函数的值域与最值知识点梳理、经典例题及解析、近年高考题带答案


函数的值域与最值
【考纲说明】
1.理解值域和最值的区别与联系,掌握求函数值域和最值的基本方法; 2.通过函数最值求参数的范围,同时解决恒成立问题;

【知识梳理】
2.函数的值域 1、函数值域的概念 在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值对应的 y 值叫做函数值。函数值的集合叫做函数的值域。 2、确定函数值域的原则 (1)当函数 y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数 y 的集合; (2)当函数 y=f(x)用图像给出时,函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合; (3)当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定; (4)当函数 y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定; 3、常见函数的值域 (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为 R;
2 2 (2)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) ,当 a>0 时值域为 a ? 0时, 值域是[ 4ac ? b ,? ?); a ? 0时, 值域是(??,4ac ? b ] 4a 4a

(3)反比例函数 y=
x

k (x≠0)的值域为 ?y | y ? 0, 且y ? R? x

(4)指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的值域为 (0,??) 。 (5)对数函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的值域为 R; (6)正弦函数 y ? sin x ,余弦函数 y ? cos x 的值域都是 [?1,1] 。 (7)正切函数 y ? tan x(其中 x ? k ? ? ? , k ? Z ) , y ? cot x ( x ? k? , k ? Z ) 的值域为 R。
2

3.函数的最值 1、函数的最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。记作 ymax ? f ? x0 ?

1

一、①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值。记作 ymin ? f ? x0 ?

2、利用函数最值求参数的范围 通过分离变量,用自变量把参数表示出来,得到参数关于某个变量的函数或不等式,然后求出该函数的最值。 利用函数的最值,可得到参数的范围。 3、最值在实际问题中的应用 (1)在实际问题中建立函数模型,利用函数的最值求相关量的最值; (2)已知实际问题中有关量的最值,求相关量的取值范围;

4.求函数值域和最值的常用方法 1、基本函数法 对于基本函数的值域,可通过它的图像、性质直接求解; 2、配方法 2 对于形如 y=ax2+bx+c(a≠0)或 y = a [f(x)] + b f(x) + c (a≠0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解; 3、换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化为易求值域的函数。 形如 y=

1 的函数,令 f(x)=t; f ( x)

形如 y=ax+b+ cx ? d (a、b、c、d 均为常数,ac≠0)的函数,令 cx ? d =t;
2 2 形如 a ? x 的函数,可利用三角代换,令 x=a cosθ,θ∈[0,π ];或令 x=a sinθ ,θ∈ [?

? ?

, ] 2 2

4、不等式法 利用基本不等式 a+b≥2 ab 。注意条件“一正二定三相等” 5、函数的单调性法 确定函数在定义域上(或定义域上的某个子集)的单调性求出函数的值域。例如 f(x)=ax+ 当利用不等式法等号不能成立时,可考虑利用函数的单调性。 6、数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义,可借助于几何法求函数的值域。形如 (x2,y2)连线的斜率。 7、函数的有界性法 形如 y=

b (a>0,b>0) x

y 2 ? y1 可联想两点(x1,y1)与 x 2 ? x1

sin x ,可用 y 表示出 sinx,再根据-1< sinx ≤1,解关于 y 的不等式,可求出 y 的取值范围。 1 ? sin x

8、导数法

2

设 y=f(x)的导数为 f’(x),由 f’(x)=0 可求得极值点坐标。若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函 数值的最大值和最小值。

【经典例题】
? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 【例 1】 (2013 年新课标 1(理) )已知函数 f ( x) ? ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2,0]

【解析】D 【例 2】错误!未指定书签。 (2013 辽宁(理) )已知函数

f ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 , g ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q? 表示

p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则 A ? B ?
A. a ? 2a ? 16
2

B. a ? 2a ? 16
2

C. ?16

D. 16

【解析】B 【例 3】 (2012 天津)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ? 1) =1 相切,则 m+n 的取
2 2

值范围是 (A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] 【解析】D 【例 4】错误!未指定书签。 (2013 年上海卷(理) 设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 ) 时, f ( x) ? 9 x ? (B) ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)

a2 ?7 , x

若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ 【解析】 a ? ?

8 7
2 2

【例 5】 (2010 浙江)设 x, y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2x ? y 的最大值是

.。

【解析】

2 10 5
3

【例 6】 (2012 浙江卷.理)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a;(ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)利用导数求解; (Ⅱ)a+b 的取值范围为: ? ??,3? . 【例 7】(2012 全国卷.理)已知函数 f ( x) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? (1)求 f ( x) 的解析式及单调区间;

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2 1 【解析】 (1) f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ? x 2 且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) 2 e (2)当 x ? e 时, F ( x) max ? 2 e 当 a ? e ? 1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为 2
(2)若 f ( x) ? 【例 8】 (2012 湖南卷)已知函数 f ( x) = ? eax ? x ,其中 a≠0. 二、若对一切 x∈R, f ( x) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. 三、在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0 ∈(x1,x2) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ) a 的取值集合为 ?1? .

1 e ax2 ? e ax1 ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为 ( ln , x2 ) . (Ⅱ)存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f a a ( x2 ? x1 )
【例 9】设函数 f ( x) = ( x ? a) ln x , a ∈R
2

(Ⅰ)若 x = e 为 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈(0,3 e ],恒有 f ( x) ≤4 e 成立. 【解析】 (Ⅰ) a ? e 或 a ? 3e 。
2

4

(Ⅱ)a 的取值范围为 3e ?

2e ? a ? 3e 。 ln(3e)

【例 10】 (2011 北京理)已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1 ,过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点。 4

(Ⅰ)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。 【解析】 (Ⅰ)椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) ,离心率为 e ? (Ⅱ) | AB |?

c 3 ? . a 2

4 3|m| ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? m 2 ? 3 .

|AB|的最大值为 2.

【例 11】 (2012 四川) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 an ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值。 an

【解析】 (I) a1 ? 0, a2 ? 0 ;或 a1 ?

2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 ;或 a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2

(II)数列 {bn } 是单调递减的等差数列(公差为 ?

1 ,从而 lg 2 ) 2 7(b1 ? b7 ) 7(1 ? 1 ? 3lg 2) 21 故 n ? 7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7 ? ? ? 7 ? lg 2 2 2 2

2 【例 12】已知向量 a= (cos?x ? sin ?x, ?x) ,b= (? cos?x ? sin ?x, 3 cos?x) , sin
设函数 f(x)=a·b+ ? ( x ? R) 的图像关于直线 x=π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ,1 ( ) (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 若 y=f(x)的图像经过点 求函数 f(x)在区间 ?0, ? 上的取值范围 ( ,0) 5 4 【解析】略

1 2

?

? 3? ? ? ?

【课堂练习】
1.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x ) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的

?

?

6

2

单调递增区间是 (A) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

5

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?


2.(2012 全国)已知函数 f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为( ln( x ? 1) ? x
y y y
1 O 1

y x
1

1

1

O 1 x B. C.

O 1 x

x

O 1 A.

D.

?y ? x ? 3. 2011 湖南) m ? 1 , ( 设 在约束条件 ? y ? mx 下, 目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2, m 的取值范围为 则 ( ?x ? y ? 1 ?
A. (1,1 ? 2) B. (1 ? 2, ??) C. (1,3) D. (3, ??)



4.错误! 未指定书签。 (2013 年四川卷) 设函数 f ( x) ?

e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x
) (D) [e -1, e ? 1]
?1

上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e]

, (B) [e , -11]

?1

(C) [1, e ? 1]

5.(2012 湖南)已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

8 (m>0), l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 2m ? 1

A, ,l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变 B 化时,

b 的最小值为 a
B. 8 2 C. 8
3

A. 16 2

4
2

D. 4 3 4

6. (2011 湖南卷) 8.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N , 则当 | MN | 达到最小时 t 的值为( A.1 ) B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2
.

7. (2012 天津卷) 已知函数 y =

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点, 则实数 k 的取值范围是 x ?1

6

8.(2012 北京卷.理)已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:
x

① ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??,?4) , f (x) g ( x) ? 0 . 则 m 的取值范围是_______. 9.(2007 陕西文)设函数 f ( x) ? a、b .其中向量 a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 . (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的最小值.

π 2

10.(2011 全国卷)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a 、 b 的值;

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

(Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

11.(2012 山东)已知函数 f ( x) =

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828??是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 ex

(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
(Ⅰ)求 k 的值;
2

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
?2

(Ⅲ)设 g(x)=(x +x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数,证明:对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e .

7

12.(2011 福建)已知等比数列{ an }的公比 q =3,前 3 项和 S 3 = (I)求数列{ an }的通项公式; (II)若函数 f ( x) = A sin(2 x ? ? ) ( A >0,0< ? < ? )在 x ? 解析式.

13 . 3

?
6

处取得最大值,且最大值为 a3 ,求函数 f ( x) 的

13. (2011 湖北) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单 位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此 时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车 流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时)

14.(2011 福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位: 元/千克)满足关系式 y =

a 2 ? 10( x ? 6),其中 3< x <6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售 x ?3

出该商品 11 千克。 (I)求 a 的值 (II)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

8

15.(2012 上海卷)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建 立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:①失事 船的移动路径可视为抛物线 y ?
12 49

x 2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船

所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? y P

O A

x

3 16.(2011 湖南卷)已知函数 f ( x ) = x ,g ( x )= x + x 。

(Ⅰ)求函数 h ( x )= f ( x )-g ( x )的零点个数,并说明理由; (Ⅱ)设数列 {an }(n ? N * ) 满足 a1 ? a(a ? 0) , f (an ?1 ) ? g (an ) ,证明:存在常数 M,使得对于任意的 n ? N ,
*

都有 an ≤ M .

【课后作业】
1、错误!未指定书签。 (2013 重庆(理)试题) y ?

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为(

)

A.9

B.

9 2

C. 3

D.

3 2 2

2.(2012 湖南)函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6
D.[-

1.[ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

3 , 2

3 ] 2
2

3.错误!未指定书签。 (2013 年陕西卷(理) )在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m 的内接 矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是

9

x

40m

40m

(A) [15,20] (B) [12,25]

(C) [10,30] (D) [20,30]

? x ? 2 y ? 2, ? 4.已知变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4, ,则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ( ? 4 x ? y ? ?1, ?
(A) ? ?



? 3 ? ,6 ? 2 ? ?

(B) ? ? , ?1?

? 3 ? 2

? ?

(C) ? ?1, 6?

(D) ? ?6, ? 2

? ?

3? ?
2

5.错误!未指定书签。 (2013 年新课标(理) )若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的 图像关于直线 x ? ?2 对称,则
2

f ( x) 的最大值是____.
6. 2012 上海卷) ( 已知函数 f ( x) ? e
| x ? a|

( a 为常数) f (x) 在区间 [1,??) 上是增函数, a 的取值范围是 .若 则
2

.

7.(2011 湖南卷)10.设 x, y ? R ,则 ( x ?

1 1 )( ? 4 y 2 ) 的最小值为 y 2 x2

.

8.(2012 江西)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ? (1)确定常数 k ,并求 an ; (2)求数列 {

1 2 ,且 n ? kn (其中 k ? N ? ) S n 的最大值为 8 。 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 。 2n

9. (2012 四川) 函数 f ( x) ? 6cos 2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高 点,

B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。
(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 5 3 3

10

10.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? x3 ? bx 3.若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公切线,求 a, b 的值; 4.当 a 2 ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 ? ??, ?1? 上的最大值.

11.(2011 北京理)已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e .
2

x k

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有 f ( x) ?

1 ,求 k 的取值范围。 e

12.(2011 山东卷文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形, 按照设计要求容器的体积为

80? 立方米, l≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 且 3

已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米 建造费用为 c(c>3) 千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

11

13.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (I)讨论 f (x) 的单调性; (II)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

(III)若函数 y ? f (x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明: f ? (x0)<0.

【参考答案】
【课堂练习】 ABAABD 7. (0,1) ? (1,4) 8. m ? (?4,?2) 9. m=1, 1 ? 2 10.略
n? 2

11. k ? 1 ; f (x) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1,?? ) 内为减函数. 12. an = 3

. f ( x) = 3sin(2 x ?

?
6

).

0 ? x ? 20, ?60, ? 13.函数 v ? x ? 的表达式为 v ? x ? = ? 1 20 ? x ? 200 . ? 3 ?200 ? x ?, ?
当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 14. a =2;当 x =4 时, f ( x ) max =42. 15.(1)P 的横坐标 xP= 7t ?
7 2

,P 的纵坐标 yP=3.

7 救援船速度的大小为 949 海里/时,方向为北偏东 arctan 30 弧度.

(2)救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

1 1 0, h ? 0 16.(I)由 h( x) ? x ? x ? x 知, x ? [0, ??) ,而 h(0) ? ,且 h() ? ? ? (2) 6 ? 2 0 ? ,则 x ? 0 为 h( x )
3

12

的一个零点,且 h( x ) 在 1 2) ( , 内有零点,因此 h( x) 至少有两个零点

1 ?1 1 ?3 1 ?1 h'( x) ? 3x 2 ? 1 ? x 2 ,记 ? ( x) ? 3x 2 ? 1 ? x 2 ,则 ? '( x) ? 6 x ? x 2 。 2 4 2
当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多只有一个零点。又因为

? (1) ? 0, ? (

3 3 ) ? 0 ,则 ? ( x) 在 ( ,1) 内有零点,所以 ? ( x) 在 (0, ??) 内有且只有一个零点。记此零点为 x1 , 3 3

则当 x ? (0, x1 ) 时, ? ( x) ? ? '( x1 ) ? 0 ;当 x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ? '( x1 ) ? 0 ; 所以, 当 x ? (0, x1 ) 时, h( x ) 单调递减,而 h(0) ? 0 ,则 h( x ) 在 (0, x1 ] 内无零点; 当 x ? ( x1 , ??) 时, h( x ) 单调递增,则 h( x ) 在 ( x1 , ??) 内至多只有一个零点; 从而 h( x ) 在 (0, ??) 内至多只有一个零点。综上所述, h( x ) 有且只有两个零点。 综上所述, h( x ) 有且只有两个零点。 (II)记 h( x ) 的正零点为 x0 ,即 x0 ? x0 ?
3

x0 。
3

(1)当 a ? x0 时,由 a1 ? a ,即 a1 ? x0 .而 a2 ? a1 ? a1 ? x0 ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? x0 显然成立;

x0 ? x03 ,因此 a2 ? x0 ,由此猜测: an ? x0 。

②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? x0 成立,则当 n ? k ? 1 时,由 ak ?1 ? ak ? ak ? x0 ?
3

x0 ? x03 知,

ak ?1 ? x0 ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? x0 成立。故对任意的 n ? N * , an ? x0 成立。
( 2 ) 当 a ? x0 时 , 由 ( 1 ) 知 , h( x ) 在 ( x0 , ??) 上 单 调 递 增 。 则 h(a) ? h( x0 ) ? 0 , 即 a ? a ?
3

a 。从而

a23 ? a1 ? a1 ? a ? a ? a 3 ,即 a2 ? a ,由此猜测: an ? a 。下面用数学归纳法证明:
①当 n ? 1 时, a1 ? a 显然成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? a 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? a ? a ? a 3 知, ak ?1 ? a ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a 成立。
* 故对任意的 n ? N , an ? a 成立。

13

综上所述,存在常数 M ? max{x0 , a} ,使得对于任意的 n ? N ,都有 an ? M .
*

【课后作业】 6. ?? ?,1?

BBCA

5.16

7.9

8.(1) an = 2 -n(2)4- 2 n ?1

9

n?2

9.(I)函数 f ( x) 的值域为 [?2 3, 2 3] (II)略
?a ? 3 (1) ? . 10.解: ?b ? 3

a? a? ? ? a ? a ? (2)在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 6 2? 2 6? ? ? ? ?

a2 ? a? 当 a ? ? 0 ,2? 时,最大值为 h(1) ? a ? ;当 a ? ? 2 , ? ? ? 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 4 ? 2?
11.(Ⅰ)当 k>0 时, f (x) 的单调递减区间是( ? ?,?k )和 (k ,??) ;单调递增区间是 ( ? k , k ) ; 当 k<0 时, f (x) 的单调递减区间是( ? ?,?k )和 (k ,??) ;单调递增区间是 ( k ,? k ) (Ⅱ)k 的取值范围是 [? 12.(I)建造费用 y ? (Ⅱ)当 3 ? c ?

1 ,0). 2

160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为 (0, 2] . r

20 9 ? 2 时,函数 y 在(0,2)上是单调递减的,故建造费最小时 r=2。 时,即 3 c?2 2

当c ?

20 20 9 ? 2 时,函数 y 在(0,2)上是先减后增的,故建造费最小时 r ? 3 时,即 0 ? 3 c?2 c?2 2

一、13. f ( x)在(0, ) 单调增加,在 ( , ??) 单调减少. 二、(I) f ( x)的定义域为(0, ??),

1 a

1 a

f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . x x

(i)若 a ? 0, 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 单调增加. (ii)若 a ? 0, 则由f ?( x) ? 0得x ?

1 , a 1 1 且当 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0, 当x ? 时, f ?( x) ? 0. a a

14

1 a 1 1 (II)设函数 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x), 则 a a 1 a
g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ?( x) ? a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

所以 f ( x)在(0, ) 单调增加,在 ( , ??) 单调减少. ??????4 分

1 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 . a 1 1 1 故当 0 ? x ? 时 , f ( ? x) ? f ( ? x). ??????8 分 a a a
当0 ? x ? (III)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a ? 0 ,从而 f ( x) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) ? 0. 不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ? 由(II)得 f ( 从而 x2 ?

1 a

1 a

1 ? x2 . a

2 1 1 ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0. a a a

x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . 由(I)知, f ?( x0 ) ? 0. a 2 a

15


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