2016年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷(三)


2016 年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷(三)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. (5 分)已知集合 M={x|y=lgx},N={x|y= },则 M∩N= .

2. (5 分)复数 z=(1﹣i)i(i 为虚数单位)的共轭复数为 . 3. (5 分) 从 1, 2, 3, 4, 5 这五个数中任取两个数, 这两个数的和是奇数的概率为 果用数值表示) 4. (5 分)运行如图语句,则输出的结果 T= .

. (结

5. (5 分)已知某幼儿园大班有 30 名幼儿,从中抽取 6 名,分别统计他们的体重(单位: 公斤) ,获得体重数据的茎叶图如图所示,则该样本的方差为 .

6. (5 分) 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且

成等差数列, 则

等于 . 7. (5 分)正方形铁片的边长为 8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个 顶角为 cm . 8. (5 分)已知向量 , ,满足| |=1,| |= 的夹角是 . . . , + =( ,1) ,则向量 + 与向量 ﹣
3

的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于

9. (5 分)在锐角三角形 ABC 中,sinA= ,tan(A﹣B)=﹣ ,则 3tanC 的值为 10. (5 分) 在△ABC 中, AB=3, AC=4, BC=5, O 点是内心, 且
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=λ1

+λ2

, 则 λ1+λ2=

11. (5 分)已知圆 O:x +y =1,O 为坐标原点,若正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条 弦,则线段 OC 长度的最大值是 . 12. (5 分)如图,点 A,F 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的上顶点和右焦点,过中心 O

2

2

作直线 AF 的平行线交椭圆于 C,D 两点,若 CD 的长是焦距的 为 .

倍,则该椭圆的离心率

13. (5 分)从 x 轴上一点 A 分别向函数 f(x)=﹣x 与函数 g(x)=

3

引不是水平

方向的切线 l1 和 l2,两切线 l1、l2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△OAB 的面积为 S1,△OAC 的面积为 S2,则 S1+S2 的最小值为 . 14. (5 分)已知一切 x,y∈R,不等式 x + 的取值范围是 .
2

﹣2xy+

﹣a≥0 恒成立,则实数 a

二、解答题:解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 15. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 上,点 A(1,0) ,点 B 在单位圆上,∠AOB=θ (0<θ<π) . (1)若点 B(﹣ , ) ,求 tan(θ+ (2)若 + = , = )的值; ﹣θ) .

,求 cos(

16. (14 分) 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点,BC=BB1. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)试在棱 CC1 上找一点 M,使 MB⊥AB1.

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17. (14 分)如图,2012 年春节,摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱, 测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 30°,已知 S 的身高约为 米(将眼睛距 地面的距离按 米处理) (1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2)立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转.摄影者有 一视角范围为 60°的镜头, 在彩杆转动的任意时刻, 摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面? 说明理由.

18. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,右

焦点为 F,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2. (1)求 a,b 的值; (2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A,B,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x=8 分别相交 于点 M,N. ①当过 A,F,N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ②若 cos∠AMB=﹣ ,求△ABM 的面积.
2 x

19. (16 分)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+3)e ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若 x∈[﹣2,a],﹣2<a<1,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 a>﹣2,求证:f(a)>
x



(3)设 h(x)=f(x)+(x﹣2)e ,x∈(1,+∞) ,是否存区间[m,n]? (1,+∞) ,使得 x∈[m,n]时,y=h(x)的值域也是[m,n]?若存在,请求出一个这样的区间; 若不存在, 请说明理由.

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20. (16 分)已知数列{an}满足:a1=a2=a3=k,an+1=

(n≥3,n∈N ) ,其中 k>

*

0,数列{bn}满足:bn=

(n=1,2,3,4,…)

(1)求 b1、b2、b3、b4; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)是否存在正数 k,使得数列{an}的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存 在,求出所有的 k. 附加题,共 40 分[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答.A. (选修 4-1:几何证明选讲) 21. (10 分)几何证明选讲如图,已知 AD 为圆 O 的直径,直线 BA 与圆 O 相切于点 A,直 线 OB 与弦 AC 垂直并相交于点 G,与弧 (1)求证:BA?DC=GC?AD; (2)求 BM. 相交于 M,连接 DC,AB=10,AC=12.

B. (选修 4-2:矩阵与变换) 22. (10 分)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变 换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (Ⅱ)求逆矩阵 M
﹣1

以及椭圆

在M

﹣1

的作用下的新曲线的方程.

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 23. (附加题﹣选做题) (坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的参数方程为 ,α∈[0,2π) ,曲线 D 的极坐标方程为

. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程;
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(2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由. D. (选修 4-5:不等式选讲) 2 2 2 24.设 x+y+z=1,求 F=2x +3y +z 的最小值. 【必做题】每题 10 分,共计 20 分. 25. (10 分)已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物研 究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立,假定某次实验 种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败.若该研究所共 进行四次实验,设 ξ 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值. (1)求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ) ; (2)记“函数 f(x)=x ﹣ξx﹣1 在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率 P(A) . 2 26. (10 分)过抛物线 y =2px(p 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于点 P,交 x 轴于点 Q. (1)求 PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程; (2)证明:轨迹 L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数.
2

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2016 年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷(三)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. (5 分) (2016?盐城校级模拟)已知集合 M={x|y=lgx},N={x|y= },则 M∩N=

{x|0<x≤1} . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 M 与 N 中 x 的范围分别确定出两集合,求出两集合的交集即可. 【解答】解:由 M 中 y=lgx,得到 x>0,即 M={x|x>0},
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由 N 中 y=

,得到 1﹣x ≥0,

2

解得:﹣1≤x≤1,即 N={x|﹣1≤x≤1}, 则 M∩N={x|0<x≤1}, 故答案为:{x|0<x≤1} 2. (5 分) (2011?徐州模拟)复数 z=(1﹣i)i(i 为虚数单位)的共轭复数为 1﹣i . 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题. 【分析】首先进行复数的乘法运算,得到复数的代数形式的标准形式,要求复数的共轭复数 只要把复数的虚部变化为相反数. 【解答】解:∵复数 z=(1﹣i)i=1+i ∴它的共轭复数是 1﹣i, 故答案为:1﹣i.
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3. (5 分) (2011?徐汇区三模)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是 奇数的概率为 . (结果用数值表示)
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【考点】等可能事件的概率. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,将这 5 个数分为奇数与偶数两个组,奇数组 3 个数,偶数组 2 个数;分 析可得,若取出的 2 个数的和为奇数,则取出的 2 个数必有 1 个奇 1 个奇数;求出这种情况 下的取法情况数,相加可得两个数的和是奇数的种数,最后再除以总数即得答案. 【解答】 解: 根据题意, 将这 5 个数分为奇数与偶数两个组, 奇数组 3 个数, 偶数组 2 个数; 若取出的 2 个数的和为奇数,则取出的 2 个数必有 1 个奇数和 1 个偶数; 1 1 有 C3 ?C2 =6 种取法, 2 符合题意的总数共 C5 =10 种取法; 这两个数的和是奇数的概率为 故答案为 .
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4. (5 分) (2016?盐城校级模拟)运行如图语句,则输出的结果 T= 25 .

【考点】伪代码. 【专题】计算题;图表型;试验法;算法和程序框图. 【分析】本题所给的是一个循环结构的算法语句,由图可以看出,此是一个求等差数列和的 算法语句,模拟执行程序即可得到答案. 【解答】解:模拟执行程序,可得 T=1,I=3 满足条件 I<10,执行循环体,T=1+3=4,I=5 满足条件 I<10,执行循环体,T=1+3+5=9,I=7 满足条件 I<10,执行循环体,T=1+3+5+7=16,I=9 满足条件 I<10,执行循环体,T=1+3+5+7+9=25,I=11 不满足条件 I<10,退出循环,输出 T 的值为 25. 故答案为:25.
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5. (5 分) (2016?盐城校级模拟)已知某幼儿园大班有 30 名幼儿,从中抽取 6 名,分别统 计他们的体重 (单位: 公斤) , 获得体重数据的茎叶图如图所示, 则该样本的方差为 18 .

【考点】极差、方差与标准差. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】由茎叶图先求出该样本的平均数,由此能求出该数据的方差. 【解答】解:由茎叶图得该样本的平均数为:
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= ∴该数据的方差为:

=23,

S = [(18﹣23) +(19﹣23) +(22﹣23) +(24﹣23) +(24﹣23) +(31﹣23) ]=18. 故答案为:18.

2

2

2

2

2

2

2

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6. (5 分) (2012?青浦区一模)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且

成等差数列,则

等于



【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据所给的三项成等差数列,写出关系式,得到公比的值,把要求的代数式整理成 只含有首项和公比的形式,约分化简得到结果.
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【解答】解: ∴a3=a1+2a2, 2 ∴q ﹣2q﹣1=0, ∴q=1+ ,q=1﹣ ∴ =

成等差数列,

(舍去) = =q =3+2
2

故答案为:3+2 7. (5 分) (2016?盐城校级模拟)正方形铁片的边长为 8cm,以它的一个顶点为圆心,一边 长为半径画弧剪下一个顶角为 锥形容器的容积等于 的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆
3

π cm .
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【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据已知分别求出圆锥的底面半径和高,代入圆锥体积公式,可得答案. 【解答】解:由题意知,弧长为 即围成圆锥形容器底面周长为 2π, 所以圆锥底面半径为 r=1, 可得圆锥高 h=3 , 所以容积 V= πr ×h= π×1×3 故答案为: π
2

×8=2π,

=

πcm ;

3

8. (5 分) (2016?盐城校级模拟)已知向量 , ,满足| |=1,| |= 则向量 + 与向量 ﹣ 的夹角是 π .
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, + =(

,1) ,

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】平面向量及应用.

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【分析】根据题意,先求出| + |与| ﹣ |的值,再由( + )?( ﹣ )=| + |×| ﹣ |cosθ,求出夹角 θ 的值. 【解答】解:设向量 + 与向量 ﹣ 的夹角是 θ,θ∈[0,π]; ∵| |=1,| |= ∴| + |= ∴ ? =0, ∴| ﹣ |= =2; , + =( =2, ,1) ,

又∵( + )?( ﹣ )=| + |×| ﹣ |cosθ, ∴1﹣3=2×2cosθ, 即 cosθ=﹣ , ∴θ= π. 故答案为: π.

9. (5 分) (2016?盐城校级模拟)在锐角三角形 ABC 中,sinA= ,tan(A﹣B)=﹣ ,则 3tanC 的值为 79 . 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 tanA 的值,利用两角和差的正切公式求得 tanB 的值,从而利用诱导公式、利用两角和差的正切公式,求得 3tanC=﹣3tan(A+B)的值.
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【解答】解:锐角三角形 ABC 中,sinA= ,tan(A﹣B)=﹣ ,∴A<B, cosA= = ,tanA= = .

∵tan(A﹣B)=﹣ =

=

,∴tanB=



则 3tanC=﹣3tan(A+B)=﹣3? 故答案为:79.

=79,

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10. (5 分) (2016?盐城校级模拟)在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,O 点是内心,且 =λ1 +λ2 ,则 λ1+λ2= .
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【考点】平面向量的正交分解及坐标表示. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】设内切圆半径为 r,由题意得:r=OE=OF=AE=AF= 示出向量 ,从而表

,根据向量之间的加减关系,写出向量与要求两个向量之间的关系,得到两个

系数的值,求和得到结果. 【解答】解:设内切圆半径为 r, 由题意得:r=OE=OF=AE=AF═ ∴ = = ∴ , , . = ,

∴λ1+λ2= . 故答案为: .

11. (5 分) (2016?盐城校级模拟)已知圆 O:x +y =1,O 为坐标原点,若正方形 ABCD 的 一边 AB 为圆 O 的一条弦,则线段 OC 长度的最大值是
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2

2

+1 .

【考点】圆的参数方程;直线与圆相交的性质. 【专题】综合题. 【分析】设正方形边长为 a,∠OBA=θ,从而在△OBC 中,计算 OC 的长,利用三角函数, 可求 OC 的最大值. 【解答】解:如图,设正方形边长为 a,∠OBA=θ,则 cosθ= ,θ∈[0, 在△OBC 中,a +1﹣2acos(
2

) .

+θ)=OC ,

2

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∴OC = (2cosθ)+1+2?2cosθ?sinθ=4cos θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2 ∵θ∈[0, ∴2θ+ ∴2θ+ ∈[ = ) , ,
2

2

2

2

sin ( 2θ +

) +3,

) , +3

时,OC 的最大值为 2 +1

∴线段 OC 长度的最大值是 故答案为: +1

12. (5 分) (2016?盐城校级模拟)如图,点 A,F 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)的上

顶点和右焦点, 过中心 O 作直线 AF 的平行线交椭圆于 C, D 两点, 若 CD 的长是焦距的 倍,则该椭圆的离心率为 .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 设出 AB, CD 的方程, 联立 CD 方程与椭圆方程联立, 解得 x 值, 即可求得|CD|,
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利用|CD|=

×2c,即可求得 a 与 c 的关系,即可求得椭圆的离心率. +b:CD 的方程为 y=﹣
2 2

【解答】解:由题意,设 AB 的方程为 y=﹣
2 2 2



CD 的方程与椭圆方程联立可得(a +c )x =a c , ∴x=± ,

∴|CD|=

×

=


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∵CD 的长是焦距的

倍,

∴|CD|=

×2c,即
4 2 2 4

=



两边平方得:5a ﹣16a c ﹣16c =0, 2 2 2 2 ∴(a ﹣4c ) (5a +4c )=0, 2 2 ∴a =4c , 椭圆的离心率 e= = = ,

故答案为: .

13. (5 分) (2014?南通模拟) 从 x 轴上一点 A 分别向函数 ( f x) =﹣x 与函数 g (x) = 引不是水平方向的切线 l1 和 l2, 两切线 l1、 l2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C, O 为坐标原点, 记△OAB 的面积为 S1,△OAC 的面积为 S2,则 S1+S2 的最小值为 8 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】分别求出两个函数的导函数,设出两切点坐标,得到两切线方程,设出 A 的坐标 并代入切线方程,把两切线与 y 轴的交点用 A 的坐标表示,求出面积,然后利用导数求最 小值.
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3

【解答】解:由 f(x)=﹣x ,g(x)= 得 f′(x)=﹣3x ,g′(x)=﹣3x , 设点为 A(x0,0) , 则 l1 和 l2 的方程分别为 分别代入 A(x0,0)并整理得, 4x1﹣3x0=0,2x2﹣3x0=0,解得: ∴l1,l2 与 y 轴的交点坐标分别为(0, ∴ 由 S′=0,解得 ∴当 当 ∴当 时,S′<0. 时 S 有最小值为 8. . . ,
2
﹣4

3

=x (x>0) ,

﹣3





. ) , (0, ) .

时,S′>0;

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故答案为:8. 14. (5 分) (2016?盐城校级模拟)已知一切 x,y∈R,不等式 x + a≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,6] . 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.
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2

﹣2xy+



【分析】将 x + x+
2

2

﹣2xy+

配方得(x﹣y) +(

2

) ﹣2,进而可得

2

﹣2xy+
2

的最小值为﹣6,进而得到实数 a 的取值范围. ﹣2xy+ ), )两点的距离 d 的平方,
2 2 2

【解答】解:x + 令 z=(x﹣y) +(
2

=(x﹣y) +(

2

) ﹣2,

2

则 z 表示 A(x,﹣ )点与 B(y,

由 A 为双曲线 y=﹣ 上一点,B 为半圆 x +y =2(y≥0)上一点, 在同一坐标系中画出两曲线的图象,如下图所示:

可以看出两点间距离的最小值为 2 即距离的平方为 8, 故 z≥8, ∴x +
2



﹣2xy+

=(x﹣y) +(

2

) ﹣2≥6,

2

∴a≤6,所以实数 a 的取值范围是(﹣∞,6], 故答案为: (﹣∞,6] 二、解答题:解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 15. (14 分) (2016?盐城校级模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 上,点 A(1,0) ,点 B 在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π) .

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(1)若点 B(﹣ , ) ,求 tan(θ+ (2)若 + = , =

)的值; ﹣θ) .

,求 cos(

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 (1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出; (2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得 出.
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【解答】解: (1)由点 B(﹣ , ) ,∴sinθ= ,

,tanθ=﹣ .

∴tan(θ+

)=

=

=﹣ ;

(2)∵ ∴

+

=



=(1+cosθ,sinθ) . = ,
2 2

∴(cosθ,sinθ)?(1+cosθ,sinθ)=cosθ+cos θ+sin θ=cosθ+1= 解得 cosθ= ∴cos( ,∵0<θ<π,∴ ﹣θ)= = = . +



=



16. (14 分) (2011?扬州三模) 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点,BC=BB1. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)试在棱 CC1 上找一点 M,使 MB⊥AB1.

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【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】证明题;探究型.

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【分析】 (1)证明:连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD.因为 O、D 分别是 A1B、BC 的 中点,所以 A1C∥OD. 所以 A1C∥平面 AB1D. (2)由题意得:四边形 BCC1B1 是正方形.因为 M 为 CC1 的中点,D 是 BC 的中点,所以 △B1BD≌△BCM, 所以∠BB1D=∠CBM, ∠BDB1=∠CMB. 所以 BM⊥B1D. 因为△ABC 是正三角形, D 是 BC 的中点, 所以 AD⊥BC. 因为 AD⊥平面 BB1C1C. 且 BM? 平面 BB1C1C, 所以 AD⊥BM.利用线面垂直的判定定理可得 BM⊥平面 AB1D. 【解答】证明: (1)连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD. ∵O、D 分别是 A1B、BC 的中点, ∴A1C∥OD. ∵A1C?平面 AB1D,OD? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (2)M 为 CC1 的中点. 证明如下: ∵在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC=BB1,∴四边形 BCC1B1 是正方形. ∵M 为 CC1 的中点,D 是 BC 的中点,∴△B1BD≌△BCM, ∴∠BB1D=∠CBM,∠BDB1=∠CMB. 又∵ , ,∴BM⊥B1D.

∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. ∵平面 ABC⊥平面 BB1C1C,平面 ABC∩平面 BB1C1C=BC,AD? 平面 ABC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. ∵BM? 平面 BB1C1C, ∴AD⊥BM. ∵AD∩B1D=D, ∴BM⊥平面 AB1D. ∵AB1? 平面 AB1D, ∴MB⊥AB1.

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17. (14 分) (2014?南京模拟)如图,2012 年春节,摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正 前方 B 处有一立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 30°,已知 S 的身高 约为 米(将眼睛距地面的距离按 米处理) (1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2)立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转.摄影者有 一视角范围为 60°的镜头, 在彩杆转动的任意时刻, 摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面? 说明理由.

【考点】平面向量数量积坐标表示的应用. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 (1) 摄影者眼部记为点 S, 作 SC⊥OB 于 C, 则有∠CSB=30°, ∠ASB=60°. SA= , 在 Rt△SAB 中,由三角函数的定义可求 AB;再由 SC=3,∠CSO=30°,在 Rt△SCO 中由三 角函数的定义可求 OC,进而可求 OB (2) 以 O 为原点, 以水平方向向右为 x 轴正方向建立平面直角坐标系. 设M (cosθ, sinθ) , θ∈[0,2π) ,则 N(﹣cosθ,﹣sinθ) ,由(Ⅰ)知 S(3,﹣ ) ,利用向量的数量积的坐
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标表示可求 cos∠MSN=

∈[

,1],结合余弦函数的性质可求答案.

【解答】解: (1)如图,不妨将摄影者眼部记为点 S,作 SC⊥OB 于 C, 依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又 SA= ,故在 Rt△SAB 中,可求得 BA= =3,

即摄影者到立柱的水平距离为 3 米.…(3 分) 由 SC=3,∠CSO=30°,在 Rt△SCO 中 OC=SC?tan30°= , 又 BC=SA= ,故 OB=2 ,即立柱的高度为 2 米.…(6 分)
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(2)如图,以 O 为原点,以水平方向向右为 x 轴正方向建立平面直角坐 标系.设 M(cosθ,sinθ) ,θ∈[0,2π) , 则 N(﹣cosθ,﹣sinθ) ,由(Ⅰ)知 S(3,﹣ ) .…(8 分) 故 ∴ | =(cosθ﹣3,sinθ+ ? |?| ) , =(﹣cosθ﹣3,﹣sinθ+ ) , )=11(10 分) = =

=(cosθ﹣3) (﹣cosθ﹣3)+(sinθ﹣ |= × ×

) (﹣sinθ﹣

=

由 θ∈[0,2π)知| 所以 cos∠MSN=

|?|

|∈[11,13]…(12 分) ∈[ ,1],

∴∠MSN<60°恒成立 故在彩杆转动的任意时刻,摄影者都可以将彩杆全部摄入画面

18. (16 分) (2014?南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)

的离心率为 ,右焦点为 F,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2. (1)求 a,b 的值; (2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A,B,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x=8 分别相交 于点 M,N. ①当过 A,F,N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ②若 cos∠AMB=﹣ ,求△ABM 的面积.
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【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质.

第 17 页(共 27 页)

【专题】向量与圆锥曲线. 【分析】 (1)由椭圆的离心率结合椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2 列关于 a,c 的方 程,求出 a,c 的值后结合隐含条件求得 b 的值; (2)①设出 N 的坐标(8,t)及圆的一般式方程,把 A,F,N 的坐标代入圆的方程,求 出半径,利用基本不等式求得半径的最小值及 t 的值,则圆的方程可求; ②联立直线和椭圆方程,求出 M 的坐标,由向量的夹角公式求出直线的斜率 k,得到 y 的 纵坐标为定值 3,代入三角形的面积公式得答案. 【解答】解: (1)由已知, ,且 a﹣c=2,

解得 a=4,c=2, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =12, ∴a=4,b= ; (2)①由(1) ,A(﹣4,0) ,F(2,0) ,设 N(8,t) . 2 2 再设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,将点 A,F,N 的坐标代入,得

,解得



∴圆的方程为 即 ∵ 故所求圆的方程为 ,当且仅当 t+ =

, , 时,圆的半径最小, .

②由对称性不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+4) (k>0) .



,得









∴cos∠AMB= 化简,得 16k ﹣40k ﹣9=0, 解得 ,或 ,即 k= ,或 k= ,
4 2

=



此时总有 yM=3. ∴△ABM 的面积为 .

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19. (16 分) (2016?盐城校级模拟)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+3)e ,其中 e 是自然对数的 底数. (1)若 x∈[﹣2,a],﹣2<a<1,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 a>﹣2,求证:f(a)>
x

2

x



(3)设 h(x)=f(x)+(x﹣2)e ,x∈(1,+∞) ,是否存区间[m,n]? (1,+∞) ,使得 x∈[m,n]时,y=h(x)的值域也是[m,n]?若存在,请求出一个这样的区间; 若不存在, 请说明理由. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】函数思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】 (1)直接利用导函数值的正负判断出函数的单调区间;
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(2)通过导函数研究函数的单调区间和最值,从而证明 f(a)>



(3)通过对函数函数 y=h(x)的定义域和值域的研究,是否存区间[m,n]? (1,+∞) , 使得 x∈[m,n]时,y=h(x)的值域也是[m,n],即可得到结论. 2 x x 【解答】解: (1)f′(x)=(x ﹣x)e =x(x﹣1)e ,x∈[﹣2,a],﹣2<a<1, x (﹣∞,0) (0,1) (1,+∞) f′(x) + ﹣ + 由表知道:①﹣2<a≤0 时,x∈(﹣2,a) ,时,f′(x)>0, ∴函数 y=f(x)的单调增区间为(﹣2,a) ; ②0<a<1,时,x∈(﹣2,0)时,f′(x)>0,x∈(0,a)时,f′(x)<0, ∴函数 y=f(x)的单调增区间为(﹣2,0) ,单调减区间为(0,a) ; 2 a 2 a a (2)证明:f(a)=(a ﹣3a+3)e ,a>﹣2,f′(a)=(a ﹣a)e ,=a(a﹣1)e ,a>﹣2, a (﹣2,0) (0,1) (1,+∞) f′(a) + ﹣ + f(a)的最小值,f(a)极小值=f(1)=f(1)=e, ∴f(1)﹣f(﹣2)=e﹣ = = >0,

∴f(1)>f(﹣2) , 由表知:a∈[0,+∞)时,f(a)≥f(1)>f(﹣2) ,a∈(﹣2,0)时,f(a)>f(﹣2) , ∴a>﹣2 时,f(a)>f(﹣2) ,即 f(a)>
x 2


x

(3)h(x)=f(x)+(x﹣2)e =(x ﹣2x+1)e ,x∈(1,+∞) , 2 x ∴h′(x)=(x ﹣1)e ,x∈(1,+∞) , ∴x∈(1,+∞)时,h′(x)>0, ∴y=h(x)在(1,+∞)上是增函数, 函数 y=h(x)存在存区间[m,n]? (1,+∞) ,使得 x∈[m,n]时,y=h(x)的值域也是[m, n]? ?关于 x 的方程 h(x)=x 在(1,+∞)有两个不相等的实数根,
2 x

令 H(x)=h(x)﹣x=(x ﹣2x+1)e ﹣x,x∈(1,+∞) , 2 x 2 x 则 H′(x)=(x ﹣1)e ﹣1,x∈(1,+∞) ,H″(x)=(x +2x﹣1)e ,x∈(1,+∞) ,
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∴x∈(1,+∞) ,时,H″(x)=(x +2x﹣1)e >0, ∴H′(x)在(1,+∞)上是增函数, H′(1)=﹣1<0,H′(2)=3e ﹣1>0,且 y=H′(x)在[1,2]上连续, ∴? x0∈(1,2) ,使得 H′(x0)=0, ∴x∈(1,x0)时,H′(x)<0,x∈(x0,+∞)时,H′(x)>0, ∴函数 y=H(x)在(1,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数, ∴H(1)=﹣1<0, ∴x∈(1,x0) ,H′(x)<0, ∴函数 y=H(x)在(1,+∞)至多有一个零点,即关于 x 的方程 h(x)=x 在(1,+∞)至 多有一个实数根, ∴函数 y=h(x)是不存在这样的区间.
2

2

x

20. (16 分) (2014?蓟县一模)已知数列{an}满足:a1=a2=a3=k,an+1=

(n≥3,

n∈N ) ,其中 k>0,数列{bn}满足:bn=

*

(n=1,2,3,4,…)

(1)求 b1、b2、b3、b4; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)是否存在正数 k,使得数列{an}的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存 在,求出所有的 k. 【考点】数学归纳法;数列的函数特性. 【专题】计算题;压轴题.
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【分析】 (1)经过计算可知:a4=k+1,a5=k+2,

.根据数列{bn}满足:

,从而可求求 b1,b2,b3,b4; (2)由条件可知:an+1an﹣2=k+anan﹣1.类似地有:an+2an﹣1=k+an+1an,两式相减整理得 bn=bn ﹣2,从而可求数列{bn}的通项公式; (3)假设存在正数 k,使得数列{an}的每一项均为整数则由(2)可知:

…③



可求得 k=1,2.只需证明 k=1,2 时,满足题意. .

【解答】解: (1)经过计算可知:a4=k+1,a5=k+2, 求得 .…(4 分)

(2)由条件可知:an+1an﹣2=k+anan﹣1.…① 类似地有:an+2an﹣1=k+an+1an.…②
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①﹣②有: 即:bn=bn﹣2 ∴

所以:

.…(8 分)

(3)假设存在正数 k,使得数列{an}的每一项均为整数

则由(2)可知:

…③

由 当 k=1 时, 项均为整数

可知 k=1,2. 为整数,利用 a1,a2,a3∈Z,结合③式,反复递推,可知{an}的每一

当 k=2 时,③变为

…④

我们用数学归纳法证明 a2n﹣1 为偶数,a2n 为整数 n=1 时,结论显然成立,假设 n=k 时结论成立,这时 a2n﹣1 为偶数,a2n 为整数,故 a2n+1=2a2n ﹣a2n﹣1 为偶数,a2n+2 为整数,所以 n=k+1 时,命题成立. 故数列{an}是整数列. 综上所述,k 的取值集合是{1,2}.…(13 分) 附加题,共 40 分[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答.A. (选修 4-1:几何证明选讲) 21. (10 分) (2016?晋中模拟)几何证明选讲如图,已知 AD 为圆 O 的直径,直线 BA 与圆 O 相切于点 A, 直线 OB 与弦 AC 垂直并相交于点 G, 与弧 AC=12. (1)求证:BA?DC=GC?AD; (2)求 BM. 相交于 M, 连接 DC, AB=10,

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【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)根据 AC⊥OB,及 AD 是圆 O 的直径,得到 Rt△AGB 和 Rt△DCA 相似,从
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而得到

,又 GC=AG,所以

,从而得到证明;

(2)根据直角三角形中的边角关系求得 BG,再根据直角三角形的相似及切割线定理求解 即可. 【解答】 (1)证明:因为 AC⊥OB,所以∠AGB=90° 又 AD 是圆 O 的直径,所以∠DCA=90° 又因为∠BAG=∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角) (3 分) 所以 Rt△AGB 和 Rt△DCA 相似 所以 又因为 OG⊥AC,所以 GC=AG 所以 ,即 BA?DC=GC?AD(5 分)

(2)解:因为 AC=12,所以 AG=6, 因为 AB=10,所以 由(1)知:Rt△AGB~Rt△DCA, .所以 (8 分)

所以 AD=15,即圆的直径 2r=15 2 2 又因为 AB =BM?(BM+2r) ,即 BM +15BM﹣100=0 解得 BM=5(10 分) . B. (选修 4-2:矩阵与变换) 22. (10 分) (2012?江阴市模拟)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标 伸长到 3 倍的伸压变换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (Ⅱ)求逆矩阵 M
﹣1

以及椭圆

在M

﹣1

的作用下的新曲线的方程.

【考点】特征值与特征向量的计算;逆变换与逆矩阵. 【专题】计算题.

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【分析】 (Ⅰ)先求出矩阵 M,然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值,最后分别求 出特征值所对应的特征向量; (Ⅱ)先求出矩阵 M 的逆矩阵,然后利用点在矩阵 M 圆方程求出新的曲线方程. 【解答】解: (Ⅰ)由条件得矩阵 M= 利用特征多项式求出它的特征值为 2 和 3, 对应的特征向量为 及 ; ,
﹣1

的作用下的点的坐标,化简代入椭

(Ⅱ)



椭圆

在M

﹣1

的作用下的新曲线的方程为 x +y =1.

2

2

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 23. (2016?盐城校级模拟) (附加题﹣选做题) (坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的参数方程为 ,α∈[0,2π) ,曲线 D 的极坐标方程为

. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由. 【考点】简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先由 x +y=1,x∈[﹣1,1]. (2)由 .利用三角函数的和角公式展开,得曲线 D 的普通方程为
2

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,α∈[0,2π) ,利用三角函数的平方关系消去参数 α 即得

x+y+2=0,欲曲线 C 与曲线 D 有无公共点,主要看它们组成的方程有没有实数解即可. 【解答】解: (1)由 ,α∈[0,2π) ,得 x +y=1,x∈[﹣1,1].
2

(2)由 得曲线 D 的普通方程为 x+y+2=0 得 x ﹣x﹣3=0
2



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解 x=

,故曲线 C 与曲线 D 无公共点.

D. (选修 4-5:不等式选讲) 2 2 2 24. (2016?盐城校级模拟)设 x+y+z=1,求 F=2x +3y +z 的最小值. 【考点】基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】综合题;转化思想;数学模型法;不等式. 【分析】由题意,利用已知条件,构造出所求表达式相关的柯西不等式,由柯西不等式求出 其最小值. 【解答】解:由题意, 因为 x+y+z=1,
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所以(x+y+z) =1, 所以 1=(x+y+z) =( 所以 F=2x +3y +z ≥ 取“=”, 所以 F 的最小值为 .
2 2 2 2

2

x+ , 当且仅当

y+1?z) ≤(

2

) (2x +3y +z ) , y= , z= 时,

2

2

2

且 x+y+z=1, 即 x=

【必做题】每题 10 分,共计 20 分. 25. (10 分) (2016?盐城校级模拟)已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的 概率都为 ,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相 互独立,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验 是失败.若该研究所共进行四次实验,设 ξ 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次 数之差的绝对值. (1)求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ) ; 2 (2)记“函数 f(x)=x ﹣ξx﹣1 在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率 P(A) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)推出 ξ 的可能取值为 0,2,4.求出概率,得到分布列,然后求解期望即可. (2)利用零点判定定理,列出不等式推出结果即可. 【解答】解: (1)由题意知:ξ 的可能取值为 0,2,4. ∵“ξ=0”指的是实验成功 2 次,
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失败 2 次;∴

.…(2 分)

∵“ξ=2”指的是实验成功 3 次,失败 1 次或实验成功 1 次,失败 3 次;

…(4 分)

第 24 页(共 27 页)

∵“ξ=4”指的是实验成功 4 次,失败 0 次或实验成功 0 次,失败 4 次; ∴ ξ P ∴ 故随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)为 . .…(10 分) .…(14 分) .…(16 分) 0 .…(6 分) 2 4

(2)由题意知:f(2)f(3)=(3﹣2ξ) (8﹣3ξ)<0,故 ∴

,故事件 A 发生的概率 P(A)为
2

26. (10 分) (2016?盐城校级模拟)过抛物线 y =2px(p 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作 与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于点 P,交 x 轴于点 Q. (1)求 PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程; (2)证明:轨迹 L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数. 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (1)由抛物线方程求出焦点坐标,再由题意设出直线 l 的方程为 y=k(x﹣ ) (k ≠0) ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数关系得到 P 点坐标,结合 PQ⊥l,求得 PQ 的方程,再设 R 的坐标为(x,y) ,再由中点坐标公式求得 PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程; (2)直接得到对任意非零整数 t,点(p(4t +1) ,pt)都是 l 上的整点,说明 l 上有无穷多 个整点. 再反设 l 上由一个整点(x,y)到原点的距离为正数 m,不妨设 x>0,y>0,m>0,然后 结合 p 是奇素数、点在抛物线上及整点(x,y)到原点的距离为正数 m,逐渐推出矛盾,说 明 l 上任意整点到原点的距离均不是整数. 【解答】 (1)解:y =2px 的焦点 F(
2 2

) ,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣ ) (k≠0) ,



,得



设 M,N 的横坐标为 x1,x2,则

,得



,由 PQ⊥l,得 PQ 的斜率为﹣ ,

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故 PQ 的方程为

, 代入 yQ=0, 得



设 R 的坐标为(x,y) ,则



整理得:p(x﹣p)=
2



∴PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程为 4y =p(x﹣p) (y≠0) ; 2 (2)证明:显然对任意非零整数 t,点(p(4t +1) ,pt)都是 l 上的整点, 故 l 上有无穷多个整点. 反设 l 上由一个整点(x,y)到原点的距离为正数 m,不妨设 x>0,y>0,m>0, 则 ,∵p 是奇素数,

于是 y 整除 p,由②可推出 x 整除 p,再由①可推出 m 整除 p, 令 x=px1,y=py1,m=pm1, 则有 ,

由③,④得: ,

,于是

即(8x1+1+8m1) (8x1+1﹣8m1)=17, 则 8x1+1+8m1=17,8x1+1﹣8m1=1, 得 x1=m1=1,故 y1=0, 有 y=py1=0, 与 l 上的点满足 y≠0 矛盾. ∴轨迹 l 上有无穷多个整点,但 l 上任意整点到原点的距离均不是整数.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;涨停;733008;w3239003;zlzhan;豫汝王世崇; 742048; caoqz; sxs123; 刘长柏; 铭灏 2016; 沂蒙松; haichuan; yhx01248; minqi5; ywg2058; 云霞;qiss(排名不分先后) 菁优网 2016 年 11 月 9 日

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