直线与圆的方程例题(总结版)


【考试大纲要求】
1.理解直线的斜率的概念,掌握两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条 件熟练地求出直线的方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式;能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. 4.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 5.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. 6.掌握直线与圆的位置关系的判断方法,能利用直线和圆的位置关系解决相关问题. 直线方程考察的重点是直线方程的特征值(主要是直线的斜率、截距)有关问题,可与三角知识联系;圆的方程, 从轨迹角度讲,可以成为解答题,尤其是参数问题,在对参数的讨论中确定圆的方程.

【基础知识归纳】
1.直线方程 (1)直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是: 0? ? ? ? 180? .

(2)直线的斜率 k ? tan? (? ? 90?) . 倾斜角是 90°的直线没有斜率;倾斜角不是 90°的直线都有斜率,斜率的取值范围是(-∞,+∞). (3)直线的方向向量 设 F1(x1,y1) 2(x2,y2)是直线上不同的两点,则向量 F1 F2 =(x2-x1,y2-y1)称为直线的方向向量 、F 向量

y ? y1 1 F1 F2 =(1, 2 )=(1,k)也是该直线的方向向量,k 是直线的斜率.特别地,垂直于 x 轴的直 x 2 ? x1 x 2 ? x1

线的一个方向向量为 a =(0,1) . 说明:直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的. 每一条直线都有倾斜角和方向向量,但不是每一条直线都有斜率,要注意三者之间的内在联系. (4)直线方程的五种形式 点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) ,(斜率存在) 两点式: 斜截式: y ? kx ? b (斜率存在)

?

y ? y1 x ? x1 ? ,(不垂直坐标轴) y 2 ? y1 x 2 ? x1

截距式:

x y ? ? 1 (不垂直坐标轴,不过原点) a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0 . 引申:过直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系方程为:

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (λ∈R)(除 l2 外).
2.两条直线的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 存在斜率的两直线 l1 : y ? k1 x ? b1 ; l2 : y ? k2 x ? b2 .有: ① l1 ? l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 ; ③ l1 与 l 2 相交 ? k1 ? k 2;④ l1 与 l 2 重合 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 . 0 一般式的直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 . 有① l1 ? l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ;且 B1C2 ? C2 B1 ? 0 ; ② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ;
1

③ l1 与 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ;④ l1 与 l 2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ;且 B1C2 ? C2 B1 ? 0 (2)点与直线的位置关系 若点 P( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上,则有 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ; 若点 P( x0 , y0 ) 不在直 Ax ? By ? C ? 0 上,则有 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,此时点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的 距离为 d ?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2



平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离为 (3)两条直线的交点

d?

C1 ? C 2 A2 ? B 2



直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的公共点的坐标是方程 ? 相交 ? 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行 ? 方程组无解. 重合 ? 方程组有无数解. 3.曲线与方程 4. 圆的方程 (1)圆的定义 (2)圆的方程 标准式: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,其中 r 为圆的半径, (a, b) 为圆心.
2 2 2

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

的解

一般式: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0 ).其中圆心为
2 2

2

2

? D E ? ,半径为 1 D2 ? E 2 ? 4F ?? ,? ? 2? 2 ? 2
? x ? r cos ? ? x ? a ? r cos ? 参数方程: ? ,? ? y ? r sin ? ? y ? b ? r sin ?
5. 点与圆的位置关系 判断点 P( x, y ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系代入方程看符号.
2 2 2

(? 是参数). 消去θ 可得普通方程

6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有:相离、相切和相交. 有两种判断方法: (1)代数法: (判别式法) ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 时分别相离、相交、 相切. (2)几何法:圆心到直线的距离 7.弦长求法 (1)几何法:弦心距 d,圆半径 r,弦长 l,则 d ? ?
2

d ? r , d ? r , d ? r 时相离、相交、相切.

?l? 2 ? ?r . ?2?

2

(2)解析法:用韦达定理,弦长公式. 8.圆与圆的位置关系 题型 1:直线的倾斜角
2

1. (07·上海)直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 答案: π ? arctan 4 解析:?直线 4 x ? y ? 1 ? 0 可化为 y ? 4 x ? 1 ,



k ? tan? ? ?4  ? ,?) ,? ( 2 ?

?

? ? ? π ? arctan4 .
题型 2 :直线的斜率 2. (08·安徽卷)若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为
2 2





A. [? 3, 3] 答案:C

B. ( ? 3, 3)

? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ? C.

? 3 3? ?? ? 3 , 3 ? ? ? D. ?

解析:记圆心为 D(2, 0) ,记上、下两切点分别记为 B、C ,则
0 0 ? ? ?BAD ? 30? ? ?CAD ,∴ l 的斜率 k ? ? tan150 , tan 30 ? ,

? 3 3? k ? ?? , ? ? 3 3 ?. 即
题型 3 直线的方程 ) 3. (07·浙江)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 ( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 答案:D 解析:(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x, y)在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 即 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,化简得答案 D. 题型 4:直线方程的综合题 4. (08·江苏卷)在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p)在线 段 AO 上(异于端点) ,设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F ,一同学已正确算的 OE 的 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

?1 1? ?1 1? ? ? ?x?? ? ?y ? 0 b c? ? p a? 方程: ? ,请你求 OF 的方程: ? 1 1? ?1 1? ? ? ?x?? ? ? y ? 0 c b? ? p a? 答案: ?

___________________.

y
A F P E

B

O

C

x
3

x y ? ?1 解析:直线 AB 的方程为 b a
x y ? ?1 c p 直线 CP 的方程为





? 1 1? ?1 1? ? ? ?x?? ? ? y ? 0 c b? ? p a? ②-①得 ? ,
直 线 AB 与 CF 的 交 点 F 坐 标 满 足 此 方 程 , 原 点 O 的 坐 标 也 满 足 此 方 程 , 所 以 OF 的 方 程 为

? 1 1 ? ? 1 1? ? ? ?x?? ? ? y ? 0 ?c b? ? p a? .(若敢于类比猜想,交换 x 的系数中 b、c 的位置,便很快可得结果.)
题型 5:直线与直线的位置关系 5. (06· 福建) 已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直, a 等于 则 A.2 答案 D 解析:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a(a ? 2) ? ?1 ,∴ a=-1,选 D. 题型 6:点与直线的位置关系 6 . 06 · 湖 南 ) 圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 0? 0上 的 点 到 直 线 x ? y ? 14 ? 0 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是 (
2 2

(

)

B.1

C.0

D. ?1

(

) A.36 答案 C
2 2 解析:圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 的圆心为(2,2),半径为 3 2 ,

B. 18

C. 6 2

D. 5 2

| 2 ? 2 ? 14 | ?2 5 x ? y ?14 ? 0 的距离为 2 圆心到直线 >3 2 ,
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ,选 C. 题型 7:平行线间的距离 【例 7】 (07·四川)如图, 1 、 2 、 3 是同一平面内的三条平行直线, 1 与 2 间的距离是 1, 2 与 3 间的距离是 2, 正三角形 ABC 的三顶点分别在 1 、

l

l

l

l

l

l

l

l

l2



l3

上,则△ ABC 的边长是

(

)

A. 2 3 【答案】D

3 17 4 6 B. 3 C. 4

2 21 D. 3

【解析】过点C作 2 的垂线 4 ,以 2 、 4 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系.设 A(a,1) 、 B(b,0) 、 C (0, ?2) ,由

l

l

l

l

2 2 2 2 2 2 AB ? BC ? AC 知 (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ? 边长 2 ,检验 A: (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ? 12 ,无解;

4

检验 B: (a ? b) ? 1 ? b ? 4
2 2

? a2 ? 9 ?

32 3 ,无解; 28 3 ,正确.

2 2 检验 D: (a ? b) ? 1 ? b ? 4

? a2 ? 9 ?

题型 8:动点的轨迹方程 8. (08·上海)如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆 所围成的区域(含边界) ,A、B、C、D 是该圆的四等分点.若点 P( x,y ) 、点 P ( x ,y ) 满足 x ≤ x? 且 y ≥ y ,则称 P 优 于 P? . 如 果 ? 中 的 点 Q 满 足 : 不 存 在 ? 中 的 其 它 点 优 于 Q , 那 么 所 有 这 样 的 点 Q 组 成 的 集 合 是 劣 弧 y ( ) A A.弧 AB B.弧 BC C.弧 CD 答案 D D.弧 DA D O

? ?

?

?

?
C

B x

解析:分别在弧 AB、弧 BC、弧 CD、弧 DA 上任意取一点 Q,只有在弧 DA 上的点 Q 满足不存在 ? 中的其它点优于 Q, 故选 D. 题型 9:圆的方程 9. (06· 重庆)以点 (2, -1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2





B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

答案 C 解析 r ?

|3 ? 2-4 ? 1)+5| (- 32+42

=3,故选 C.

10.。 (08·福建)若直线 3x+4y+m=0 与圆 是 . 解析:将圆化成标准方程得

? x ? 1 ? cos? ? ? y ? ?2 ? sin ?

( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,圆心 (1,?2) ,半径 r ? 1 . 直线与圆相离,
3 ? 1 ? 4 ? ( ?2 ) ? m


32 ? 4 2

?1
,∴

m?5 ? 5

,∴ m ? 0或m ? 10 .

题型 10:直线与圆的位置关系 11.(09?辽宁)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 ( ) A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

5

C.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

答案 B 解析:圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 题型 11:圆与圆的位置关系 12. (07·山东)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是
2 2

_____ 答案 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

【解析】曲线化为

( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 ,其圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为
2 2

d?

6?6?2 2

? 5 2.

所求的最小圆的圆心在直线 y?x 上,其到直线的距离为

2 , 圆 心 坐 标 为 (2, 2). 标 准 方 程 为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时,应特别注意的几个方面:
(1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次要注意倾角的范围. (2)在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴 上的“截距相等” “截距互为相反数” “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍(m>0) ”等时,采用截距 式就会出现“零截距” ,从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解. (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于“无斜率” ,从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的 切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时,一般要分直线有无斜率 两种情况进行讨论. (4)有关圆的问题解答时,应注意利用圆的平面几何性质,如圆与直线相切、相交的性质,圆与圆相切的性质, 这样可以使问题简化. (5) 对独特的数学方法——坐标法要引起足够重视. 要注意学习如何借助于坐标系, 用代数方法来研究几何问题, 体会这种数形结合的思想. (6)首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数 问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终. 1.(2004 年湖北,文 2)已知点 M1(6,2)和 M2(1,7) ,直线 y=mx-7 与线段 M1M2 的交点 M 分有向线段 M1M2 的比为 3∶2,则 m 的值为 A.-

3 2

B.-

2 3

C.

1 4

D.4

3 3 6? 6? ?7 3 2 =3,y= 2 解析:设 M(x,y) ,点 M 分 M1M2 所成比为λ = . 得 x= =5. 代入 y=mx-7,得 m=4. 3 3 2 1? 1? 2 2
答案:D 2.(2003 年辽宁)在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是

6

y

y

O

x

O

x

A
y y

B

O

x

O

x

C

D

解:根据 a 的符号和表示直线的位置特征,显见 C 正确,因为当 a<0 时,y=ax 表示过原点且下降的直线,y=x+a 表示纵截距小于零且上升的直线.故选 C. 答案:C 3.(2005 年春季北京,6)直线 x+ 3 y-2=0 被圆(x-1)2+y2=1 所截得的线段的长为 A.1 B. 2 C. 3 D.2

解析:圆心(1,0) ,r=1 到直线 x+ 3 y-2=0 的距离 d=

|1 ? 0 ? 2 | 12 ? ( 3 ) 2

=

1 1 3 . 则 弦长= .∴弦长为 3 . 2 2 2

答案:C 4.(2004 年湖北,4)圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案:B 5.(2004 年天津,理 7)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 2 2 解:由(x-1) +y =25 知圆心为 Q(1,0).据 kQP·kAB=-1, ∴kAB=-

1 k QP

=1(其中 kQP=

?1? 0 =-1). 2 ?1

∴AB 的方程为 y=(x-2)-1=x-3,即 x-y-3=0. 答案:A 6. 2002 年全国新课程) ( 平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 已知两点 A (3, 、 (-1, , 1) B 3) 若点 C 满足 OC =α OA + β OB ,其中α 、β ∈R,且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为 A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0

解析:设 C 点坐标为(x,y) ,则 OC =(x,y) OA =(3,1) OB =(-1,3) , , , 所以(x,y)=α · (3,1)+β · (-1,3)=(3α -β ,α +3β ). x=3α -β , 所以 y=α +3β , α = 变形得

3x ? y , 10
7

3y ? x 3x ? y 3 y ? x . 因为α +β =1,所以 + =1,即 x+2y-5=0.故选 D. 10 10 10 7.把直线 x-2y+λ =0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后,所得直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实 数λ 的值为 A.3 或 13 B.-3 或 13 C.3 或-13 D.-3 或-13 解析:直线 x-2y+λ =0 按 a=(-1,-2)平移后的直线为 x-2y+λ -3=0,与圆相切,易得λ =13 或 3. 答案:A 8.(2004 年春季北京)若直线 mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,则 m、n 满足的关系式为____________;以
β =

x2 y2 + =1 的公共点有____________个. 7 3 解析:将直线方程代入圆方程中“Δ <0”即可. 答案:0<m2+n2<3 2 9.(2001 年上海,理)已知两个圆:①x2+y2=1;②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.将 上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例. 推广命题为____________. 解析:设两圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2①和(x-c)2+(y-d)2=r2.② 由①-②得两圆的对称轴方程为 2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0. 所以推广命题为:已知两个圆:①(x-a)2+(y-b)2=r2;②(x-c)2+(y-d)2=r2. 则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程. 答案:已知两个圆:①(x-a)2+(y-b)2=r2;②(x-c)2+(y-d)2=r2.则由①式减去②式可得两圆的对称轴 方程.
(m,n)为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆

, 10.已知两圆 x ? y ? 10 和 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 20 相交于 A B 两点,则直线 AB 的方程是
2 2 2 2



答案: x ? 3 y ? 0 11.圆 x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(
2 2



( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
A.
2 2

1 2

( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
B.
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2 答案 C

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2

, 12. 圆心为 (11) 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是



( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

13.若 x,y 满足约束条件 (A) ( ?1 ,2 )

?x ? y ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ?

,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是 (C) (?4,0] (D) (?2, 4)
y I 4 I1 3 G1

(B) ( ?4 ,2 )

答案:B B1 解析:根据图像判断,当 a=0 时,显然成立;当 a>0 时,直线 ax+2y-z=0 的斜率 k=-a/2>kAC= -1,a<2;当 a<0 时,k=-a/2<kAB=2,a>-4,综合得 a 的取值范围是( ?4 ,2 )
-2 -1

F1

2 1

14 . 2008 全 国 2 , 11 ) 等 腰 三 角 形 两 腰 所 在 直 线 的 方 程 分 别 为 x ? y ? 2 ? 0 与 (
D1

0

1

2

3

4

G

x

R

8
S H1 C1

x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为(
A.3 B.2 C. ?



1 3

D. ?

1 2

15.(2010 福建,8)设不等式组

所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 3x-4y-9 对称。

对于 ?1 中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B,∣AB∣的最小值等于 A.

28 5

B. 4

C.

12 5

D. 2

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 16. (2010 浙江,7)若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? my ? 1 ? 0, ?
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

17. (2009 安徽 7)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? ?
?3 x ? y ? 4 ?

?x ? 0

4 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 3

(A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

? 2 x ? y ? 4, ? 18. (2009 宁夏海南 6)设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y=-x 的图象,当它的 平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故选.B

9

?x ? y ?1 ? 0 ? 19.(2009 福建 9)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2, ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

【解析】 如图可得黄色即为满足 x ? 1 ? 0与x ? y ? 1 ? 0的可行域,而ax ? y ? 1 ? 0 的 直线恒过(0,1) ,故看作直线绕点(0,1)旋转,当 a=-5 时,则可行域不是一个封闭区域, 当 a=1 时,面积是 1;a=2 时,面积是
2

3 ;当 a=3 时,面积恰好为 2,故选 D. 2
2

20.(2008 山东 11)已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0. 设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为 (A)10 6 (B)20 6 ( ) (D)40 6

(C)30 6

21.(2010 江苏 9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,
2 2

则实数 c 的取值范围是_________ 【解析】考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2,

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,

|c| 。 ? 1 , c 的取值范围是(-13,13) 13

22. (2009, 上海, 已知双曲线 C 的中心是原点, 22) 右焦点为 F 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 。 (1) 求双曲线 C 的方程;

?

3, , 0 一条渐近线 m: x+ 2 y ? 0 ,设过点 A (?3 2, 0)

?

v

(2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值; (3) 证明:当 k ?

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2
2 2

【解析】 (1)设双曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? ? (? ? 0)

x2 ? ? ? ? ,解 ? ? 2 双曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1 3 2 2
(2)直线 l : kx ? y ? 3 2k ? 0 ,直线 a : kx ? y ? 0 由题意,得

?

| 3 2k | 1? k 2

? 6 ,解得 k ? ?

2 2

(3) 【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y ? 0

10

则直线 l 与 b 的距离 d ? 直线 b 的右下方,? 到直线 l 的距离为 6

3 2|k| 1? k 2

,当k ?

2 d 时, ? 6 又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 ? 双曲线 C 的右支在 2

双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之

【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点 Q( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? | kx0 ? y0 ? 3 2k ? 6 (1) ? 则? 1? k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 ? 2
由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ,当 k ?
2

2 2 时, t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ? 0 ; 2
2k 2 ? 1 ?0

t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 6 ?

3k 2 ? 1 ? k 2
2 2

将 y0 ? kx0 ? t 代入(2)得 (1 ? 2k ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t ? 1) ? 0 ? k ?
2

2 ,t ? 0 , 2

?1 ? 2k 2 ? 0, ? 4kt ? 0, ? 2(t 2 ? 1) ? 0

? 方程 (*) 不存在正根,即假设不成立,

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6

圆的切线方程: (x-a)(x 0 -a)+(y-b)(y 0 -b)=r 2 椭圆的切线方程 (x·x 0 )/a 2 + (y·y 0)/b 2 =1. 双曲线的切线方程(x·x 0)/a 2 - (y·y 0)/b 2 =1. 抛物线切线方程 y·y 0 = p·(x+x 0 )

11

【高考实战演习】
一.选择题 1. (09·湖南重点中学联考)过定点 P ? 2,1? 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正向于 A、B 两点,若使△ABC(O 为 坐标原点)的面积最小,则 l 的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 3 y ? 5 ? 0 ( ) C. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 4 ? 0

2. (09·湖北重点中学联考)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 3.(09·陕西)过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为(
2 2




A. 3

B.2

C. 6

D.2 3
2 2

4.(09·宁夏海南)已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程 为 ( )
2 2

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1

B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2 2 2 2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

5.(09·重庆)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为





A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 6.(09·重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2



) D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2 2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

7 .( 08 · 湖 北 ) 过 点 A( 1 1 , 2 ) 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的 弦 , 其 中 弦 长 为 整 数 的 共 有 作 ( ) A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条
2 2

8. (08·北京)过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5) ? ( y ? 1) ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关于 y ? x 对称时, 它们之间的夹角为 A. 30
?

( C. 60
?



B. 45

?

D. 90

?

二.填空题 9. (07·上海)已知 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与 l2 : y ? 3x ? 1 ,若两直线平行,则 m 的值为____________.

10.(08· 天津)已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两 点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为____________. 11.(09·四川)若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的
2 2 2 2

切线互相垂直,则线段 AB 的长度是

w

.
12

12.(09·全国)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾斜 角可以是: ① 15
?

② 30

?

? ? ③ 45 ④ 60 ⑤ 75 其中正确答案的序号是
2 2 2

?

.(写出所有正确答案的序号)

13.(09·天津)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 ,则 a=___________ .
2

14. (09·辽宁)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 _____________. 三.解答题 15. (09·广西重点中学第一次联考)设直线 l 过点 A(2,4) ,它被平行线 x–y +1=0 与 x-y-l=0 所截得的线段 的中点在直线 x+2y-3=0 上,求直线 l 的方程.

16. (08·北京)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.
2 2

(Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 1)
?

17. (08· 江苏) 设平面直角坐标系 xoy 中, 设二次函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐标轴有三个交点,
2

经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 18.(08·海淀一模)如图,在平面直角坐标系中,N 为圆 A: ( x ? 1) ? y ? 16 上的一动点,点 B(1,0) ,点 M
2 2

是 BN 中点,点 P 在线段 AN 上,且 MP ? BN ? 0. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x ? y =4 的位置关系,并说明理由.
2 2

19. (08·年西城一模)在面积为 9 的 ?ABC 中, tan ?BAC ? ?

?BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系,如图所示.

4 ,且 CD ? 2 DB .现建立以 A 点为坐标原点,以 3

(Ⅰ)求 AB、AC 所在的直线方程; (Ⅱ)求以 AB、AC 所在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程; (Ⅲ)过 D 分别作 AB、AC 所在直线的垂线 DF、DE(E、F 为垂足) ,求 DE ? DF 的值. 20.(08·朝阳一模)已知点 A, B 分别是射线 l1 : y ? x ? x ? 0 ? , l2 : y ? ? x

???? ????

? x ? 0 ? 上的动点, O 为坐标原点,且 ?OAB
(Ⅱ)过点 N ? 0, 2 ? 作直线 l ,与曲

的面积为定值 2.

(Ⅰ)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程;

线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线 l1 , l2 分别交于点 R , S ,若点 P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点,求此时直线 l 的方 程.
13

参考答案
一.选择题 1. 【答案】D 【解析】由题设,可知 S?ABC ?

1 2 1 ab ,且 ? ? 1 , 2 a b

∴ ab ? a ? 2b ? 2 a ? 2b ? 2 2 ? ab ? ab ? 2 2 ? ab ? 8. 当且仅当 ?

?a ? 2b ?a ? 4 x y ?? 时, ab ? 8 .∴ l 的方程为: ? ? 1 ? x ? 2 y ? 4 ? 0. ∴应选D. 4 2 ?2b ? a ? ab ?b ? 2

2. 【答案】A 【解析】由(x-1)2+y2=25 知圆心为 Q(1,0).据 kQP·AB=-1, k ∴kAB=-

1 k QP

=1(其中 kQP=

?1? 0 =-1). 2 ?1

∴AB 的方程为 y=(x-2)-1=x-3, 即 x-y-3=0.∴ 应选 A. 3. 【答案】D 【解析】直线方程 y ?

3 x ,圆的方程为: x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4

?圆心 (0, 2) 到直线的距离 d ?
4.【答案】B

3?0 ? 2 ( 3) ? (?1)
2 2

? 1 ,由垂径定理知所求弦长为 d * ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,选 D.

? a ?1 b ?1 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ? 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? , ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
解得 ?

?a ? 2 ,对称圆的半径不变,为 1. ?b ? ? 2

5.【答案】B 【解析】圆心 (0,0) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

1 2 ? , 2 2

而0 ? 6.【答案】A

2 ? 1 ,选 B. 2

2 【解法】设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 .
2 2

7. 【答案】C 【解析】由已知得圆心为 P(-1,2),半径为 13,显然过 A 点的弦长中最长的是直径,此时只有一条,其长度为 26,
14

过 A 点的弦长中最短的是过 A 点且垂直于线段 PA 的弦, 也只有一条, 其长度为 10 PA 的长为 12, ( 弦长=2 13 ? 12 =10) ,
2 2

而其它的弦可以看成是绕 A 点不间断旋转而成的,并且除了最长与最短的外,均有两条件弦关于过 A 点的直径对称, 所以所求的弦共有 2(26-10-1)+2=32.故选 C. 8. 【答案】C 【解析】此圆的圆心为 C(5,1) ,半径

r ? 2 .设直线 l : y ? x 上的点 P 符合要求,连结 PC,则由题意知 PC ? l ,
又 PC ?

5 ?1 2

?2 2.
2 .在 Rt?PAC 中,

设 l 2 与⊙ C 切于点 A,连结 AC,则 AC ?

AC PC

?

1 ,∴ ?APC ? 30? , 2

∴l1 与 l2 的夹角为 60°. 故选 C. 二.填空题 9. 【答案】 ?

2 3 2 m 1 2 【解析】 ? ? ?m?? . 3 ?1 ?1 3
2 2

10.【答案】 x ? ( y ? 1) ? 18 . 【解析】圆 C 的圆心与 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? R . 设 AB
2 2 2

中点为 M,连结 CM、CA,在三角形 CMA 中

CM ?

3 ? 0 ? 4 ? (?1) ? 11 5
2 2

? 3,

又 | AM |? 3, ? R 2 ? CM ? MA ? 32 ? 32 ? 18,
故圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 18.
2 2

11.【答案】4 【解析】由题知 O1 (0,0), O2 ( m ,0) , 且 5 ?| m |? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 , 所以有 m ? ( 5 ) ? ( 2 5 ) ? 25 ? m ? ?5 ∴ AB ? 2 ?
2 2 2

5 ? 20 ? 4. 5

12.【答案】①或⑤ 【解析】两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的倾斜角为 45o ,
15

所以直线 m 的倾斜角等于 30o ? 450 ? 750 或 45o ? 300 ? 150 . 13.【答案】1
2 2 【解析】由知 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 的半径为 6 ? a ,
2

6 ? a 2 ? ( ? a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 解之得 a ? 1 .
14. 【答案】 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 三.解答题 15. 【答案】3x-y-2=0 【解析】由几何的基本的性质,被两平行线所截得的线段的中点一定在 y=x 上,将 x+2y-3=0 与 y=x 联立构成方程 组解得交点的坐标为(1,1)点,又由直线 l 过点 A(2,4)由两点式得直线 l 的方程为:3x-y-2=0. 16. 【解析】 (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方 程为 y ? x ? 1 .因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD .于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n . 由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ? y ? ?x ? n

得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 .
2 2

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,
2

解得 ?

4 3 4 3 ?n? . 3 3

(x 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) ,

3n 2 ? 4 3n 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 4 2
所以 y1 ? y2 ?

n . 2
? 3n n ? ,?. ? 4 4?

所以 AC 的中点坐标为 ?

由四边形 ABCD 为菱形可知, 点?

? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 , 即 x? y?2 ? 0.
16

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形, 且 ?ABC ? 60? , 所以 AB ? BC ? CA .

所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
2 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

?3n2 ? 16 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? ( ?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?
所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 17. 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;令 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? 0 ,
2

由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0. (Ⅱ)设所求圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2
2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 .
2

这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,
2

故 D=2,F= b . 令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为

x 2 ? y 2 ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程, 左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .
2 2

18. 【解析】由点 M 是 BN 中点, 又 MP ? BN ? 0 ,可知 PM 垂直平分 BN.所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4. 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
17

由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3.

x2 y2 动点 P 的轨迹方程为 ? ? 1. 4 3
(II)设点 P( x0 , y 0 ), PB 的中点为 Q,

则 Q(

x0 ? 1 y 0 , ), 2 2

2 | PB |? ( x0 ? 1) 2 ? y0 2 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 3 ?

3 2 x0 4

?

1 2 1 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 2 ? x0 . 4 2
x0 ? 1 y 0 1 , ) ,半径为 r1 ? 1 ? x0 , 2 2 4

即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q(
2 2

又圆 x ? y ? 4 的圆心为 O(0,0) ,半径 r2=2, 又 | OQ |?

(

x0 ? 1 2 y ) ? ( 0 )2 2 2

? ?

1 2 1 1 1 3 2 x0 ? x0 ? ? (3 ? x0 ) 4 2 4 4 4 1 2 1 1 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 . 16 2 4

故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.

19. 【解析】 (Ⅰ)设 ?CAx ? ? 则由 tan ?BAC ? tan 2?

2 tan ? 4 ?? . 2 1 ? tan ? 3 ? ? 为锐角,? tan? ? 2 , ?AC 所在的直线方程为 y=2x ?
2 2

AB 所在的直线方程为 y= -2x (Ⅱ)设所求双曲线为 4 x ? y ? ? , ?? ? 0? 设 C ?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? ?x1 ? 0, x2 ? 0? , 由 CD ? 2 DB 可 D?
2

? x1 ? 2 x 2 2 x1 ? 4 x 2 ? , ? 3 3 ? ?
2

? x ? x 2 ? ? 2 x1 ? 4 x 2 ? ? 4? 1 ? ?? ? ??, 3 ? 3 ? ? ?
18

32 4 x1 x 2 ? ? ,由 tan ?BAC ? ? , 9 3 4 可得 sin ?BAC ? ,又? AB ? 5x1 , AC ? 5x 2 , ?x1 x2 ? 0? 5


? S?ABC ?

1 AB AC sin ?BAC 2 1 4 ? ? 5 ? x1 x2 ? ? 2 x1 x2 ? 9. 2 5

即 x1 x 2 ?

9 ,代入(1)得 ? ? 16 , 2
x2 y2 ? ?1 4 16

∴双曲线方程为

(Ⅲ)由题设可知 ? DE , DF ?? ? ? ?BAC , ∴ cos ? DE , DF ? ? cos(? ? ?BAC ) ?

???? ????

3 , 5

x y 设点 D 为 ? x 0 , y 0 ? ,则 0 ? 0 ? 1 4 16
又点 D 到 AB,AC 所在直线距离

2

2

DF ?

2 x0 ? y 0 5 ?

, DE ?

2 x0 ? y 0 5

, DE ? DF ? DE ? DF ? cos ? DE, DF ?

???? ????

???? ????

=

2 x0 ? y 0 5

2 x0 ? y0 5

3 48 ? ? . 5 25

20.【解析】 (I)由题可设 A ? x1 , x1 ? ,

B ? x2 , ? x2 ? , M ? x, y ? ,其中 x1 ? 0, x2 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 则? ? y ? x1 ? x2 , ? ? 2

(1) (2)

∵ ?OAB 的面积为定值 2, ∴ S?OAB ?

1 1 OA ? OB ? 2 2

?

2 x1

??

2 x2

?

? x1 x2 ? 2. (1)2 ? (2)2 ,消去 x1 , x2 ,得 x 2 ? y 2 ? 2 .
由于 x1 ? 0, x2 ? 0 ,∴ x ? 0 ,所以点 M 的轨迹方程为 x ? y ? 2 ( x ? 0 ) .
2 2

(II)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 .
19

由?

? y ? kx ? 2, ? x ? y ? 2,
2 2

消去 y 得 1 ? k

?

2

?x

2

? 4kx ? 6 ? 0 ,

设点 P 、 Q 、 R 、 S 的横坐标分别是 xP 、 xQ 、 xR 、 xP ,∴由 xP , xQ ? 0 得

?1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 24 ?1 ? k ? ? 0, ? ? x ? x ? 4k ? 0, ? P Q 1? k 2 ? ?6 ? xP xQ ? ? 0, ? 1? k 2 ?
解之得: ? 3 ? k ? ?1 . ∴ xP ? xQ

?

? xP ? xQ ? ? 4 xP xQ ?
2

2 6 ? 2k 2 . k 2 ?1

由?

? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xR ? , 1? k ? y ? x, ? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xS ? , ?1 ? k ? y ? ? x,
∴ xR ? xS ?

由?

4 . k ?1
2

由于 P, Q 为 RS 的三等分点, ∴ xR ? xS ? 3 xP ? xQ . 解之得 k ? ?

5 . 3

经检验,此时 P, Q 恰为 RS 的三等分点,故所求直线方程为 y ? ?

5 x?2. 3

20


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