人教A版数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 单元测试


第三章 空间向量与立体几何
一、选择题 1.若 A(0,-1,1),B(1,1,3),则|AB|的值是( A.5 B. 5 C.9 ). C. AC D. AD ). ). D.3

2.化简 AB + CD - CB - AD ,结果为( A. 0

?

B. AB

3.若 a,b,c 为任意向量,m∈R,则下列等式不成立的是( A.(a+b)+c=a+(b+c) C.m(a+b)=ma+mb

B.(a+b)·c=a·c+b·c D.(a·b)· c =a·(b·c) ).

4.已知 a + b =(2,-1,0), a - b =(0,3,-2),则 cos< a , b >的值为( A.

1 3

B.-

2 3

C.

3 3

D.

7 3

5.若 P 是平面 ??外一点,A 为平面 ??内一点,n 为平面??的一个法向量,且< PA ,n> =40? ,则直线 PA 与平面 ??所成的角为( A.40? B.50? ). C.40? 或 50? D.不确定 ).

6.若 A,B,C,D 四点共面,且 OA+2OB+ 3OC +xOD=0 ,则 x 的值是( A.4 B.2 C.6 D.-6

7.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90? , ∠BAA1=∠DAA1=60? ,则 AC1 的长等于( A.85 B.50 ). C. 85 D.5 2

8.已知向量 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2) ,若(a+b)⊥ c ,则 x 等 于( ). A.4 B.-4 C.

1 2

D.-6

9.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,考虑下列命题
2 2 ①( A1 A + A 1D 1+A 1B 1 ) =3( A 1B 1) ;

② A1C ·( A 1B 1-A 1 A )=0;

③向量 AD1 与向量 A1B 的夹角为 60? ; ④正方体 ABCD—A1B1C1D1 的体积为| AB · AA1 · AD |. 错误命题的个数是( A.1 个 ). B.2 个 C.3 个 D.4 个

10.已知四边形 ABCD 满足 AB · BC >0, BC · CD >0, CD · DA >0, DA · AB >0,则该四边形为( A.平行四边形 C.任意的平面四边形 二、填空题 11.设 a=(-1,1,2),b=(2,1,-2),则 a-2b= . . . ). B.梯形 D.空间四边形

12. 已知向量 a, b, c 两两互相垂直, 且|a|=1, |b|=2, |c|=3, s=a+b+c, 则|s|= 13.若非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则 a 与 b 所成角的大小

14.若 n1,n2 分别为平面?,??的一个法向量,且<n1,n2>=60? ,则二面角?-l-??的 大小为 .

15.设 A(3,2,1),B(1,0,4),则到 A,B 两点距离相等的点 P(x,y,z)的坐标 x,y,z 应满足的条件是 .

16.已知向量 A1 An =2a,a 与 b 夹角为 30? ,且|a|= 3 ,则 A1A2 + A2 A3 +…+ An?1An 在向量 b 的方向上的射影的模为 三、解答题 17.如图,在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面是平行四边形, O 是 B1D1 的中点.求证:B1C//平面 ODC1. .

D1 A1 D A
(第 17 题)

O B1 C B

C1

18.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底边 CA=CB=1,∠BCA=

90? ,棱 AA1=2,M,N 分别是 A 1B 1 、 A1 A 的中点.

C1 A1 N A
(第 18 题)

M C

B1

B

(1)求 BN · C1M ; (2)求 cos< BA1 , CB1 >.

19.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动.

D1 A1 D A E
(第 19 题)

C1 B1 C B

(1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

20.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,∠DAB 为直角, AB // CD ,AD =CD=2AB,E,F 分别为 PC、CD 中点. P D E F A B
(第 20 题)

C

(1)试证:CD⊥平面 BEF; (2)设 PA=k·AB,且二面角 E—BD—C 的平面角大于 30? ,求 k 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1.D 4.B 解析:两已知条件相加,得 a =(1,1,-1) ,再得 b =(1,-2,1) ,则 cos< a , b >= 5.B 10.D 解析:由 AB · BC >0 得∠ABC>90? ,同理,∠BCD>90? ,∠CDA>90? ,∠DAB> 90? ,若 ABCD 为平面四边形,则四个内角之和为 360? ,这与上述得到结论矛盾,故选 D. 二、填空题 11.(-5,-1,6) . 12. 14 . 13.90° . 14.60? 或 120? . 15.4x+4y-6z+3=0. 16.3. 三、解答题 17.提示:∵ B1C = A1D = A1C1 + C1D =2 OC1 + C1D . ∴ 直线 B1C 平行于直线 OC1 与 C1D 所确定的平面 ODC1. 18.(1)0. 提示:可用向量计算,也可用综合法得 C1M⊥BN,进而得两向量数量积为 0. (2)
30 . 10

2.A

3.D

a?b | a || b |

=-

2 . 3

6.D

7.C

8. B

9.B

提示:坐标法,以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线为 x,y,z 轴. 19.(1)提示:以 D 为原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,可得 DA1 · D1E =0.

(2)

1 . 3
| D1 E · n1 | 1 = . 3 n1

提示:平面 ACD1 的一个法向量为 n1=(2,1,2),d=

(3)2- 3 . 提示:平面 D1EC 的一个法向量为 n2=(2-x,1,2) (其中 AE= x ) ,利用 cos
n2·DD1 ? = 得 x=2- 3 . 4 n2 DD1

20.(1)提示:坐标法,A 为原点,直线 AD,AB,AP 分别为 x,y,z 轴. (2)k>
2 15 . 15 3 ,其中 n1,n2 分别为面 EBD, 2

提示:不妨设 AB=1,则 PA=k,利用 cos<n1,n2>< 面 BDC 的一个法向量.


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