高中数学导数知识点归纳总结



导 数 知识要点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
1. 导数(导函数的简称)的定义:即 f ' ( x0 ) = lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

导 数

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f ( x) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B . Ps:二阶导数, 是原函数导数的导数, 将原函数进行二次求导。 一般的, 函数 y=f

(x)的导数 y'=f'(x)仍然是 x 的函数,则 y'=f'(x)的导数叫做函数 y=f(x)的二阶导数。
2. 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系: ⑴函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续是 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件. ⑵如果 y ? f ( x) 点 x 0 处连续,那么 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,是不成立的. 3. 导数的几何意义: 就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率,也就是说,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ). 4. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)

vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?

'

注:① u, v 必须是可导函数.②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数 均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如:设 f ( x) ? 2 s i nx ?
2 2 , g ( x) ? cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导,但它们和 x x

f ( x) ? g ( x) ? sin x ? cos x 在 x ? 0 处均可导.

5. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ' ( x) >0,则 y ? f ( x) 为增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x) 为减函数. ⑵常数的判定方法; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f ( x) 为常数. 注:① f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上并不是 都有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f(x)递减的充分非 必要条件. ②一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0①. 此外,函数不

可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确 定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进 行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为 常 数 )

(sin x) ' ? cos x
1 1? x 2

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2

( x n ) ' ? nxn?1

(cos x) ' ? ? sin x

(arccos x) ' ? ?

II. (ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 loga e x

(arctan x) ' ?
1

1 x ?1
2

(e x ) ' ? e x

(a x ) ' ? a x ln a
III. 求导的常见方法: ①常用结论: (ln | x |) ' ?

(arccot x) ' ? ?

x ?1

2

( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 1 .②形如 y ? ( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 或 y ? 两 ( x ? b1 )( x ? b2 )...( x ? bn ) x

边同取自然对数,可转化求代数和形式. ③ y ? x x 这 类 函 数 , 如 y ? x x 取 自 然 对 数 之 后 可 变 形 为 ln y ? x ln x , 对 两 边 求 导 可 得

y' 1 ? ln x ? x ? ? y ' ? y ln x ? y ? y ' ? x x ln x ? x x . y x

单调性及最值 1 答案 A f?x2?-f?x1? 解析 满足 <0 其实就是 f(x)在(0,+∞)上为减函数,故选 A. x2-x1 2 答案 B 解析 对称轴 x=1-a≥4.∴a≤-3. 3 答案 D 4 答案 A 解析 当 x=2 时,y=loga(22+2· 2-3) ∴y=loga5>0,∴a>1 由复合函数单调性知 2 ?x +2x-3>0 单减区间须满足? ,解之得 x<-3. ?x<-1 f?x1?-f?x2? 5 答案 C 解析 由 >0 对任意两个不相等的正实数 x1、x2 都成 x1-x2 立,可知,f(x)在(0,+∞)上为增函数,又 f(x)为奇函数,故 f(x)在(-∞,0)上也 为增函数,故选 C. 6 答案 C 解析 y=x2+4x=(x+2)2-4 在[0,+∞)上单调递增;y=-x2 +4x=-(x-2)2+4 在(-∞,0)上单调递增. 又 x2+4x-(4x-x2)=2x2≥0, ∴f(2-a2)>f(a)?2-a2>a?a2+a-2<0?-2<a<1,故选 C. 7 答案 B 解析 ①是幂函数,其在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合 1 题意; ②中的函数是由函数 y=log2x 向左平移 1 个单位而得到的, 因原函数在(0, +∞)上为减函数,故此项符合题意;③中的函数图象是函数 y=x-1 的图象保 留 x 轴上 方的部分,下方的图象翻折到 x 轴上方而得到的,由其图象可知函数符合题 意; ④中的函数为指数函数, 其底数大于 1, 故其在 R 上单调递增, 不符合题意, 综上可知选择 B. ? 1 ? ?1 ? 8 答案 ?-2,0?与?2,+∞? 解析 数形结合 ? ? ? ? 1 9 答案 ①④ 10 答案 (0,10) 解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),又因为 f(x)在(-∞,0]上单 调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上也为单调递减函数,所以函数 f(x)在 R 上为单调 递减函数. 1 不等式 f(lgx)+f(1)>0 可化为 f(lgx)>-f(1)=f(-1), 所以 lgx<-1, 解得 0<x<10. k 11 答案 [-2,+∞) 解析 由 h′(x)=2+x2≥0,得 k≥-2x2,由于- 2x2 在[1,+∞)内的最大值为-2,于是,实数 k 的取值范围是[-2,+∞). 12 解析 (1)证明 任设 x1<x2<-2, 2?x1-x2? x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2? ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则

a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a? ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 4 13 答案 (1)略 (2){m|-1<m<3} 解 (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). 即 f(x)是 R 上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是 R 上的增函数, 4 4 ∴3m2-m-2<2,解得-1<m<3,故 m 的解集为{m|-1<m<3}. 14 答案 A ?x+1>0, 解析 由已知易得? 即 x>3,又 0<0.5<1,∴f(x)在(3,+∞)上单 ?x-3>0, 调递减. 1 15 答案 C 解析 由已知得:|x|>1?-1<x<0 或 0<x<1,故选 C. 16 答案 (-∞,- 2 ]∪(1, 2 ] 几何意义 f(x1)-f(x2)=
1. 解析 1 1 1 1 ?t+Δt?2- t2 tΔt+ ?Δt?2 8 8 4 8 Δs 1 1 1 s′= lim = lim = lim = lim ( t+ Δt)= t. Δt Δt Δt 4 8 4
Δt→0 Δt→0 Δt→0 Δt→0

1 ∴当 t=2 时,s′= . 2

答案 C

2. 解析 由 2x+y+1=0,得 h′(a)=-2<0.∴h′(a)<0. 3. 解析 lim
Δx→0

f?x0-Δx?-f?x0? f?x0-Δx?-f?x0? =- lim =-k. Δx -Δx
Δx→0

答案 -k

4. 解

∵f′(1)= lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? =4,∴过点(1,2)的切线的斜率为 4.设过点(1,2)且 Δx

1 与过该点的切线垂直的直线的斜率为 k,则 4k=-1,k=- . 4 1 ∴所求的直线方程为 y-2=- (x-1),即 x+4y-9=0. 4 6. 解析 f′(1)= lim
Δx→0

a?1+Δx?2-a Δy = lim = lim (2a+aΔx)=2a.令 2a=2, ∴a=1. A Δx Δx
Δx→0 Δx→0


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