江西省上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考数学理试题


上饶市重点中学 2015 届高三六校第二次联考 数学试卷 (理科)
时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1. 复数 z ?

?

,则复数 z 的共轭复数为( 3 ? i i ? i 2015 ( i 为虚数单位) B. 2 ? i C. 4 ? i

?

) D. 4 ? i

A. 2 ? i

2.设全集 U ? R ,函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ?1) 的定义域为 A,集合 B ? {x | cos?x ? 1} ,则 (CU A) 的元素个数为( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

B

?x ? y ? 2 ? 0 ??2 ? x ? 2 3. 不等式组 ? 表示的点集记为 A,不等式组 ? 表示的点集记为 B,在 A 中任取一 2 ?0 ? y ? 4 ?y ? x

点 P,则 P ? B 的概率为( A.

) B.

9 32

7 32

C.

7 16

D.

9 16

4. 将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大 学至少保送一人的不同保送的方法数为( A.240 B. 180 )种。 C. 150 D.540

2 5. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? (1 ? cos

n? n? )an ? sin 2 ,则该数列的前 12 项和为() 2 2
C.126 D.147

A.211

B.212

6. 奇函数 f ? x ? 、偶函数 g ? x ? 的图象分别如图 1、2 所示,方程 f g ? x ? ? 0 , g f ? x ? ? 0 的实 根个数分别为 a 、 b ,则 a ? b 等于( )

?

?

?

?

第 1 页 共 12 页

y
1

y
1

-1

O

1

x

-2

-1

1

O

2

x

-1 图1

-1 图2

A. 14 C. 7 D. 3

B. 10
开始
输入 t

7.执行如图所示的程序框图,要使输出的 S 值小 于 1,则输入的 t 值不能是下面的( ) A.2012 C.2014 B.2013 D.2015

S ?0

k ?1
S ? S ? sin
k ?t

输出 S

8. 已知 a、b 为正实数,直线 y=x-a 与曲线 y=ln (x+b)相切,则

k? 3


k ? k ?1

a2 的取值范围是( 2?b

)

1 A. (0, ) 2
C.(0, ?? )

B.(0,1) D. ?1, ?? ?

结束

9. 某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是 腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形, 则 四面体的四个面中面积最大的为( A. 2 2 C. 2 3
?



)

B. 4 D. 2 6

10. 已知 m、n、s、t ? R ,m+n=4, 是常数,且 s ? t 的最小值是 的直线方程为( )

m n ? ? 9 其中 m、n s t

8 x2 y 2 ? ? 1 一弦的中点,则此弦所在 ,满足条件的点 (m, n) 是双曲线 9 2 8

A. x ? 4 y ? 10 ? 0

B. 2 x ? y ? 2 ? 0
第 2 页 共 12 页

C. 4 x ? y ? 10 ? 0 11. 设等差数列 ?a n ?满足:

D. 4 x ? y ? 6 ? 0

sin 2 a4 ? cos2 a4 ? cos2 a4 cos2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 ? 1 ,公差 sin(a5 ? a7 )
)

d ? (?1, 0) .若当且仅当 n=9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是(
A. ? ? ,

? ?

9? ? ? 8 ?
2

B. ?? ,

? ?

9? ? 8 ? ?

C.

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6 ?

D. ?

? 7? 4? ? , ? ? 6 3 ?

12. 已知 f ( x) ? x (ln x ? a) ? a ,则下列结论中错误的是( ) A. ?a ? 0, ?x ? 0, f ( x) ? 0 . C. ?a ? 0, ?x ? 0, f ( x) ? 0 B. ?a ? 0, ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 . D. ?a ? 0, ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 1 ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? 2m ? 3 ? 0 交于点 P(x,y),则 PA ? PB 的最大值是 14.计算 .

1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ,可以采用以下方法:构造等式:
n

0 1 2 2 n n Cn ? Cn x ? Cn x ???? ? Cn x ? ?1 ? x ? ,两边对 x 求导,
1 2 3 2 n n ?1 Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ??? ? nCn x ? n ?1 ? x ? n ?1

得 得

,在上式中令 x ? 1 ,

1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ? n ? 2n?1 .类比上述计算方法, 1 2 3 n Cn ? 22 Cn ? 32 Cn ???? ? n2Cn ? _________.

计算

15. 已知点 O 是锐角 ?ABC 的外心, AB ? 8,AC ? 12,A ?

?
3

. 若 AO ? xAB ? yAC ,则

6x ? 9 y ?

.

16. 若数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 2 , an ?1 ? an ? an , n ? N? ,且 bn ? ,P n ?b 1 ? b2 ????? bn 2 1 ? an
.

Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,则 2Pn ? S n =

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分. 17-21 题是必做题,每题 12 分。请在 22 和 23 题中只选做一
第 3 页 共 12 页

题,多做则按 22 题给分,选做题满分 10 分.) 17. (本小题共 12 分)设函数 f(x)=sinxcos(x+ (1)设 ? , ? ? [0,

? 3 )+ ,x∈ R. 3 4

?
2

], f (

?
2

?

?
12

)?

5 ? 5? 3 , f ( ? ) ? ? , 求 sin(? ? ? ) 的值.. 26 2 12 10

(2)△ ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列; 且 a+c=6, f ( ) ?

B 2

3 ,求△ ABC 的面积. 4

18. (本小题共 12 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为 整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回 答下列问题: (1)求第四小组的频率,补全这个频率分布直方图;并估计该校学生的数学成绩的中位数。 (2) 从数学成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人, 求他们在同一分数段的概率. (3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取 4 个学生,设这四个学生中数学成绩为 80 分以上(包括 80 分)的人数为 X,(以该校学生的成绩的频率估计概率),求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题共 12 分)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥ 底面 ABCD,E、F 分别为 AB、PC 的中点。 (1)若 PA = 1,求证:EF⊥平面 PCD; (2)若 PA = 2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面
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Q - AP

- D 的余弦值为

5 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由。 5

20. (本小题共 12 分)已知焦点在 x 轴的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 6 b2

直线 AB 过右焦点 F2 ,和椭圆交于 A, B 两点,且满足 AF2 ? 2F2 B ,直线 AB 的斜率为 5 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

21. (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1(a 为常数),曲线 y=f(x)在与 y 轴的交点 A 处的切
x

线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间;
x 2 (2)证明:当 x ? 0 时, e ? x ? 1 ;

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(3)证明:当 n ? N 时, 1 ?

?

?n ? 1? . 1 1 1 ? ? ? ? ? ln 2 3 n (3e)n
3

22. (本小题共 10 分)选修 4-4:极坐标和参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? , 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,
? x? ? ? 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ? 3 t?m 2 (t 为参数) 1 t 2

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 | PA | ? | PB | ?1 ,求实数 m 的值。

23. (本小题共 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R,a ? b ? c ? 1。
2 2 2

(1)若 a ? b ? c ? 0 ,求 a 的最大值。 (2)若 ab ? bc ? ca 的最大值为 M,解不等式 x ? 1 ? x ?1 ? 3M .
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上饶市重点中学 2015 届高三六校第二次联考 数学试卷答案 (理科)
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A 8 A 9 C 10 D 11 A 12 C

二.填空题 13. 5 14. n(n ? 1) ? 2
n?2

15.

5

16.

2

三.解答题 1 3 3 1 3 1-cos2x 3 1 π 17. 解析: (1)f (x)=sinx( cosx- sinx)+ = sin2x- · + = sin(2x+ ), 2 2 4 4 2 2 4 2 3

sin(? ? ? ) =
(2).

16 . (6 分) 65

? B 1 ? 3 f ( ) ? sin( B ? ) ? , ?B ? 3 2 2 3 4
第 7 页 共 12 页

又因为 a、b、c 成等比数列,所以 b2=ac. 由余弦定理知

1 a 2 ? c 2 ? b2 (a ? c)2 ? 3ac 36 ? 3ac ? ? ? , ac ? 9 , 2 2ac 2ac 2ac

故 ?ABC 的面积 S?ABC ?

1 1 3 9 3 ac sin B ? ? 9 ? ? . (12 分) 2 2 2 4

18. (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

频 率 组 距

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.3
0.03

……1 分 直方图如右所示……………………………….2 分 中位数是 xc ? 70 ? 10 ?

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

0.1 ? 73.33 0.3

计这次考试的中位数是 73.33 分…………………….4 分 (2) [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] ”的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的 学生中选两人,他们在同一分数段的概率。

P?
(3) 因为 X

2 2 87 C18 ? C15 ? C32 ………………………8 分 ? 2 210 C36

B(4,0.3) ,所以其分布列为:

k p( X ? k ) ? C4 0.3k ? 0.74?k ,(k ? 0,1, 2,3, 4)

数学期望为 EX ? np ? 4 ? 0.3 ? 1.2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

19.证明(1)取 PD 中点 M,连接 MF,MA 在 ΔCPD 中,F 为 PC 的中点,

1 1 ∴ MF 平行且等于 DC ,正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点, AE 平行且等于 DC , 2 2
∴ AE 平行且等于 MF,故:EFMA 为平行四边形,∴ EF∥ AM 又因为 PA=1=AD 所以 ?PAD 为等腰三角形,所以 AM⊥PD,
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……2 分

又因为 CD⊥平面 PAD,所以 CD⊥AM 因为 CD

PD ? D ,所以 AM⊥平面 PCD;
……5 分

因为 EF∥ AM,所以 EF⊥平面 PCD。 (2)如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

1 1 1 P(0,0, 2) , B(0,1,0) , C (1,1, 0) , E (0, ,0) , F ( , ,1) 2 2 2
由题易知平面 PAD 的法向量为 n ? (0,1,0) , ……6 分

z

1 假设存在 Q 满足条件:设 EQ ? ? EF , EF ? ( ,0,1) , 2

? 1 ? 1 Q ? ( , , ? ) , ? ? [0,1] , AP ? (0,0,2) , AQ ? ( , , ? ) 2 2 2 2
设平面 PAQ 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

Q

y
x

1 ?? ? x ? y ? ?z ? 0 ? m ? (1, ?? ,0) 2 2 ? ? ?z ? 0
∴cos ? m, n ??

m?n m n

?

?? 1? ?
2

,由已知:

?
1? ?
2

?

5 5

解得: ? ?

1 ,所以:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点。 2

……12 分

20.解: (1)由已知解得 c=2,b2=2. 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………(4 分) 6 2

(2) (ⅰ)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0). x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 12 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 .于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +3 m +3 m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (

6 ? 2m , 2 ). m ?3 m ?3
2

因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ?m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ?m?t ? 2? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,?m?t ? 2??,
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? m?t ? 2 ? m( 2 ? t ) x. ,其方程为 y ? t t 6 ? 2m ? 2m m( 2 ? t ) 6 , 2 ) 代入,得 2 ? ? 2 将 M 点的坐标为 ( 2 . m ?3 m ?3 m ?3 t m ?3 解得 t ? 3 . ………………………………………………(8 分)
此时直线 OT 的斜率为 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x ? 3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为 (3,?m) .

于是 | TF |?

m2 ? 1 ,

| PQ |?

24(m 2 ? 1) . m2 ? 3

所以

| TF | m2 ? 3 1 (m2 ? 3) 2 ? m2 ? 1 ? ? ? | PQ | m2 ? 1 24(m2 ? 1) 24

?

1 (m2 ? 3)2 1 (m2 ? 1)2 ? 4(m2 ? 1) ? 4 ? ? ? m2 ? 1 m2 ? 1 24 24
1 4 1 3 . ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? m ?1 3 24 24

?

3 4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值 . |PQ| m +1 3
|TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1).…………………………(12 分) |PQ|

21.解: (1)由 f ( x) ? e ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e ? a .
x x x x 又 f ?(0) ? 1 ? a ? ?1,所以 a ? 2 .所以 f ( x) ? e ? 2 x ? 1, f ?( x) ? e ? 2 . x 由 f ?( x) ? e ? 2 ? 0 ,得 x ? ln 2 .

所以函数 f ( x) 在区间 (??, ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,??) 上单调递增. ………(4 分) (2)证明:由(1)知 f ( x)min ? f (ln 2) ? e
x

ln 2

? 2 ln 2 ? 1 ? 1 ? ln 4 .
x

所以 f ( x) ? 1 ? ln 4 ,即 e ? 2 x ? 1 ? 1 ? ln 4 , e ? 2 x ? 2 ? ln 4 ? 0 . 令 g ( x) ? e ? x ? 1 ,则 g?( x) ? e ? 2 x ? 0 .
x 2 x

所以 g ( x) 在 (0,??) 上单调递增,所以 g ( x) ? e ? x ? 1 ? g (0) ? 0 ,
x 2

第 10 页 共 12 页

即 e ? x ? 1 .…………(8 分)
x 2
x (3)首先证明:当 x ? 0 时,恒有 e ?

1 3 x . 3

证明如下:令 h( x ) ? e ?
x

1 3 x ,则 h?( x) ? e x ? x 2 . 3

x 2 由(2)知,当 x ? 0 时, e ? x ,所以 h( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,??) 上单调递增,

所以 h( x) ? h(0) ? 1 ? 0 ,所以 e ?
x

1 3 x . 3

1 3 3 2 3 n ?1 依次取 x ? , ,?, ,代入上式,则 1 2 n 2 2 ? ln 3 ? 3 ln , 1 1 3 3 ? ln 3 ? 3 ln , 2 2 ??
所以 x ? ln( x ) ,即 x ? ln 3 ? 3 ln x .

n ?1 n ?1 ? ln 3 ? 3 ln . n n 2 3 n ?1 2 3 n ?1 ? n ln 3 ? 3 ln( ? ? ? ? ) 以上各式相加,有 ? ? ? ? 1 2 n 1 2 n 1 1 1 所以 n ? (1 ? ? ? ? ? ) ? n ln 3 ? 3 ln?n ? 1? , 2 3 n
1 1 1 ?n ? 1? 1 1 1 所以 1 ? ? ? ? ? ? 3 ln?n ? 1? ? n ln 3 ? n ,即 1 ? ? ? ? ? ? ln n n …(12 分) 2 3 n 2 3 n 3e
3

22. 解: (1)曲线 C 的直角坐标方程 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0

……3 分 ……5 分

? 3 2 x? t ?m ? ? 3 ? ? 1 ?2 ? 2 (2)将 ? 代入 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,得: ? t ? m ? 1 t ? ?1, ? ? 2 ? ?? ? y ? 1t ? ? ?2 ? ? ? 2

整理得: t 2 ? 3(m ? 1)t ? m2 ? 2m ? 0 , 由 ? ? 0 ,即 3(m ? 1)2 ? 4(m2 ? 2m) ? 0 ,解得:-1 < m < 3

第 11 页 共 12 页

设 t1、t2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? ? 3(m ? 1) , t1t2 ? m2 ? 2m 又直线 l 过点 P(m, 0) ,由上式及 t 的几何意义得

……8 分

| PA | ? | PB |?| t1t2 |?| m2 ? 2m |? 1 ,解得: m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合-1 < m < 3,
因此实数 m 的值为 1 或 1 ? 2 或 1 ? 2 ……10 分

23.解: (1)因为 a ? (?b ? c) ? b ? c ? 2bc ? 2(b ? c )
2 2 2 2 2 2

所以 a ? 2(1 ? a ),?3a ? 2
2 2 2

即?

6 6 6 ?a? ………5 分 ,所以 a 的最大值为 3 3 3
a 2 ? b2 b2 ? c 2 c 2? a 2 a b? b c ? ca ? ? ? 1? 所以 M=1 2 2 2
………7 分

(2)

若不等式 x ? 1 ? x ?1 ? 3M 对一切实数 a, b, c 恒成立, 则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??)

3 2

3 2

………10 分

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