江西省宜春中学2015-2016学年高二上学期入学考试数学(理)试题


2017 届高二年级开学考试(数学理科)试卷 命题人:罗小荣 审题人:刘翠云

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=( A.{0} B.{1} C.{0,1} ) D.{0,1,2}

2.采用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本,则抽样间隔和随机剔除 的个体数分别为( A. 40 , 5 ) B. 50 , 5 C. 5 , 40 D. 5 , 50 ) D. ?

3.在 ?ABC 中, BD ? A.

??? ?

? ???? 3 ??? BC ,设 AB ? a, AC ? b ,则向量 AD ? ( 4
B.

1? 3? a? b 4 4
0 .6 5

3? 1? a? b 4 4

C. )

7? 3? a? b 4 4

7? 3? a? b 4 4

4.三个数 5

, 0.6 , log0.6 5 的大小顺序是 (

A. 0.65 ? log0.6 5 ? 50.6 C. log0.6 5 ? 0.65 ? 50.6 5.已知 x、y 取值如表: x y 0 1.3 1 m 4 3m 5 5.6

B. 0.65 ? 50.6 ? log0.6 5 D. log0.6 5 ? 50.6 ? 0.65

6 7.4

? =x+1,则 m 的值(精确到 0.1)为 画散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且求得回归方程为 y
( ) A. 1.5 6.程序框图如下: B. 1.6 C. 1.7 D.1.8

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A. k≤10 B. k≥10 C. k≤11

) D. k≥11

7.袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球,其中有 2 个红球、1 个白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,至少有一个黑球的概率为( A. ) C.

3 4

B.

2 5

3 5

D.

4 5


8.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为(

A.6+2 3

B.6+ 3

C.6+4 3

D.10

9.函数 f ( x ) =Asin(ω x+φ )(其中 A>0,|φ |< 的图象,则只需将 f ( x ) 的图象( )

? )的图象如图所示,为了得到 g ( x) =sin2x 2

? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移

? 个长度单位 3 ? D.向左平移 个长度单位 3
B.向右平移

2 2 10.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A, B 两点, O 是坐标原点,向量 OA 、 OB 满足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OA ? OB |?| OA ? OB | ,则实数 a 的值是(
A.2 B.-2 C.2 或-2

) D. 6 或- 6

11.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) = f ( x ) ,且在上是减函数,若 ? , ? 是锐角三角形 的两个内角,则( ) B. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? D. f ?cos? ? ? f ?cos ? ? A. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? C. f ?sin ? ? ? f ?sin ? ?

12.已知函数 y= f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 x>0 时, f ( x ) = lg x ,若 g ( x) =sinπ x,则函数 y= f ( x ? 2) 与 y= g ( x) 图象所有公共点的横坐标之和为( A.10 B. 12 C.20 ) D.22

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0 ,则 f ( f (?1)) 的值等于_____________ x ? 2 ,x ? 0

14.在区间 ?0,6? 上随机取一个数 x, log2 x 的值介于 0 到 2 之间的概率为____________ 15.已知 sinα =

1 cos 2? -cosα ,则 的值为___________ ? 2 sin(? ? ) 4

16.在 Rt△ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN ? 范围为_______

???? ? ???? 2 ,则 CM ? CN 的取值

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知直线 l1 : ax - y - 2 = 0 经过圆 C:.x +y +4x-12y+24=0 的圆心 (1)求 a 的值; (2)求经过圆心 C 且与直线 l : x - 4 y + 1 = 0 平行的直线 l2 的方程.
2 2

18.(12 分)已知函数 f(x)= log 2 ( x ? 1) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) = ( ) ,(-1≤x≤0)
x

1 2

的值域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|a≤x≤2a﹣1},且 C∩B=C,求实数 a 的取值范围.

19.(12 分)如图的多面体中,ABCD 为矩形,且 AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 的中点, AE⊥BE. (1)求证:AE∥平面 BFD;

(2)求三棱锥 E﹣BDC 的体积.

20.(12 分)某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受 到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在,总存在 x2∈,使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值范围?

2017 届高二年级开学考试(数学理科)试卷 参考答案 一、选择题: 1.解:∵A={0,1,2},B={x|-1<x<2} ∴A∩B={0,1} 故选 C

2.【答案】A 试题分析:由系统抽样可知随机剔除的个数应为 5,抽样间隔应为 3.【答案】A 试题分析: AD ? AB ? BD = AB ? 4.【答案】C 试题分析: Q 50.6 ? 1,0 ? 0.65 ? 1,log0.6 5 ? 0 ,所以 log0.6 5 ? 0.65 ? 50.6 5.解:将 代入回归方程为 可得 故选:C. ,则 4m=6.7,解得 m=1.675,

2000 ? 40 。 50

????

? ??? ? ??? ? ???

? ??? ? 3 ???? ??? ? 1 ??? ? 3 ???? 1 ? 3 ? 3 ??? BC = AB ? ( AC ? AB ) = AB ? AC = a ? b 4 4 4 4 4 4

即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7.

6.解:当 k=12,S=1,应该满足判断框的条件; 经过第一次循环得到 S=1×12=12,k=12-1=11 应该满足判断框的条件; 经过第二次循环得到 S=12×11=132,k=11-1=10,应该输出 S,此时应该不满足判断框的条件, 即 k=10 不满足判断框的条件. 所以判断框中的条件是 k≥11 故选 D
2 2

7.解:从口袋中 6 个小球中随机摸出 2 个小球,共有 C6 =15 种选法,则没有黑球 C3 =3 种, ∴每个小球被抽到的机会均等,从袋中任取两球,至少有一个黑球的概率为 1- 故选:D. 8 解: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为边长等于 2 的正三角形,高为 1 的正三棱柱, ∴它的表面积为 3×2×1+2× ×2 × 9.解:由图象可知 将 根据|φ |< 代入到 f(x)=sin(2x+φ )中得, 得到 ,所以函数 f(x)的解析式为 个长度单即可得到 g(x)=sin2x 的图象,故选 A,
2

= ,

=6+2

.故选:A. ,从而 , , .

将 f(x)图象右移

10【解析】由 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,两边平方,得 OA ? OB ? 0 ,所以 ?AOB ? 90? ,则

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? AOB 为等腰直角三角形,而圆 x2 ? y 2 ? 4 的半径 AO ? 2 ,则原点 O 到直线 x ? y ? a 的距

离为 2 ,所以 11【答案】A

0?0?a 1?1

? 2 ,即 a 的值为 2 或-2。故选 C。

12 解: 由已知中函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=lgx,故函数 y=f(x)的图象如下 图所示:

在同一坐标系中画出函数 y=f(x-2)与 y=g(x)图象,如下图所示:

结合函数图象可得:函数 y=f(x-2)与 y=g(x)图象共有十一个交点,且这些交点有十组两两关 于(2,0)点对称,另外一个就是(2,0)点,故函数 y=f(x-2)与 y=g(x)图象所有公共点的横坐标 之和为 22,故选:D

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13【解析】 : f ( f (?1)) = f (2?1 ) = f ( ) = log 2

1 2

1 ? ?1 2

14.

1 2

15. —

2 2

16 解:以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴建立平面坐标系,

则 A(3,0),B(0,3), ∴AB 所在直线的方程为:y=3-x, 设 M(a,3-a),N(b,3-b),且 0≤a≤3,0≤b≤3 不妨设 a>b, ∵MN= ∴ ,∴(a-b) +(b-a) =2,∴a-b=1,∴a=b+1,∴0≤b≤2, =(a,3-a)?(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b -2b+3),0≤b≤2, 当 b=0,或 b=2 时有最大值 6,
2 2 2

∴b=1 时有最小值 4; ∴ 的取值范围为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17(10 分)已知直线 l1 : ax - y - 2 = 0 经过圆 C:.x +y +4x-12y+24=0 的圆心 (1)求 a 的值; (2)求经过圆心 C 且与直线 l : x - 4 y + 1 = 0 平行的直线 l2 的方程. 解:(1)将圆心(-2,6)代入得直线 l1 ,得,a=-4 (2)设所求直线方程 x-4y+n=0 C(-2,6)点在直线 x-4y+n=0 上,得 n= 26 故所求直线 l2 方程为:.x-4y+26=0
2 2

18.(12 分)已知函数 f(x)= log 2 ( x ? 1) 的定义域为集合 A,函数 g(x)=( ) ,(-1≤x≤0)的值
x

域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|a≤x≤2a-1},且 C∩B=C,求实数 a 的取值范围. 解:(1)要使函数 f(x)= log 2 ( x ? 1) 有意义,则 log2(x-1)≥0,解得 x≥2, ∴其定义域为集合 A=. ∴A ? B={2}. (2)∵C ? B=C,∴C ? B. 当 2a-1<a 时,即 a<1 时,C= ? ,满足条件; 当 2a-1≥a 时,即 a≥1 时,要使 C ? B,则 综上可得:a ? . ,解得 .

19(12 分). 如图的多面体中,ABCD 为矩形,且 AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 的中点,AE⊥BE. (1)求证:AE∥平面 BFD; (2)求三棱锥 E-BDC 的体积.

解:(1)证明:设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵F 是 EC 中点. ∴在△ACE 中,FG∥AE, ∵AE ? 平面 BFD,FG ? 平面 BFD, ∴AE∥平面 BFD. (2)解:取 AB 的中点 O,连接 EO,则 EO⊥平面 ABCD,EO= ∴三棱锥 E-BDC 的体积= = . ,

20(12 分). 某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不 同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在之间的 2 个分数编号为 5,6. 则在之间的试卷中任取两份的基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 15 个. 至少有一个在之间的基本事件有(1,5)(1,6)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共 9 个, ∴至少有一份分数在之间的概率是 21.(12 分)已知向量 =( . ),-1)(其中 ≤ω ≤ ),函数

cosω x,1), =(2sin(ω x+ .

f(x)= ? ,且 f(x)图象的一条对称轴为 x= (1)求 f(x)及 f( π )的值;

(2)若 f( 值.

)=

,f(



)=

2 2 ,且 3

,求 cos(α -β )的

解:(1)∵向量 =(

cosω x,1), =(2sin(ω x+

),-1)=(

(sinω x+cosω x),-1)

∴函数 f(x)= ? =2cosω x(sinω x+cosω x)-1=2sinω xcosω x+2cos ω x- 1=sin2ω x+cos2ω x= sin(2ω x+ . ),

2

∵f(x)图象的一条对称轴为 x= ∴2ω × + =

+kπ ,(k∈Z).

又由 ≤ω ≤ , ∴ω =1, ∴f(x)= ∴f( π )= sin(2x+ ), )=- cos =-1,

sin(2× π +

(2)∵f(

)=

,f(



)=

2 2 , 3

∴sinα = ,sinβ = , ∵ ∴cosα = ,cosβ = , . ),(k≠0). ,

∴cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ =
2

22.(12 分)已知函数 f(x)=2x -3x+1,g(x)=ksin(x-

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α -sinx 在,总存在 x2∈,使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取 值范围? 解:(1)2sin x-3sinx+1=a-sinx 化为 2sin x-2sinx+1-a=0 在上有两解或一解, 两解的情况是:h(-1)=h(1)=0;当 t∈(-1,1)时,h(t)=0 有一个解; 则有: △ ? 0 或 ?
2 2

?△=0 1 ,解得 a ? 或 1<a<5. 2 ?h( ?1) ?h(1) ? 0

(2)当 x1∈时,f(x1)值域为, 当 x2∈时,x2-

? ? ∈,有 sin(x2- )∈ 6 6

①当 k>0 时,g(x2)值域为 ②当 k<0 时,g(x2)值域为

而依据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集





∴k≥10 或 k≤-20.


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