重庆市合川太和中学2013-2014学年高二下期期中考试数学(理)试题


太和中学 2013—2014 学年度下期期中考试

高二数学试题(理科)
(总分:150 分 考试时间:120 分钟)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每个小题 5 分,共 50 分,每个小题只有一个正确答 案,将正确答案填涂在答题卡的相应位置) 2 1.设复数 z ? (其中 i 为虚数单位),则 z 的虚部为( 1? i B. 1 C. ?1 ? 3 2.函数 y ? sin x 在点 ( , ) 处的切线的斜率为( 3 2 A. i A. 1 B.
1 2



D. ?i ) D.
3 2

C.

2 2

3. 设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e B. e2

) C.
ln 2 2

D. ln 2 )

4. 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2

C. ?4

D. 4 )

5. “a=1”是“函数 f(x)=|x﹣a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 如图:在平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a ,

AD ? b , AA 1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是( 1 1 1 1 A. ? a ? b ? c B. a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 C. ? a ? b ? c D. a ? b ? c 2 2 2 2
7.下列说法中正确的是(
x y


D1 M A1 D B1 C B C1



A

A. 命题“若 x ? y ,则 2 ? 2 ”的否命题为假命题 B. 命题“ ?x ? R, 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定为“ ?x ? R ,满足 x2 ? x ? 1 ? 0 ”
C. 设 x, y 为实数,则“ x ? 1 ”是“ lg x ? 0 ”的充要条件

D. 若“ p ? q ”为假命题,则 p 和 q 都是假命题

8.方程 x3﹣6x2+9x﹣4=0 的实根的个数为(



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A. 0

B.1

C.2

D.3
1 , 则满足 2 f ( x) ? x ? 1 2

9. 定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)=1, 且 f(x)的导函数 f ?( x) ? 的 x 的集合为( )

A. {x|x<1} B.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|x>1} 2 2 2 x y a 10. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线与直线 x ? 分别交于 A,B 两点,F 为该双曲线 a b c 的右焦点.若 60? ? ?AFB ? 90? , 则该双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 2) B. ( 2, 2) C.
(1, 2)

)

D. ( 2, ??)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每个小题 5 分,共 25 分,将正确答案填写在答题卡 上的相应位置) 2 1 11. ? (2 x ? ) dx ? 1 x 12.用火柴棒按图的方法搭三角形:

.

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以 是 .
2

13.抛物线 y=x 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是
1 e

. . .

14. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? ln x 有公共点,则实数 k 的取值范围是 15.函数 f ( x) ? a ln x ? x ,对任意的 x ?[ ,e] 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 a 的范围为

三、解答题(本大题共 6 个小题,前三个解答题每个 13 分,后三个解答题每个 12 分, 共 75 分,将解答过程填写在答题卡上的相应位置) 16.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (2a ? 3) x ? a2 (a ? R) . (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (2)当 a ? ?2 时,求 f ( x) 的单调区间.

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17.(本小题满分 13 分) 在数列{ an }中, a1 ? 6 ,且 a n ? a n ?1 ? (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)猜测数列{ an }的通项公式,并用数学归纳法证明。
a n ?1 ? n ? 1 (n ? N * , n ? 2) , n

18.(本小题满分 13 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2,AB=1。 (1)请在线段 CE 上找到一点 F,使得直线 BF∥平面 ACD,并证明; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小;
E

B

A 18 题图 C

D

19.(本题满分 12 分)已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 ? -2 2, 0 ?、F2 ? 2 2, 0 ? ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。.

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20. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x . x

(1)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的极大值; (2)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

21.如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 与椭圆右焦点 F2 的连线 MF2 与 x 轴垂直,且 OM(O a 2 b2

是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)F1 是椭圆的左焦点,C 是椭圆上的任一点,证明: ?F1CF2 ? (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、Q, 若 ?PF1Q 的面积是 20 3 ,求此时椭圆的方程.

?
2



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太和中学 2013—2014 学年度下期期中考试

高二数学试题(理科)参考答案
一. 1-5 CBADA 12. 6-10 ACCAB an=2n+1 13. (1,1) 14. (??, 2 ]
1 e
15. [?e, ]

二.11. 3-ln2 三.16.解:(1)

1 e

由题意得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? (2a ? 3) 时 ∴ f ?(?1) ? 3 ? 2a ? (2a ? 3) ? 2 1 ∴ a ? ? ???????????6 分 2 (2) ∵ a ? ?2 ,∴ f ( x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 4 ∴ f ?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ?

1 3

1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1 3 1 , ? ?) ∴ f ( x ) 单调递增区间为 (??, ) , (1 3 1 f ( x) 单调递减区间为 ( ,1) ???????????13 分 3 17、 (13 分)解: (1) a2 ? 12, a3 ? 20, a4 ? 30 ???????????6 分

(2)猜测 an ? (n ? 1)(n ? 2) 。下用数学归纳法证明: ①当 n ? 1,2,3,4 时,显然成立; ② 假 设 当 n ? k (k ? 4, k ? N ) 时 成 立 , 即 有 ak ? (k ? 1)(k ? 2) , 则 当 n ? k ? 1 时 , 由

a n ?1 n ?1 ? n ? 1 得 an ? a n ?1 ? n ? 1 , n n k ?1?1 k?2 ak ? k ? 1 ? 1 ? (k ? 1)( k ? 2) ? k ? 2 故 a k ?1 ? k ?1 k ?1 ? (k ? 2) 2 ? (k ? 2) ? (k ? 2)(k ? 3) ,故 n ? k ? 1 时等式成立; ③由①②可知, an ? (n ? 1)(n ? 2) 对一切 n ? N * 均成立。???????????13 分 18(13 分)解法一:以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别 a n ? a n ?1 ?
经过点 A 和点 E,则各点的坐标为 D (0, 0, 0) , A (2, 0, 0) , E (0, 0, 2) , B (2, 0, 1) , C (1, 3, 0) , (1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 1 3 3 3 F( , , 1) ,∴ BF ? (? , , 0) 2 2 2 2

DE ? (0,0,2),? BF ? DE ? 0,? BF ? DE ,而 DE 是平面 ACD 的一个法向量,
此即证得 BF∥平面 ACD; ???????????6 分 (2)设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? CB ,且 n ? CE , 由 CB ? (1, ? 3,1) , CE ? (?1, ? 3, 2) , ∴?

? ?x ? 3y ? z ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0

,不妨设 y ?

?x ? 1 ,即 n ? (1, 3, 2) , 3 ,则 ? ?z ? 2

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∴所求角 ? 满足 cos ? ?

? n ? (0,0, 2) 2 ,∴ ? ? ; ? 4 2 | n | ?2

???????????13 分 E

解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴ AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 ED ,∴ FH ? // AB , 连接 FH,则 FH ?

B

2

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD(2)由已知条件可知 ?ACD 即为 ?BCE 在平面 ACD 上的射影,设所求的二面角的大小为 ? ,则

A 19 题图 C

D

S cos ? ? ?ACD , S?BCE
易求得 BC=BE ? 5 ,CE ? 2 2 ,∴ S?BCE ? 而 S?ACD

1 CE | CE | ? BE 2 ? ( )2 ? 6 , 2 2 ? ? 3 S 2 ,且 0 ? ? ? , ∴ ? ? ? | AC |2 ? 3 ,∴ cos ? ? ?ACD ? 2 4 4 S?BCE 2

19.解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6 得: c ? 2

?

?

?

?

2, a ? 3 所以 b ? 1
???????????????????5 分

2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 9 1

⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为

y ? x?2②
2

x2 y 2 ? ? 1 ①, 9 1
???????????7 分 ???????????10 分 ???????????12 分

把②代入①得化简并整理得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10
2 又 AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 52 10 5 20.(1)∵ f ( x ) 在 x ? 2 时有极值,∴有 f ?(2) ? 0

a 2 4 4 ? ∴ a ? ? 1 ? 0 , ∴ a ? ????????2 分 2 x x a 5 4 4 2 2 2 ∴有 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 (2 x ? 5 x ? 2) 5 5x x 5x 1 由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , x2 ? 2 2 1 又 x ? 0 ∴由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 或 x ? 2 2 1 由 f ?( x) ? 0 得 ? x ? 2 2 1 1 ∴ f ( x ) 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上递增,在区间 ( , 2) 上递减?????5 分 2 2
又 f ?( x) ? a ?

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6 ?????6 分 5 (2)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立
∴ f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? 2 ln 2 ?

1 2

a 2 ax 2 ? 2 x ? a f '? x? ? a ? 2 ? ? , x x x2 ? 需 x ? 0 时 ax2 ? 2x ? a ? 0 恒成立,???????????9 分 2x 化 ax 2 ? 2 x ? a ? 0 为 a ? 2 恒成立, x ?1 2x 2 ? ? 1 , ? a ? 1 为所求。?????????12 分 2 x ?1 x ? 1 x 2 b b2 b b2 b c 2 21. (1)易得 M (c, ), kOM ? , k AB ? ,? ? ? b ? c ? a ? 2c,? e ? ? . a ac a ac a a 2
???????????4 分 (2)证:由椭圆定义得: | FC 1 | ? | F2C |? 2a,cos ?FCF 1 2 ?
2 2 2 | FC 1 | ? | F2C | ? | F 1 F2 | 2 | FC 1 || F2C |

?

4a 2 ? 4c2 ? 2 | FC 2b2 1 || F2C | ? ? 1. 2 | FC | FC 1 || F2C | 1 || F2C |
| F1C | ? | F2C | 2 2b2 2c 2 ? ) ? a 2 ,? cos ?F1CF2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0,??F1CF2 ? . 2 a 2c 2
a ( x ? c),即y ? ? 2( x ? c) .代入椭圆方程消去 x 得: b

| F1C || F2C |? (

???????????8 分 (3)解:设直线 PQ 的方程为 y ? ?

1 y ? c) 2 y2 2 2c 2c 2 2 2 2 ? ? 1 ,整理得: 5 y ? 2 2 cy ? 2 c ? 0, ? y ? y ? , y ? y ? ? . 1 2 1 2 a2 b2 5 5 2 2c 2 8c 2 48c 2 1 4 3c 2 ∴ ( y1 ? y2 )2 ? ( ) ? ? .S?PF2Q ? ? 2c? | y1 ? y2 |? ? 20 3, c 2 ? 25, 5 5 25 2 5 2 2 x y ? ? 1. ???????????12 分 因此 a2=50,b2=25,所以椭圆方程为 50 25 (1 ?

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