放缩法证明数列不等式


放缩法证明数列不等式
一、基础知识: 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质: 2、放缩的技巧与方法: (1)常见的数列求和方法和通项公式特点: ① 等差数列求和公式: Sn ? ② 等比数列求和公式: Sn ?

a1 ? an ? n , an ? kn ? m (关于 n 的一次函数或常值函数) 2

a1 ? q n ? 1? q ?1

? q ? 1? , an ? k ? qn (关于 n 的指数类函数)

③ 错位相减:通项公式为“等差 ? 等比”的形式 ④ 裂项相消: 通项公式可拆成两个相邻项的差, 且原数列的每一项裂项之后正负能够相消, 进而在求和后式子中仅剩有限项 (2)与求和相关的不等式的放缩技巧: ① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应 与所证的不等号同方向) ③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与 可裂项相消的数列进行靠拢。 (3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧: 3、常见的放缩变形: 二、典型例题: 例 1:已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 4Sn ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ,且 a1 ? 1 (1)求证:数列 ?an ? 是等差数列,并求出 ?an ? 的通项公式 (2)设 bn ?

1 an S n

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

3 2

例 2 :设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 3an , n ? N ? ,设 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,已知

b1 ? 0 , 2bn ? b1 ? S1 ? Sn , n ? N ?
(1)求数列 ?an ?,?bn ? 的通项公式
? (2)求证:对任意的 n ? N 且 n ? 2 ,有

1 1 1 3 ? ??? ? a2 ? b2 a3 ? b3 an ? bn 2

例 3:已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ?
2 (1)求证:数列 S n 是等差数列

1 ? 2Sn , n ? N ? an

? ?
3

(2)记数列 bn ? 2Sn , Tn ?

1 3 1 1 1 1 ? Tn ? ? ? ? ? ? ,证明: 1 ? 2 b1 b2 bn n ?1 n

? 1? 例 4:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? 2 ?1 ? ? an , n ? N? ? n?
(1)求证:数列 ?

2

? an ? 是等比数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式 2 ? ?n ?

(2)设 cn ?

17 n ,求证: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 24 an

例 5:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? nan ? 3n ? n ? 1? , n ? N ? ,且 a3 ? 17 (1)求 a1 (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn (3)设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,且满足 bn ?

n 2 3n ? 2 ,求证: Tn ? Sn 3

例 6:已知数列 ?an ?满足 a1 ?

1 an ?1 , an ? ? n ? 2, n ? N ? n 4 ? ?1? an ?1 ? 2

(1)试判断数列 ?

?1 n? ? ? ?1? ? 是否为等比数列,并说明理由 ? an ?

(2)设 bn ? an sin

? 2n ? 1??
2

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意的 n ? N , Tn ?
?

4 7



7 : 已 知 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 值 , 对

?n ? N ? ,

2 an ?1 ?1 ? 4an ? an ? 1? , bn ? log2 ? an ? 1? ,且 a1 ? 1

(1)求数列 an , bn 的通项公式
? ? (2)当 k ? 7 且 k ? N 时,证明对 ?n ? N ,都有

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? 成立 bn bn?1 bn? 2 bnk ?1 2


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