湖南省张家界市2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


湖南省张家界市 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (2015 春?张家界期末)两个数 2 和 8 的等差中项是( ) A. 5 B. ﹣5 C . 10 D. 0 考点:等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差中项的定义可得. 解答: 解:设 a 为 2 和 8 的等差中项, 则 a﹣2=8﹣a,解得 a=5 故选:A 点评:本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 2. (2015 春?张家界期末)半径为 1 的球的表面积为( A. 1 B. 2π C . 考点:球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用球的表面积公式解答即可. 解答: 解:半径为 1 的球的表面积为 4π1 =4π. 故选:D. 点评:本题考查了球的表面积公式的运用;属于基础题. 3. (2015 春?张家界期末)直线 x﹣y=0 的倾斜角大小为( A. 0° B. 45° C. 考点:直线的倾斜角. 专题:直线与圆. 分析:利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 解答: 解:设直线 x﹣y=0 的倾斜角为 α, 直线化为 y=x. ∴直线的斜率 k=1=tanα,α∈[0°,180°) . ∴α=45°. 故选:B. 点评:本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题. 4.(2015 春?张家界期末) 在数列{an}中, 已知 a1=1, an+1﹣an=2, 则{an}的通项公式是 ( A. an=2n+1 B.an=2n C. an=2n﹣1 D.an=2n+3 考点:等差数列的通项公式. ) ) 60° D. 90°
2

) 3π D. 4π

专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意易得数列{an}是首项为 1 公差为 2 的等差数列,可得通项公式. 解答: 解:数列{an}中 a1=1,an+1﹣an=2, ∴数列{an}是首项为 1 公差为 2 的等差数列, ∴{an}的通项公式是 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 故选:C 点评:本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 5. (2015 春?张家界期末)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1D 与 BC1 所成的角为( A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点:异面直线及其所成的角. 专题:空间角. 分析:如图所示,连接 B1C,可得 B1C∥A1D,B1C⊥BC1.即可得出. 解答: 解:如图所示,连接 B1C, 则 B1C∥A1D,B1C⊥BC1. ∴A1D⊥BC1, ∴A1D 与 BC1 所成的角为 90°. 故选:D. )

点评:本题考查了正方体的性质、异面直线所成的角,属于基础题. 6.(2014?海曙区校级模拟) 若 x=1 满足不等式 ax +2x+1<0, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (﹣3,+∞) B.(﹣∞,﹣3) C. (1,+∞) D.(﹣∞,1) 考点:一元二次不等式的应用. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 2 分析:由 x=1 满足不等式 ax +2x+1<0,可得 a+2+1<0,即可求出实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:∵x=1 满足不等式 ax +2x+1<0, ∴a+2+1<0, ∴a<﹣3. 故选:B. 点评:本题考查不等式的解法,考查学生的计算能力,属于基础题.
2

7. (2015 春?张家界期末)已知直线 l1:ax﹣y﹣2=0 与直线 l2: x﹣y﹣1=0 互相垂直,则 实数 a 的值是( A. ) ﹣2 B. 2 C. 0 D. ﹣2 或 0

考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆. 分析:利用互相垂直的直线与斜率之间的关系即可得出. 解答: 解:直线 l1:ax﹣y﹣2=0 化为 y=ax﹣2, 直线 l2: x﹣y﹣1=0 化为 y= ∵l1⊥l2, ∴ =﹣1, ﹣1.

解得 a=﹣2. 故选:A. 点评:本题考查了互相垂直的直线与斜率之间的关系,属于基础题. 8. (2015 春?张家界期末)在△ ABC 中,若 sin A+sin B=sin C,则△ ABC 是( ) A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.形状不确定 考点:三角形的形状判断. 专题:计算题;解三角形. 分析:利用正弦定理 = =
2 2 2 2

将角的正弦转化为角所对边,利用勾股定理(余弦定

理的特例)即可判断答案. 解答: 解:在△ ABC 中,∵sin A+sin B=sin C, ∴由正弦定理
2 2 2 2 2

=

=

得:

a +b =c , ∴△ABC 是直角三角形. 故选 B. 点评:本题考查三角形的形状判断,考查正弦定理的应用,属于中档题. 9. (2014?辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( ) A. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m⊥α, n?α,则 m⊥n C. 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D. 若 m∥α, m⊥n,则 n⊥α 考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析: A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;

B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 解答: 解:A.若 m∥α,n∥α,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,故 B 正确; C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,故 C 错; D.若 m∥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α 或 n⊥α,故 D 错. 故选 B. 点评:本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质, 记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型. 10.(2015 春?张家界期末) 已知数列{an}, {bn}满足: a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn= (n﹣1) ?2 +2 * (n∈N ) ,若{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列{an}的通项公式是( ) n﹣1 n A. an=2 B.an=2 C. an=2n D. an=2n﹣1 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过将 bn=2 代入 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1+2a2+2 a3+…+2 n+1 n ﹣1)?2 ﹣(n﹣2)?2 计算即可. 解答: 解:∵数列{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, n﹣1 ∴bn=2 , 2 n﹣1 n+1 ∴a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1+2a2+2 a3+…+2 an=(n﹣1)?2 +2, 2 n﹣2 n+1﹣1 ∴a1+2a2+2 a3+…+2 an﹣1=(n﹣1﹣1)?2 +2(n≥2) , n﹣1 n+1 n n 两式相减得:2 an=(n﹣1)?2 ﹣(n﹣2)?2 =n?2 , ∴an= =2n,
n﹣1 2 n﹣1 n+1

an,利用 2

n﹣1

an=(n

当 n=1 时,a1b1=2, 即 a1=2 满足上式, ∴数列{an}的通项公式是 an=2n, 故选:C. 点评:本题考查等差数列,注意解题方法的积累,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. (2015 春?张家界期末)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 8 .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离.

分析:根据几何体的三视图,得出该几何体是棱长为 2 的正方体,求出它的体积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是棱长为 2 的正方体, 3 所以它的体积为 2 =8. 故答案为:8. 点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 12. (2015 春?张家界期末)在空间直角坐标系中,已知 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,则 A, B 两点间的距离为 . 考点:空间两点间的距离公式. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据空间两点间的距离公式进行求解即可. 解答: 解:∵A(1,0,0) ,B(0,1,0) , ∴|AB|= ,

故答案为: . 点评:本题主要考查空间两点间距离的求解,比较基础. 13. (2015 春?张家界期末)已知 m>0,n>0,mn=1,则 m+n 的最小值是 2 . 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由基本不等式可得 m+n≥2 =2,验证等号成立即可. 解答: 解:∵m>0,n>0,mn=1, ∴由基本不等式可得 m+n≥2 =2 当且仅当 m=n=1 时,m+n 取最小值 2 故答案为:2 点评:本题考查基本不等式求最值,属基础题.

14. (2015 春?张家界期末)数列{an}中,a1=1,an+1=

,则 a3=



考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过对 an+1= 变形可得 ﹣ =1,进而可得 an= ,令 n=3 即得结论.

解答: 解:∵an+1=





=

=1+



∴数列{

}是公差为 1 的等差数列, =1,

又∵a1=1,即 ∴

=1+(n﹣1)=n,

∴an= , ∴a3= , 故答案为: . 点评:本题考查等差数列,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累, 属于基础题.另外本题也可直接代入计算. 15. (2015 春?张家界期末)如图,有一条长为 a 米的斜坡 AB,它的坡角为 45°,现保持坡 高 AC 不变,将坡角改为 30°,则斜坡 AD 的长为 a 米.

考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析:依题意,AC= a,在直角三角形 ADC 中,∠ADC=30°,由三角函数的概念可求得 AD

的长. 解答: 解:解:∵在等腰直角三角形 ABC 中,斜边|AB|=a, ∴|AC|= a, ,

又在直角三角形 ADC 中,∠ADC=30°,|AC|=

∴sin30°=

=



∴|AD|= a. 故答案为: 点评:本题考查任意角的三角函数的定义,求得 AC= 于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a 是关键,考查分析与计算能力,属

16. (2015 春?张家界期末)已知直线 l1:ax﹣y﹣2=0 经过圆 C: (x﹣1) +y =1 的圆心. (1)求 a 的值; (2)求经过圆心 C 且与直线 l:x﹣4y+1=0 平行的直线 l2 的方程. 考点:直线与圆相交的性质;待定系数法求直线方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析: (1)将圆心(1,0)代入得直线 l1,求 a 的值; (2)设所求直线方程 x﹣4y+λ=0,利用 C(1,0)点在直线 x﹣4y+λ=0 上,即可求出直线的 方程. 解答: 解: (1)将圆心(1,0)代入得直线 l1,得 a﹣2=0,…(4 分) 则 a=2; … (2)设所求直线方程 x﹣4y+λ=0,…(8 分) ∵C(1,0)点在直线 x﹣4y+λ=0 上,∴λ=﹣1,…(11 分) 故所求直线方程为:x﹣y﹣1=0.… 点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查直线方程,考查学生的计算能力,比较基础.

2

2

17. (2015 春?张家界期末)若实数 x,y 满足约束条件

(1)求该不等式组表示的平面区域的面积; (2)求 z=x+y 的最大值. 考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)作出不等式组对应的平面区域求出对应交点的坐标即可求该不等式组表示的平 面区域的面积; (2)利用目标函数 z=x+y 的几何意义,利用平移法即可求 z 的最大值. 解答: 解: (1)作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示,…(3 分) ∵A(1,0) ,B(1,2) ,C(3,2) ,…(4 分) ∴ ;…(6 分)

(2)作直线 x+y=0 并平移至点 C(3,2)时,z 有最大值, 即当 x=3,y=2 时,zmax=3+2=5.…

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义,利用数形结合是解决本题 的关键. 18. (2015 春?张家界期末)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 b +c 2 ﹣a =bc. (1)求 A; (2)若 a= ,cosB= ,求 b.
2 2

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题. 分析: (1) 由余弦定理求得角 A 的余弦值, 结合特殊角的三角函数值和甲 A 的取值范围可 以求得角 A 的大小; (2)利用(1)的结论和正弦定理进行解答. 解答: 解: (1)由余弦定理有 ∵0<A<π, ∴ (2)由 ∵ , ; ,有 , ,

则 . 点评:本题考查了正弦定理、余弦定理;正弦定理:已知两角和任一边,求另一角和其他两 条边;余弦定理:已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角. 19. (13 分) (2015 春?张家界期末)在等比数列{an}中,已知 a1=2,a3=8,an>0. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn=log2an,cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点:数列的求和;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意 q>0, ∴{an}的通项公式为 (2) ∴ , , ; ,解得 q=2,

则数列{cn}的前 n 项和



点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 20. (13 分) (2015 春?张家界期末)如图,在棱长均为 1 的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是 BC 的中点.

(1)求证:AD⊥平面 BCC1B1; (2)求直线 AC1 与面 BCC1B1 所成角的正弦值. 考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)直三棱柱的侧棱和底面垂直,从而可得到 AD⊥BB1,并且 AD⊥BC,从而由线 面垂直的判定定理可得到 AD⊥平面 BCC1B1; (2)连接 C1D,从而可得到∠AC1D 为直线 AC1 和平面 BCC1B1 所成角,在 Rt△ AC1D 中, 容易求出 AD,AC1,从而 sin∠AC1D= .

解答: 证: (1)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥面 ABC; ∴BB1⊥AD,又∵AB=AC,D 是 BC 的中点; ∴AD⊥BC,BC∩BB1=B; ∴AD⊥平面 BCC1B1; (2)连接 C1D,由(1)AD⊥平面 BCC1B1; 则∠AC1D 即为直线 AC1 与面 BCC1B1 所成角; 在直角△ AC1D 中, , , ;

即直线 AC1 与面 BCB1C1 所成角的正弦值为



点评:考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,线面垂直的判定定理,以及线面角的定义, 正弦函数的定义. 21. (13 分) (2015 春?张家界期末)已知直线 l1:y=2x+3,l2:y=x+2 相交于点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)求以点 C 为圆心,且与直线 3x+4y+4=0 相切的圆的方程; (3)若直线 x+y+t=0 与(2)中的圆 C 交于 A、B 两点,求△ ABC 面积的最大值及实数 t 的 值. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: (1)联立直线方程,解方程可得交点 C; (2)运用直线和圆相切的条件:d=r,由圆的标准方程可得所求圆的方程; (3)方法一、运用三角形的面积公式,结合正弦函数的值域,可得最大值,再由点到直线的 距离公式,可得 t 的值; 方法二、运用弦长公式和基本不等式可得面积的最大值,再由点到直线的距离公式,可得 t 的值. 解答: 解: (1)由 (2)圆心 C(﹣1,1) , 半径
2

,解得

,∴C(﹣1,1) ;


2

所以圆 C 的方程为(x+1) +(y﹣1) =1. (3)方法一:因 ,

显然当 sin∠ACB=1,即∠ACB=90°时,S△ ABC 取到最大值 , 此时,直角△ ABC 的斜边 AB 上的高为 又圆心 C 到直线 x+y+t=0 的距离为 由 ,解得 t=1 或 t=﹣1. , ,

方法二:设圆心 C 到直线 x+y+t=0 的距离为 d,H 为 AB 的中点,连结 CH,

因弦 AB 的长为




2 2

= ,



当且仅当 d =(1﹣d ) ,即 因 由 ,

时取等号,S△ ABC 取到最大值 ,

,解得 t=1 或 t=﹣1.

点评:本题考查直线和直线的交点的求法,圆的方程的求法,以及直线和圆相切的条件和相 交的弦长求法,考查点到直线的距离公式的运用,属于中档题.


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