2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:第一章 三角函数


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章 三角函数

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第一章
章末归纳总结

第一章 三角函数

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知识结构

第一章

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三 角 函 数

第一章

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公式一~四:α+2kπ?k∈Z?,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值, ? ?前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号 ? ? ?三角函数的诱导公式?公式五、六:π±α的正?余?弦函数值,分别等于α的余弦?正弦?函数值, 2 ?前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号 ? ? ? ?正弦曲线、余弦曲线、正切曲线 ? ?图象?图象特征 ? ? 周期性 ? 三角函数?三角函数的图象与性质 ? ?奇偶性 ? ? ?性质?单调性 ? ? ? ?最大、最小值 ? ?A,ω,φ对函数图象的影响 ?函数y=Asin?ωx+φ?的图象 ?图象画法?五点法 ? ? ?变换法 ? ?三角函数模型的简单应用 ?

第一章

章末归纳总结

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专题突破

第一章

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专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y=sinx,余弦函数 y=cosx,在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.除了上述有 关内容之外, 近年来有关正弦函数、 余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现,有必要对其作进一步的探讨.

第一章

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函数 y=sinx,x∈R 的图象是中心对称图形,并且有无穷 多个对称中心, 对称中心是图象与 x 轴的任一交点, 坐标为(kπ, π 0)(k∈Z);函数 y=cosx,x∈R 的对称中心坐标为(kπ+2,0)(k ∈Z),以上两个函数图象,也是轴对称图形,它们的对称轴分 π 别是 x=kπ+2(k∈Z)和 x=kπ(k∈Z); 函数 y=tanx 的对称中心 kπ 坐标为( ,0)(k∈Z),但它不是轴对称图形. 2

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π 求函数 y=sin(2x- )的对称中心和对称轴方程. 6 [分析] π 利用三角函数的图象,把 2x-6看做一个变量,

用换元的方法求对称中心或对称轴方程,也可以考虑 y=sinx π 与 y=sin(2x-6)的关系,利用变换的思想求对称轴与对称中 心.

第一章

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[解析] 0),

π 设 A=2x- ,则函数 y=sinA 的对称中心为(kπ, 6

π kπ π 即 2x- =kπ,x= + , 6 2 12 π π π k 对称轴方程为 2x- = +kπ,x= + π. 6 2 3 2 π kπ π 所以 y=sin(2x-6)的对称中心为( 2 +12,0),对称轴为 x π k = + π(k∈Z). 3 2

第一章

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[点拨]

本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心的

两种方法,这都是解决三角问题的基本方法,要切实理解好.

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专题二

三角函数的值域与最值问题

求三角函数的值域(最值)可分为几类:(1)是 y=Asin(ωx+ φ)+k 类型的,应利用其图象与性质、数形结合求解.(2)是可 化为以三角函数为元的二次函数类型,应确定三角函数的范 围,再用二次函数求解.(3)利用几何意义求解等.

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π π 已知函数 y=asin(2x+ )+b 在 x∈[0, ]上的值域 6 2 为[-5,1],求 a、b 的值. [分析] π 先由 x 的范围确定 sin(2x+6)的范围,再根据 a

的符号,讨论 a、b 的值.

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[解析]

π π π 7 ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , π], 2 6 6 6

π 1 sin(2x+ )∈[- ,1]. 6 2 ?a+b=1, ?a=4, ? ? ∴当 a>0 时,? a 解得? ?b=-3; ? ?-2+b=-5, ? ? 1 ?a=-4, ?- a+b=1, ? 2 当 a<0 时,? 解得? ?b=-1. ? ?a+b=-5, ? ∴a、b 的取值分别是 4、-3 或-4、-1.
第一章 章末归纳总结

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[点拨]

π 本题是先由定义域确定正弦函数 y=sin(2x+ )的 6

值域, 但对整个函数的最值的取得与 a 有关系, 故对 a 进行分 类讨论.

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设 a≥0, y=cos2x-asinx+b 的最大值为 0, 若 最 小值为-4,试求 a、b 的值. [分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解.

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[解析]

a2 a2 原函数变形为 y=-(sinx+ ) +1+b+ . 2 4

a 当 0≤a≤2 时,-2∈[-1,0], a2 ∴ymax=1+b+ =0.① 4 a2 a2 ymin=-(1+2) +1+b+ 4 =-4② 由以上两式①②, a=2, 得 b=-2, a=-6(与 0≤a≤2 舍 矛盾).

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a 当 a>2 时,- ∈(-∞,-1), 2 a2 a2 ∴ymax=-(-1+2) +1+b+ 4 =0.③ a2 a2 ymin=-(1+ ) +1+b+ =-4. 2 4 由以上两式③④,得 a=2,不适合 a>2,∴应舍去.
?a=2, ? 综上知,只有一组解? ?b=-2. ?

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[点拨]

一元二次函数区间最值问题含有参数时,应按照

对称轴与区间的相对位置去讨论.

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专题三

三角函数的性质及应用 sin?cosθ? 若 θ 为第二象限角,试判断 的符号. cos?sin2θ?

[分析]

确定符号,关键是确定每个因式的符号,而每个

因式的符号关键是看角所在的象限.

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[解析]

π ∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z). 2

∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π(k∈Z), -1<sin2θ<0, sin?cosθ? ∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,∴ <0. cos?sin2θ?

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专题四

三角函数图象的平移及变换 π 函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段 2

图象过点(0,1),如图所示.

(1)求函数 f1(x)的表达式; π (2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移4个单位, 得函数 y=f2(x) 的图象,求 y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量 x 的集合.
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[分析]

11 π 首先由图可确定周期 T= π-(- )=π, 可得 y 12 12

=Asinωx,利用平移知识可知,图象对应的函数为 y=Asinω(x π -12).

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[解析]

2π (1)由图知,T=π,于是 ω= =2.将 y=Asin2x T

π π π π 的图象向左平移12, y=Asin2(x+12)=Asin(2x+6), 得 ∴φ=6. π π 将(0,1)代入 y=Asin(2x+ ), A=2.故 f1(x)=2sin(2x+ ). 得 6 6

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π π π (2)依题意,f2(x)=2sin[2(x- )+ ]=-2cos(2x+ ). 4 6 6 π 当 2x+6=2kπ+π, 5π 即 x=kπ+ (k∈Z)时,ymax=2. 12 5π ∴此时 x 的值集合为{x|x=kπ+12,k∈Z}.

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专题五

数学思想

一、数形结合的思想 数形结合思想是重要的数学思想, 它能把抽象的思维方式 转化为形象、直观的思维方式,从而使问题变得简单明了. 在本章中, 数形结合思想贯穿始终, 主要体现在以下几个 方面: 利用单位圆给出三角函数的定义, 并推导出同角三角函 数的基本关系;利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图 象.

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设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x, 则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是( A.[-4,-2] C.[0,2] [分析] ) B.[-2,0] D.[2,4] 要求 f(x)=0,可以将 f(x)的零点转化为函数 g(x)

=4sin(2x+1)与 h(x)=x 的交点.如图,g(x)和 h(x)在同一坐标 系中的图象.由此可知,本题选 A.

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[答案] A

第一章

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[点拨]

本题主要考查三角函数图象的平移和函数与方

程的相关知识,将函数零点问题转化为函数图象的交点问题, 从而利用函数图象数形结合巧妙解决.

第一章

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二、转化与化归思想 在解决三角函数的相关问题时,常用到转化与化归思想, 如证明三角恒等式及条件求值等, 常常是化繁为简、 化异为同、 化“切”为“弦”, 有时也逆用, 这些都体现了转化与化归思 想.

第一章

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已知 tanθ= 2,求: cosθ+sinθ (1) ; cosθ-sinθ (2)sin2θ-sinθcosθ+2cos2θ. [分析] 由于(1)、(2)中的三角函数都是齐次式,可考虑

“弦”化“切”,然后代入求值即可.

第一章

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[解析]

(1)∵tanθ= 2,∴cosθ≠0,

sinθ cosθ+sinθ 1+cosθ 1+tanθ 1+ 2 ∴ = = = sinθ 1-tanθ 1- 2 cosθ-sinθ 1-cosθ =-3-2 2. sin2θ-sinθcosθ+2cos2θ (2)sin2θ-sinθcosθ+2cos2θ= sin2θ+cos2θ sin2θ sinθ cos2θ-cosθ+2 2- 2+2 4- 2 = sin2θ = = 3 . 2+1 +1 cos2θ
第一章 章末归纳总结

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[点拨]

对于第(2)小题,为了“弦”化“切”,凑了一个

分母,体会其作用.

第一章

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