高一数学第三章(第10课时)等比数列的前n项和2


高中数学教案

第三章 数列(第 10 课时)

王新敞



题:3.5

等比数列的前 n 项和(二)

教学目的: 1.会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的

S n , a n , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题
2.提高分析、解决问题能力. 教学重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 教学难点:灵活使用公式解决问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比 通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: 2.等比数列的通项公式:

an =q(q≠0) a n ?1

a n ? a1 ? q n ?1 (a1 ? q ? 0) , a n ? a m ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3. a n }成等比数列 ? {

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ a n ≠0”是数列{ a n }成等比数列的必要非充分条件

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项 :G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 6.性质 :若 m+n=p+q, a m ? a n ? a p ? a q 7.判断等比数列的方法 :定义法,中项法,通项公式法
8. 等比数列的增减性: q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { a n }是递增数列; 当
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当 q>1, a1 <0,或 0<q<1, a1 >0 时, { a n }是递减数列;当 q=1 时, { a n }是常数 列;当 q<0 时, { a n }是摆动数列; 9.等比数列的前 n 项和公式: ∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, a n 时,用公式②. 10. S n 是等比数列 ?a n ?的前 n 项和, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 仍成等比数列 二、例题讲解 例 1 已知等差数列{ a n }的第二项为 8, 前十项的和为 185, 从数列{ a n }中, 依次取出第 2 项、第 4 项、第 8 项、??、第 2 n 项按原来的顺序排成一个新数 列{ bn },求数列{ bn }的通项公式和前项和公式 S n 解:∵ ?
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? a1 ? d ? 8 , 解得 a1 =5, d=3, ?10 a1 ? 45 d ? 185

∴ a n =3n+2, bn = a 2n =3× 2 n +2,

S n =(3×2+2)+ (3× 2 2 +2)+ (3× 2 3 +2)+??+(3× 2 n +2)
=3·

2(2 n ? 1) n +2n=7· 2 -6.(分组求和法) 2 ?1
2 3 n ?1

例 2 设数列 ?a n ?为 1,2 x,3x ,4 x ?? nx 解: (用错项相消法)

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和

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S n ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ? ?? ? nx n?1 xSn ? x ? 2 x 2 ? 3x 3 ? ?? ? ?n ? 1?x n?1 ? nxn
①?② ?1 ? x ?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n ?1 ? nx n , 当 x ? 1 时,

① ②

1? xn 1 ? x n ? nx n ? nx n ?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nx n ?1 n ?1 ? x ?S n ? ? nx ? ? 1? x 1? x 1? x
Sn ? 1 ? ?1 ? n ?x n ? nx n ?1

?1 ? x ?2

当 x ? 1时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ?

n?1 ? n ? 2

例 3 等比数列 ?a n ? 前 n 项和与积分别为 S 和 T, 数列 ?

?1? ' ? 的前 n 项和为 S , ? an ?

?S ? 求证: T ? ? ' ? ?S ?
2

n

证:当 q ? 1时, S ? na1 , T ? a1 , S ?
n

'

n , a1

?S ? ∴? ? ?S ? ? 1?

n

? ? ? ? ? na1 ? ? a 2 n ? T 2 , ? (成立) 1 ? n ? ? ? ? a1 ?

n

当 q ? 1时, ∵S ?
? n ?1?n a1 1 ? q n a 1 ? q ?n qn ?1 , T ? a1 q 2 ,S' ? 1 ? , 1? q 1 ? q ?1 a1 q n ?1 ?q ? 1?
1

?

?

?1

?

?

?S? 2 ∴ ? ' ? ? a1 q n?1 ?S ?

n

?

?

n

? n 1 n ?n?1? ? 2 (成立) ? ?a1 q 2 ? ?T , ? ?
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综上所述:命题成立

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例 4 设首项为正数的等比数列,它的前 n 项之和为 80,前 2n 项之和为 6560, 且前 n 项中数值最大的项为 54,求此数列
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? a1 1 ? q n ? 80 ?1? ? ? 1? q 解:由题意 ? ? 1 ? q n ? 82 ? q n ? 81 2n ? a1 1 ? q ? 6560 ?2 ? ? 1? q ?

?

?

?

?

代入(1) a1 1 ? q n ? 80?1 ? q ? ,得: a1 ? q ? 1 ? 0 ,从而 q ? 1 , , ∴ ?a n ? 递增,∴前 n 项中数值最大的项应为第 n 项
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?

?

∴ a1 q n ?1 ? ?q ? 1?q n ?1 ? q n ? q n ?1 ? 81 ? q n ?1 ? 54, ∴q
n ?1

qn ? 81 ? 54 ? 27 , q ? n ?1 ? 3 , q

∴ a1 ? q ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 , ∴此数列为 2,6,18,54,162 ??

1 1 1 2 n 例 5 求和: (x+ ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) (其中 x≠0,x≠1,y≠1) y y y
分析:上面各个括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后 一项分别组成等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的 和. 解:当 x≠0,x≠1,y≠1 时, (x+

1 1 1 ) ? (x 2 ? 2 ) ? ? ? (x n ? n ) y y y

1 1 1 ? (x ? x 2 ? ? ? x n ) ? ( ? 2 ? ? ? n ) y y y

1 1 (1 ? n ) x ? x n ?1 y n ?1 x(1 ? x ) y y ? ? n?1 ? ? 1 1? x 1? x y ? yn 1? y
n

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三、练习: 设数列 ?a n ? 前 n 项之和为 S n ,若 S1 ? 1, S 2 ? 2 且

S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0?n ? 2? ,问:数列 ?a n ? 成等比数列吗?
解:∵ S n ?1 ? 3S n ? 2S n ?1 ? 0 , ∴ ?S n ?1 ? S n ? ? 2?S n ? S n ?1 ? ? 0 ,即 a n ?1 ? 2a n ? 0 即:

a n ?1 ? 2 ?n ? 2? ,∴ ?a n ? 成等比数列 ?n ? 2? an
a2 ? 2, a1

又: a1 ? S1 ? 1, a 2 ? S 2 ? S1 ? 1,

∴ ?a n ? 不成等比数列,但当 ?n ? 2? 时成 ?n ? 2? , 即: a n ? ? 四、小结

? 1 ?n ? 1? n ?1 ?n ? 2? ?2

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本节课学习了以下内容:熟练求和公式的应用

五、课后作业: 1、三数成等比数列,若将第三数减去 32,则成等差数列,若将该等差数 列中项减去 4,以成等比数列,求原三数 (2,10,50 或 ,
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2 26 38 , ) 9 9 9

2、 一个等比数列前 n 项的和为 S n ? 48, 前 2n 项之和 S 2 n ? 60 , S 3n 求 (63) 3、在等比数列中,已知: a3 ? 4, S 6 ? 36 ,求 a n 六、板书设计(略) 七、课后记:

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?1 n ?1 ? ? ?2 ? ?7 ?

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