新课标2017高考数学二轮复习一三角函数解三角形专练文


(一)三角函数、解三角形专练
1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知(a-3b)·cos C=c(3cos B -cos A). sin B (1)求 的值; sin A (2)若 c= 7a,求角 C 的大小.

2.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,向量 m=(2b,1),n=(2a-c, cos C),且 m∥n. (1)若 b =ac,试判断△ABC 的形状; 2cos 2A (2)求 y=1- 的值域. 1+tan A
2

3.已知函数 f(x)=2sin xcos x+2 3cos x- 3. (1)求函数 y=f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=7,若锐角 A 满足 13 3 ?A π ? f? - ?= 3,且 sin B+sin C= ,求△ABC 的面积.

2

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6?

14

4.如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD⊥BC,AC=5 3,CD=5,

BD=2AD.
(1)求 AD 的长; (2)求△ABC 的面积.

1





1.解:(1)由正弦定理得,(sin A-3sin B)cos C=sin C(3cos B-cos A), ∴sin Acos C+cos Asin C=3sin Ccos B+3cos Csin B, 即 sin(A+C)=3sin(C+B), sin B 即 sin B=3sin A,∴ =3. sin A (2)由(1)知 b=3a,∵c= 7a,

a2+b2-c2 a2+9a2-7a2 3a2 1 ∴cos C= = = 2= , 2ab 2×a×3a 6a 2
π ∵C∈(0,π ),∴C= . 3 2.解:(1)由已知,m∥n,则 2bcos C=2a-c, 由正弦定理,得 2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 即 2sin Bcos C=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin C. π 在△ABC 中,sin C≠0,因而 2cos B=1,则 B= . 3 又 b =ac,b =a +c -2accos B, π 2 2 2 因而 ac=a +c -2accos ,即(a-c) =0, 3 所以 a=c,△ABC 为等边三角形. 2cos 2A (2)y=1- 1+tan A 2(cos A-sin A) =1- sin A 1+ cos A =1-2cos A(cos A-sin A) =sin 2A-cos 2A π? ? ? 2π ? = 2sin?2A- ?,其中 A∈?0, ?. 4? 3 ? ? ? 因而所求函数的值域为(-1, 2 ]. π? ? 2 3.解:(1)f(x)=2sin xcos x+2 3cos x- 3=sin 2x+ 3cos 2x=2sin?2x+ ?, 3? ? 2π 因此 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π π 3π 由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2
2 2 2 2 2 2

2

π 7π ? ? 得 x∈?kπ + ,kπ + ?(k∈Z), 12 12 ? ? π 7π ? ? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 12 12 ? ?

? ?A π ? π ? ?A π ? (2)由 f? - ?=2sin?2? - ?+ ?=2sin A= 3, ?2 6 ? ? ?2 6 ? 3 ?
π 又 A 为锐角,所以 A= . 3

a 7 14 b+c 13 3 由正弦定理可得 2R= = = ,sin B+sin C= = (R 为△ABC 的外接 sin A 2R 14 3 3 2
圆半径), 13 3 14 则 b+c= × =13, 14 3 由余弦定理可知,cos A=

b2+c2-a2 (b+c)2-2bc-a2 1 = = ,可求得 bc=40, 2bc 2bc 2

1 故 S△ABC= bcsin A=10 3. 2 4.解:(1)在△ABC 中,因为 BD=2AD,设 AD=x(x>0),则 BD=2x.在△BCD 中,因为

CD 5 CD⊥BC,CD=5,BD=2x,所以 cos∠CDB= = . BD 2x
在△ACD 中,因为 AD=x,CD=5,AC=5 3, 则 cos∠ADC=

AD2+CD2-AC2 x2+52-(5 3)2 = . 2×AD×CD 2×x×5

因为∠CDB+∠ADC=π , 所以 cos∠ADC=-cos∠CDB, 即

x2+52-(5 3)2 5 =- . 2×x×5 2x

解得 x=5. 所以 AD 的长为 5. (2)由(1)求得 AB=3x=15,BC= 4x -25=5 3,
2

CD 1 sin∠CBD= = . BD 2
1 1 1 75 3 所以 S△ABC= ×AB×BC×sin∠CBA= ×15×5 3× = . 2 2 2 4

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