. ) B.

? ?

??

? 2?



5 12

1 2

C.

7 12

D.

5 6

二.能力题组 1.【辽宁省抚顺市六校联合体 2014 届高三上学期期中考试理】若实数 a, b 满足 a 2 + b2 ≤ 1 ,
则关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? b ? 0 有实数根的概率是_______________.
2

1

三.拔高题组 1.【辽宁省五校协作体 2014 届高三摸底考试数学(理) 】某市为准备参加省中学生运动会,
对本市甲、乙 两个田径队的所有跳高运动员进行了测试,用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳 高成绩(单位: cm,且均为整数) ,同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图.跳高成绩在 185cm 以上 (包括 185cm) 定义为“优秀” ,由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运动员中成绩在 190cm 以上(包 括 190cm)的只有两个人,且均在甲队.

(Ⅰ)求甲、乙两队运动员的总人数 a 及乙队中成绩在[160,170) (单位:cm)内的运动 员人数 b; (Ⅱ)在甲、乙两队所有成绩在 180cm 以上的运动员中随机选取 2 人,已知至少有 1 人成 绩为“优秀” , 求两人成绩均“优秀”的概率; (Ⅲ)在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 2 人参加省中学生运动 会正式比赛, 求所选取运动员中来自甲队的人数 X 的分布列及期望.
2

【答案】 (Ⅰ) 人; 40 (Ⅱ)

5 ; (Ⅲ) 13

X
P

0
1 15

1

2

4 . 3

8 15

2 5

【解析】

(Ⅲ)成绩“优秀”的运动员共 6 人,甲队 4 人,乙队 2 人. 随机变量 X 所有可能取值为 0,1, 2 .

P( X ? 0) ?

0 2 C4 C2 C1C1 8 1 C 2C 0 6 2 ? , P( X ? 1) ? 4 2 2 ? , P( X ? 2) ? 4 2 2 ? ? , 分) (9 C6 15 C62 15 C6 15 5

? X 的分布列为:

X
P

0
1 15
3

1

2

8 15

2 5

数学期望 E ( X ) ?

8 12 20 4 ? ? ? . 15 15 15 3

(12 分)

考点:茎叶图、频率分布直方图,条件概率,随机变量的分布列.

2.【辽宁省抚顺市六校联合体 2014 届高三上学期期中考试理】(本小题共 12 分)某市为增强市
民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.把符合条件的 1000 名志愿者按年龄分组: 第 1 组[20,25)、第 2 组[25,30)、第 3 组[30,35)、第 4 组[35,40)、第 5 组[40,45],得到的频率分布直方 图如图所示:

(1)若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3、 4、5 组各抽 取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名 志愿者被抽中的概率; (3)在(2)的条件下,若 ξ 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求 ξ 的分布列和数学期望. 【答案】(1) 6 人、 4 人、 2 人;(2) P ? 【解析】

41 ;(3)分布列见解析, E ?? ? ? 1.5 . 55

4

3 (2)从 12 名志愿者中抽取 3 名共有 C12 ? 220 种可能,

第 4 组至少有一位志愿者被抽中有 C12 ? C8 ? 164 种可能,
3 3

所以第 4 组至少有一位志愿者被抽中的概率为 P ? (3) ? 的可能取值为 0,1, 2,3 ,

164 41 ? . 220 55

???????7 分

P ?? ? 0 ? ?

0 3 C6 C6 C1C 2 9 2 , P ?? ? 1? ? 6 3 6 ? , ? 3 C12 22 C12 22

5

3.【辽宁省沈阳二中 2014 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分)小波以游戏方式决
定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以 O 为起点,再从

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 ,(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个 A8 ,
向量的数量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (I)求小波参加学校合唱团的概率; (II)求 X 的分布列和数学期望.

【答案】 (I)小波参加学校合唱团的概率为 P ( X ? 0) ? (II) X 的分布列为:

8 2 ? . 28 7

X
P

?2
1 14

?1
5 14

0

1
2 7

2 7

EX ? (?2) ?

1 5 2 2 3 +(?1) ? ? 0 ? ? 1? ? ? . 14 14 7 7 14
6

【解析】

所以 X 的分布列为:

X
P

?2
1 14

?1
5 14

0

1
2 7
??10 分

2 7

EX ? (?2) ?

1 5 2 2 3 +(?1) ? ? 0 ? ? 1? ? ? . ??12 分 14 14 7 7 14

考点:古典概型概率的计算,离散性随机变量的分布列、期望.

4.【辽宁省铁岭市第一高级中学

2013—2014 学年高三上学期期中考试试题理】某中学高三

年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图所示,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83, (1)求 x 和 y 的值;

7

(2)计算甲班七名学生成绩的方差; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式:方差 s ?
2

x ? x ? ? ? xn 1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? 其中 x ? 1 2 ? n n?

(2)

8

9


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