指数函数、对数函数的图象与性质


名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科)

指数函数、对数函数的图象与性质

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1.函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是R; 2.函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量, 函数的定义域是(0,+∞); 3.指数函数y=ax的图象与对数函数y=logax的图象(同底)关于 直线y=x对称,它们互为反函数;

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4.指数函数、对数函数的图象和性质,如下表所示: 名称 一般形式 定义域 值域 指数函数 y=ax (a>0,且a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 对数函数

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图象

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①当a>1时,在 单调性 (-∞,+∞)上为增函数 ②当0<a<1时,在 (-∞,+∞)上为减函数

①当a>1时,在 (0,+∞)上为增函数 ②当0<a<1时,在 (0,+∞)上为减函数

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①当a>1时: 若x>1,则y>0 若x=1,则y=0 若0<x<1,则y<0 ②当0<a<1时: 若x>1,则y<0 若x=1,则y=0 若0<x<1,则y>0

①当a>1时: 若x>0,则y>1若x=0,则y=1 函数值 的分布 若x<0,则0<y<1 ②当0<a<1时: 若x>0,则0<y<1 若x=0,则y=1 若x<0,则y>1

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1.若指数函数y=ax、对数函数y=logax的底数a未确定,在研 究其单调性、不等式或最值时,一定要对a分a>1和0<a<1 进行讨论. 2.对于某些方程(如超越方程)f(x)=g(x),要判定其方程解的 个数,当方程f(x)=g(x)不易求解时,可以利用图象处理: 在同一坐标系中,分别作出f(x)和g(x)的图象,它们的交点 个数就是方程f(x)=g(x)的解的个数. 3.将等式(或不等式)两边同时取对数是一种常见变形形式.

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4.在解指数方程、指数不等式、对数方程、对数不等式时, 应进行“同类”化一. 5.解对数方程的基本思路:???logaf(x)=logag(x)?

(或由f(x)=g(x)解出x后代入原方程验根)

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6.解对数不等式的基本思路:

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7.指数函数图象的分布规律:位于第一象限的部分,随着底 数的由小到大,图象自下向上分布. 8.利用指数函数、对数函数的单调性,解决诸如方程、不等 式、函数值的大小比较之类的问题.

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指数函数的图象
1 |x| (2010上海市闸北区)设x∈R,f(x)=( ) . 2 (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象; (2)若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立,求实数k的 取值范围.

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【解析】 (1)作图如下

1 |x| 1 2|x| (2)f(x)=(2) ,f(2x)=(2) 1 |x| 1 2|x| 对于任意x∈R,(2) +(2) ≤k恒成立. 1 |x| 令(2) =t∈(0,1],则y=t2+t(0<t≤1) 1 对称轴t=-2,则当t=1时,ymax=2, 所以k≥2即可.

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【名师点睛】

考查函数的图象、换元法、二次函数的最值等

知识.通过换元将其它问题转化为二次函数问题来研究是考试 的方向.

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1.函 数 f(x) = ax2 + 2x - 3 + m(a>1) 恒 过 点 (1,10) , 则 m = ________. 答案:9 解析:可将点(1,10)代入 f(x)=ax2+2x-3+m,得 m=9.

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2.方程 ax+1=-x2+2x+2a(a>0,a≠1)的解的个数为( A.0 答案:C 解析:画出指数函数及二次函数的图象 B.1 C.2 D.3

)

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科) 利用指数函数对数函数的性质比较大小
(1)若 0<x<y<1,则( A.3y<3x C.log4x<log4y )

B.logx3<logy3 1x 1y D.(4) <(4) )

(2)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则( A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a (3) (2012 汕头一模)下列各式错误的是( A. 0.8 ? 0.7 B. log 0.4 ? log 0.6 ? 0.1 0.1 C. 0.75 ? 0.75 D. lg 1.6 ? lg 1.4
3 3
0..5 0..5

)

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【思路分析】

比较大小的常用方法是化同底利用指、对数函

数的单调性或利用-1,0,1 等临界值进行比较. 【解析】 (1)C 选项中函数 f(x)=log4x 为增函数,选 C. (2)∵log3 3<log2 3<log2 3,∴b>c log2 3 <log22=log33<log3π ∴a>b,∴a>b>c,故选 A. (3) 构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于 A,构造幂函 数
y? x
3

,为增函数,故 A 是对;对于 B、D,构造对数函数 为减函数, y ? lg x 为增函数,B、D 都正确;对于 C,
y ? 0 .7 5
x

y ? log 0.5 x

构造指数函数

,为减函数,故 C 错.

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【名师点睛】 底数不同的指对式大小的比较,常借助于临界 值0=loga1,1=a0=logaa等进行.

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1 0.3 3.设 a=log 2,b=log23,c=(2) ,则( 3
1

)

A.a<b<c C.b<c<a 答案:B

B.a<c<b D.b<a<c

解析:由已知结合对数函数图象和指数函数图象得 到 a<0,0<c<1,而 b=log23>1,因此选 B.

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1 3,y=2loga5,z=loga 21-

4.已知 0<a<1,x=loga 2+loga loga 3,则( A.x>y>z C.y>x>z 答案:C 解析: ) B.z>y>x D.z>x>y

∵x=loga 6,y=loga 5,z=loga 7,

由 0<a<1 知其为减函数,∴y>x>z

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5.(2010 年深圳市)已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x- x- 1 的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是 ( A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1 已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞, 1- 3]上是单调递减函 数.求实数 a 的取值范围. 答案:A 解析:由 f(x)=0 得 x1=-2x1<0,由 g(x)=0 得 lnx2=-x2, 因为 x2>0,所以 lnx2<0,即 0<x2<1,由 h(x)=0 得 x3= x3+1>1,所以 x1<x2<x3. )

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已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1- 3]上 是单调递减函数.求实数 a 的取值范围. 【思路分析】 义域. 从复合函数的单调性入手分析, 注意函数的定

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a2 a2 【解析】 令 g(x)=x2-ax-a,则 g(x)=(x-2) -a- 4 ,由以 a 上知 g(x)的图象关于直线 x=2对称且此抛物线开口向上. 因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2>1, 在区间(-∞,1- 3 ]上 是减函数, 所以 g(x)=x2-ax-a 在区间(-∞,1- 3 ]上也 是单调减函数,且 g(x)>0.

解得 2-2 3≤a<2. 故 a 的取值范围是{a|2-2 3≤a<2}.

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6.已知 f(x)=log1[3-(x-1)2],求 f(x)的值域及单调区间.
3

解析:∵3-(x-1)2≤3, 1 1 2 ∴log [3-(x-1) ]≥log 3=-1,即 f(x)的值域是 3 3 [-1,+∞). 又 3-(x-1)2>0,得 1- 3<x<1+ 3, ∴x∈(1- 3,1]时,3-(x-1)2 单调递增, 从而 f(x)单调递减;x∈[1,1+ 3)时,f(x)单调递增.

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科) 指数、对数函数的综合问题
已知函数f(x)=ax-2 4-ax-1(a>0,a≠1). (1)求函数f(x)的定义域、值域; (2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间(2,+∞)上恒有 f(x)≥0.

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【解析】 (1)由4-ax ≥ 0,得ax≤ 4.

当a>1时,x≤loga4;当0<a<1时,x≥loga4. ∴当a>1时,f(x)的定义域为(-∞,loga4]; 当0<a<1时,f(x)的定义域为[loga4,+∞). 令t= 4-ax,则0≤t<2,且ax=4-t2, ∴f(x)=4-t2-2t-1=-(t+1)2+4, 当t≥0时,f(x)是t的单调减函数, ∴f(2)<f(x)≤f(0),即-5<f(x)≤3, ∴函数f(x)的值域是(-5,3].

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(2)若存在实数a使得函数f(x)在区间(2,+∞)上恒有f(x)≥0, 则区间(2,+∞)是定义域的子集. 由(1)知,a>1不满足条件; 若0<a<1,则loga4<2,且f(x)是减函数. 当x>2时,ax<a2.由于0<a<1, ∴t= 4-ax>3,∴f(x)<0,即f(x)≥0不成立. 综上,满足条件的a的取值范围是?.

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7.设函数 f(x)=lg(ax-bx),(a>1>b>0),问:当 a,b 满足什 么关系时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值? 解析:当 x∈(1,+∞)时,lg(ax-bx)>0 恒成立 ?ax-bx>1 恒成立. 令 g(x)=ax-bx. ∵a>1>b>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴当 x>1 时,g(x)>g(1)=a-b,∴当 a-b≥1 时, f(x)在(1,+∞)上恒取正值.


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