2012年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷-二次校对


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和 答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件 A,B 互斥 ,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的 概率
k k n?k Pn(k)= Cn p (1 ? p) (k ? 0,1, 2,..., n)

台体的体积公式 V= h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V=

1 3

1 Sh 3
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其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球体的面积公式 S=4π R2 球的体积公式 V=

4 π R3 其中 R 表示球的半径 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4)
2

2. 已知 i 是虚数单位,则 A .1-2i B.2-i

3?i = 1? i
C.2+i D .1+2i

3. 设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的 A 充分不必要条件 C 充分必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

4.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5.设 a,b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有
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A.60 种

B.63 种

C.65 种

D.66 种

7.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则列数﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn>0
*

D.若对任意 n ? N 均有 Sn>0,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

x y2 8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B a b
与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M,若|MF2|=|F1F2|, 则 C 的离心率是 A.

2

2 3 3

B

6 2

C. 2

D.

3

9.设 a>0,b>0. A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b D.若 2a-2a=ab-3b,则 a<b

10. 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 。将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折 过程中。 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , ,

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理科)

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于________cm3.

12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是__________。

13.设公比为 q q>0) ( 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 S2=3a2+2,4=3a4+2, q=______________。 S 则 14.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) +??+a5(1+x) ,
2 5

其中 a0,a1,a2,?a5 为实数,则 a3=______________。
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uur uuu u r 15.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________.
2 16. 定义: 曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离, 已知曲线 C X:y ? x ? a

到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x +(y+4) =2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______。 17.设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x -ax-1)≥0,则 a=__________。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 在△ABC 中, 内角 A, , 的对边分别为 a, , B C b c.已知 cosA= (1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。 19.(本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出 一个黑球得 1 分。现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为 取出此 3 球所得分数之和。 (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X). 20.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点。
2

2

2

2 , sinB= 5 cos C。 3

(1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。 21.(本题满分 15 分)如图,椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点P(2, 2 a b 2

1)的距离为 10 ,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。 ....

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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程。 22.(本题满分 14 分)已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b。 (Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时。 (ⅰ)函数 f(x)的最大值为| 2a ? b ? a (ⅱ)f(x)+ 2a ? b ? a ? 0; (Ⅱ)若-1 ? f(x) ? 1 对 x∈ ? 0,1? 恒成立,求 a+b 的取值范围。

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 【解析】A=(1,4) ,B=(-3,1) ,则 A∩( C RB)=(1,4) . 【答案】A 2. 【解析】

? 3 + i ??1+ i ? 2 + 4 i 3+i = = =1+2i. 1? i 2 2

【答案】D 3. 【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 l2 平行,则有:
a 2 ? ,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件. 1 a ?1

【答案】A 4. 【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得: y1=cosx+1,向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x—1)+1,再向下平移 1 个单位长度得: y3=cos(x—1) .令 x=0,得:y3>0;x=
?
2 ? 1 ,得:y3=0;观察即得答案.

【答案】B 5. 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实 数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a ⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为 同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
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【答案】C 6. 【解析】1,2,2,…,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和 为偶数,则取法有: 4 个都是偶数:1 种; 2 个偶数,2 个奇数: C52C42 ? 60 种; 4 个都是奇数: C54 ? 5 种. ∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D 7. 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n}是递增数列,但 是 S n>0 不成立. 【答案】C 8. 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .
b ? ? y= c ( x+c) b ac bc b ? 直线 PQ 为:y= (x+c) ,两条渐近线为:y= x.由 ? ,得:Q( , ) ; a c?a c?a c ? y= b x ? a ? b ? ? y= c ( x+c) ? ac bc bc b ? ac ? 由? ,得:P( , ) .∴直线 MN 为:y- =﹣ (x- ) , c?a c?a c?a c c?a b ? y=- x ? a ?
b c b c

令 y=0 得: M= x 即 e=
6 . 2

c3 c3 c2 3 . 又∵|MF2|=|F1F2|=2c, ∴3c=xM= 2 2 , 解之得:e2 ? a ? , 2 2 c ?a c ?a a
2

【答案】B 9. 【解析】若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,必有 2a ? 2a ? 2b ? 2b .构造函数: f ? x ? ? 2x ? 2 x , 则 f ? ? x ? ? 2x ? ln 2 ? 2 ? 0 恒成立, 故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2 x 在 x>0 上单调递增, a>b 成立. 即 其 余选项用同样方法排除. 【答案】A 10. 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项 C 是正确的. 【答案】C 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形.故体积等 于 ? 3 ? 1? 2 ? ? 1 . 【答案】1 12. 【解析】T,i 关系如下图:
1 2 1 3

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T i 【答案】
1 120

1 2

1 2

1 6

1 24

1 120

3

4

5

6

13. 【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子.
?a ? a q ? 3a1q ? 2 即? 1 1 ,两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 , a1 ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? 3a1q3 ? 2 ?

解之得: q ? 【答案】
3 2

3 or q ? ?1 (舍去) . 2

14. 【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
? a5 ? 1 ? ? a3 ? 10 . 即: ?C54 a5 ? a4 ? 0 ?C 3 a ? C1 a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5

法二:对等式: f ? x ? ? x5 ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? ? a5 ?1 ? x ? 两边连续对 x 求导三次得:
2 5

60 x 2 ? 6a3 ? 24a4 (1 ? x) ? 60a5 (1 ? x) 2 ,再运用赋值法,令 x ? ? 1 得: 60 ? 6a3 ,即 a3 ? 10 .

【答案】10 15. 【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 34 . cos∠BAC=
34 ? 34 ? 10 29 ? . 2 ? 34 34 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? 29

【答案】29
d 16. 解析】 2: 2+ 【 C x (y+4)2 =2, (0, 圆心 —4) 圆心到直线 l: , y=x 的距离为: ? 0 ? (?4) 2 ?2 2,

故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y? ? 2x ? 0 ,得: x ?
1 ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y= 2
7 . 4

1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 ?? 2? ? x 的距离的点为( , ? a ) d , 2 4 2 2

?

a?

【答案】

7 4

17. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: 1) 1 ?(a- x- ? 0 (A) ? 2 , 无解; x -ax- ? 0 1 ?
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1) 1 ?(a- x- ? 0 (B) ? 2 , 无解. x -ax- ? 0 1 ? 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间上, 我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?) ,在各自的区间内恒正或恒负. (如下答图) 2 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x -ax-1 都过定点 P(0,1) .

考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M(

1 ,0) ,还可分析得:a>1; a ?1
2

1 a ? 1 ? ,0) ,代入得: ? ? 1 ? 0 ,解之得: ? ? a ?1 ? a ?1? a ?1

a ? ? 2 ,舍去 a ? ? 2 ,得答案: a ? 2 .

【答案】 a ? 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。 (Ⅰ )∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos 2 A ?
2 3
5 , 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
5 2 cosC+ sin 3 3

C.

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA=
b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3
3 (舍去) . 3

5 . 6

a c ? , sin A sin C

解(1) (2)得: b ? 3 or b= ∴ ? ABC 的面积为:S=
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5 . 2
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【答案】 ) (Ⅰ

(Ⅱ) 5;

5 . 2

19. 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ X 的可能取值有:3,4,5,6. ) C3 C 2C1 20 5 ; ; P( X ? 3) ? 5 ? P( X ? 4) ? 5 3 4 ? 3 42 C9 42 C9
P( X ? 5) ?
1 2 C5C4 15 ; ? 3 42 C9

P( X ? 6) ?

3 C4 2 . ? 3 C9 42

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42
91 . 21

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P ( X ? i ) ?
i?4 6

【答案】 )见解析; (Ⅰ (Ⅱ)

91 . 21

20. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ )如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥ . BD 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0) ,P(0,0, 2 6 ) ,M( ?
3 3 , ,0) , 2 2

N( 3 ,0,0) ,C( 3 ,3,0) . 设 Q(x,y,z) , ??? ? ??? ? 则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), ? (? 3, 3, 6) . CP ? 2
??? ? ??? ? ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, 3?, 6?) , ? 2

∴ Q( 3 ? 3?, ? 3?, 6? ) . 3 2
???? ??? ? 2 3 2 6 1 ,2, ). 即: Q ( ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? . 3 3 3 ? 对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) .

由 OQ ? CP

????

??? ?

∵ AM ? (?

???? ?

???? 3 3 , ,0),AN =( 3,0,0) . 2 2

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???? ? ? ? AM ? n ? 0 ? 则 ? ???? ? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b ? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? . ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?

∴n ? (

?

3 1 , ,0) . 3 3

? 同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,,? 6) . 1

记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? ,
? ? n?v 10 则 cos ? ? ? ? ? . 5 n?v

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 【答案】 )见解析; (Ⅰ (Ⅱ)
10 . 5

10 . 5

21. 【解析】 (Ⅰ )由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为:
d ? (2 ? c) 2 ? 12 ?

10 . (2)

由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ? 1. 4 3
1 2

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA) ,B (xB,yB) ,R(x0,y0) .其中 y0= x0. ∵A,B 在椭圆上,
? xA 2 y A 2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? ? k AB ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2
3 2

1 2

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0) ,
? x2 y 2 ?1 ? + ?4 3 代入椭圆: ? ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0.
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由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB =

m ?3 . 3
2

∴|AB|= 1 ? kAB | xA ? xB |= 1 ? kAB

( xA ? xB )2 ? 4 xA xB = 1 ? kAB
?3 ? 1 ? m 1 ? k AB ? m? 2 1 ? k AB

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
1 2 1 2



∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? 当|m+2|= 4 ?
m2 ,即 m=﹣3 3
3 2 1 . 2

m2 , 3

or m=0(舍去)时, ? ABP)max= . (S

1 2

此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? 【答案】 (Ⅰ )

3 1 x2 y 2 (Ⅱ) y=﹣ x ? . + ? 1; 2 2 4 3

21. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ ) (ⅰ f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . ) 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a; f max ? x ? ? max{ f (0),()? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. ) 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
b . 6a

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g max ? x ? ? max{g (

b ),() g 1} 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ )知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. ? b ? 2a ?b ? 2a 则可行域为: ? 和? ,目标函数为 z=a+b. b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1 ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 .
3 ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??, ? .

【答案】 ) 见解析; (Ⅰ (Ⅱ)

? ??,3? .

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