3.1.1 空间向量及其线性运算


空间向量及其线性运算

复习回顾:平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义: 几何表示法:用有向线段表示

字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b
a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

?a ?a
向量的数乘

(? >0) (?<0)

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
a?b ? b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律:

? (a ? b) ? ? a+? b

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An

A1
A2

An?1

An

A3

A4

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0

F2

F1=10N
F2=15N

F3
F1

F3=15N

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘: ? a,? 为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

空间向量
具有大小和方向的量

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

思考:空间任意两个向量是否可能都移到同一个平面中?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a

CA ? OA ? OC

?a
?a

? ( >0)
(?<0)

空间向量的加减法 空间向量的数乘

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:? a, ?为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:? a, ?为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

?(a ? b) ? ? a+?b

加法结合律:

(a + b) + c =a + (b + c);

a b c

a b
c

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:? a,? 为正数,负数,零 数乘:? a,? 为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

?(a ? b) ? ? a+?b

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An

A1
A2

An?1

An

A3

A4

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
A D B C A1 D1 B1 C1

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1

M

解:) AB ? BC AC; (1 =

(2) AB ? AD ? AA ? AC ? AA ? AC ? CC1 ? AC1 1 1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

共线向量(平行向量)
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量 或平行向量。
我们规定,零向量与任意向量共线。

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
D1 A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

例3 M,N分别是四面体ABCD的棱AB,CD的中点, 求证: 1

MN ?

2

( AD ? BC )

A

证明:显然

MN ? MA ? AD ? DN

① ②

M D

MN ? MB ? BC ? CN
由已知得

N
B C



+② ∴

MA ? ?MB,

DN ? ?CN

2MN ? AD ? BC
MN ? 1 ( AD ? BC ) 2

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

B

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:? a,? 为正数,负数,零 数乘:? a,? 为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

?(a ? b) ? ? a+?b

作业

思考题:考虑空间三个向量共面的充要条件.


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