2016-2017学年重庆八中高三(上)二调数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年重庆八中高三(上)二调数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x2≤7},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 对应的点位于( C.第三象限 ,且 ) D.第四象限 ,则 =( ) )

2.在复平面内,复数 A.第一象限 B.第二象限

3.设 x∈R,向量 A. B. C.10 D.

4.高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的 精力增多,因此不满意度升高,当教室在第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高, 环境不满意度降低,设教室在第 n 层楼时,环境不满意度为 ,则同学们认为最 适宜的教室应在( )

A.2 楼 B.3 楼 C.4 楼 D.8 楼 5.函数 A. B. 的值域为( ) D.[﹣1,1]

C.[﹣2,2]

6.如图所示的程序框图,若 f(x)=logax,g(x)=lnx,输入 x=2016,则输出的 h(x)=( )

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A.2016

B.2017

C.loga2016 D.loga2017 ,且 bcosC=3ccosB,

7.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,A= 则 的值为( A. B. ) C. D.

8.函数 f(x)的导函数 f′(x) ,对? x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立,若 f(2) =e2,则不等式 f(x)>ex 的解是( )

A. (2,+∞) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (0,ln2) 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.50 B.50.5 C.51.5 D.60 10. 用半径为 R 的圆铁皮剪一个内接矩形, 再以内接矩形的两边分别作为圆柱的 高与底面半径,则圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为 ( A. ) B. C. D.
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11.设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直

线 l 交两渐近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标 原点,若 A. =λ B. +μ (λ,μ∈R) ,λμ= C.3 D.2 ,则该双曲线的离心率为( )

12.对于函数 f(x)=

,设 f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…,fn+1

(x)=f[fn(x)](n∈N*,且 n≥2) ,令集合 M={x|f2036(x)=x,x∈R},则集 合 M 为( A.空集 ) B.实数集 C.单元素集 D.二元素集

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若 x,y∈R,且满足 则 z=2x+3y 的最大值等于 .

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=5 上有且仅有三个点到直线 12x﹣ 5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的值是 .

15. 已知数列{an}为等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 设 Tn=S1+S2+…+Sn, 若 a2?a3=2a1, 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 T4= 16.若 α,β∈[﹣ , .

],且 αsinα﹣βsinβ>0,则下列关系式:①α>β;②α

<β;③α+β>0;④α2>β2;⑤α2≤β2 其中正确的序号是: .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (12 分)已知数列{an}中,a1=4,an=an﹣1+2n﹣1+3(n≥2,n∈N*) . (1)证明数列{an﹣2n}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求 bn 的前 n 和 Sn.

18. (12 分) 如图所示的三棱台中, AA1⊥平面 ABC, AB⊥BC, AA1=1, AB=2, BC=4,
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∠ABB1=45°. (1)证明:AB1⊥平面 BCC1B1; (2)若点 D 为 CC1 中点,求二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值.

19. (12 分)如图所示,小波从 A 街区开始向右走,在每个十字路口都会遇到红 绿灯,要是遇到绿灯则小波继续往前走,遇到红灯就往回走,假设任意两个十字 路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的,且绿灯亮的概率都是 ,红灯亮的概率 都是 .

(1)求小波遇到 4 次红绿灯后,处于 D 街区的概率; (2)若小波一共遇到了 3 次红绿灯,设此时小波所处的街区与 A 街区相距的街 道数为 ξ(如小波若处在 A 街区则相距零个街道,处在 D,E 街区都是相距 2 个 街道) ,求 ξ 的分布列和数学期望. 20. (12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,m) ,B 为抛物线的准线 与 x 轴的交点,若|AB|=2 (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上任取一点 P(x0,y0) ,过点 P 作两条直线分别与抛物线另外相 交于点 M 和点 N,连接 MN,若直线 PM,PN,MN 的斜率都存在且不为零,设 其斜率分别为 k1,k2,k3,求证: 21. (12 分)已知函数 f(x)=(x2﹣ax﹣a)ex. (1)讨论 f(x)的单调性; (2) 若 a∈ (0, 2) , 对于任意 x1, x2∈[﹣4, 0], 都有
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恒成立,求 m 的取值范围.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分)已知曲线 C 的参数方程: (1, )对应的参数 α= (α 为参数) ,曲线 C 上的点 M

,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建 , ) ,直线 l 过点 P,且与曲线 C 交于不同

立极坐标系,点 P 的极坐标是(

的两点 A、B. (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求|PA|?|PB|的取值范围.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.设 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (1)求 a; (2)已知 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=3a,求 p2+q2+r2 的最小值.

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2016-2017 学年重庆八中高三 (上) 二调数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (2017?清城区校级一模)设集合 A={x|x2≤7},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中 元素的个数是( A.3 B.4 ) D.6

C.5

【分析】先求出集合 A,从而求出集合 A∩Z,由此能求出集合 A∩Z 中元素的个 数. 【解答】解:∵集合 A={x|x2≤7}={x|﹣ ∴集合 A∩Z={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴集合 A∩Z 中元素的个数是 5 个. 故选:C. 【点评】本题考查交集中元素个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 交集性质的合理运用. },Z 为整数集,

2. (2017?清城区校级一模)在复平面内,复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

对应的点位于( D.第四象限



【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 复数 对应的点的坐标,则答案可求. = 对应的点的坐标为: ( = ,

,求出在复平面内,

【解答】解: 在复平面内,复数 故选:B.

, ) ,位于第二象限.

【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几 何意义,是基础题.
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3. (2017?清城区校级一模)设 x∈R,向量 则 A. =( B. ) C.10 D.

,且



【分析】向量的数量积先求出 x 的值,再求出向量的模即可. 【解答】解:向量 ∴x﹣2=0, 解得 x=2, ∴ = = , ,且 ,

故选:A. 【点评】本题考查了向量的垂直和向量的数量积和向量的模,属于基础题.

4. (2017?清城区校级一模)高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼 层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第 n 层楼时, 上下楼造成的不满意度为 n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因 此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第 n 层楼时,环境不满意 度为 ,则同学们认为最适宜的教室应在( A.2 楼 B.3 楼 C.4 楼 D.8 楼 【分析】 同学们总的不满意度 y=n+ , 由此利用基本不等式能求出同学们认为最 适宜的教室应在 3 楼. 【解答】解:由题意知同学们总的不满意度 y=n+ ≥2 当且仅当 n= ,即 2 ≈3 时,不满意度最小, =4 , )

∴同学们认为最适宜的教室应在 3 楼. 故选:B. 【点评】 本题考查函数在生产生活中的实际应用, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意基本不等式性质的合理运用.

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5. (2017?清城区校级一模)函数 A. B. C.[﹣2,2]

的值域为( D.[﹣1,1]



【分析】 通过两角差的余弦函数化简函数的表达式,利用两角差的正弦函数化为 一个角的一个三角函数的形式,求出函数的值域. 【解答】解:∵f(x)=sinx﹣cos(x﹣ =sinx﹣ = sinx﹣ =sin(x﹣ cosx﹣ sinx cosx ) . )的值域为[﹣1,1]. )

∴函数 f(x)=sinx﹣cos(x﹣ 故选:D.

【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域,考查 计算能力, 利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式是关键,属 于基础题.

6. (2016 秋?沙坪坝区校级月考)如图所示的程序框图,若 f(x)=logax,g(x) =lnx,输入 x=2016,则输出的 h(x)=( )

A.2016

B.2017

C.loga2016 D.loga2017

【分析】根据程序框图求出 h(x)的解析式即可.
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【解答】解:x=2016 时,f(x)=loga2016<g(x)=ln2016, 故 h(x)=f(x) , 故选:C. 【点评】本题考查了程序框图,考查对数函数的性质,是一道基础题.

7. (2017?清城区校级一模) 在△ABC 中, A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, A= 且 bcosC=3ccosB,则 的值为( A. B. C. D. )



【分析】利用余弦定理将角化边整理得出 a,b,c 的关系,再使用余弦定理消去 a,得到关于 b,c 的方程,即可解出 的值. 【解答】解:△ABC 中,A= ∴b× 即 a2=2b2﹣2c2; 又 cosA= =﹣ , =3c× ,且 bcosC=3ccosB, ,

∴b2+c2﹣a2+bc=0, ∴3c2﹣b2+bc=0, 即﹣( )2+ +3=0, 解得 = 即 的值为 故选:B. 【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换以及余弦定理和一元二次方程的解法问 题,属于中档题. 或 . (不合题意,舍去) ,

8. (2017?清城区校级一模)函数 f(x)的导函数 f′(x) ,对? x∈R,都有 f′(x) >f(x)成立,若 f(2)=e2,则不等式 f(x)>ex 的解是( A. (2,+∞) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (0,ln2)
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【分析】 构造函数 g (x) =

, 利用导数可判断 g (x) 的单调性, 再根据 f (ln2)

=2,求得 g(ln2)=1,继而求出答案 【解答】解:∵? x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立, ∴f′(x)﹣f(x)>0,于是有( 令 g(x)= )′>0,

,则有 g(x)在 R 上单调递增,

∵不等式 f(x)>ex, ∴g(x)>1, ∵f(2)=e2, ∴g(2)= ∴x>2, 故选:A. 【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属中档题,解决本 题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性. =1,

9. (2017?清城区校级一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为( )

A.50 B.50.5 C.51.5 D.60 【分析】 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及 相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图: 三棱柱的高为 5,消去的三棱锥的高为 3,
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三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形, ∵AB⊥平面 BEFC, ∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5 ∴几何体的表面积 S= ×3×4+ ×3×5+ (5+2)×4+ (5+2)×5+3×5=60. 故选:D.

【点评】 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状 及数据所对应的几何量是解题的关键.

10. (2017?玉林一模)用半径为 R 的圆铁皮剪一个内接矩形,再以内接矩形的两 边分别作为圆柱的高与底面半径,则圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接 矩形的面积比为( A. B. ) C. D.

【分析】设圆柱的高为 x,则其为内接矩形的一边长,那么另一边长为 y=2 ,利用导数性质求出当 x= 时,此圆柱体积最大.由此能求

出圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比. 【解答】解:设圆柱的高为 x ,则其为内接矩形的一边长,那么另一边长为 y=2 , =π(﹣x3+4R2x) , (0<x<2R) ,

∴圆柱的体积 V(X)=πy2x= ∴V′(x)=π(﹣3x2+4R2) , 列表如下: x (0, )



,2R)

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V′(x) ∴当 x=

+ 时,此圆柱体积最大.

0



∴圆柱体体积最大时,该圆内接矩形的两条边长分别为 2 = ,



∴圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为: = 故选:C. 【点评】 本题考查圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比的求 法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理应用. .

11. (2017?清城区校级一模)设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点 F,

过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限 的交点为 P,设 O 为坐标原点,若 线的离心率为( A. B. ) C.3 D.2 =λ +μ (λ,μ∈R) ,λμ= ,则该双曲

【分析】由方程可得渐近线,可得 A,B,P 的坐标,由已知向量式可得 λ+μ=1, λ﹣μ= ,解之可得 λμ 的值,由 λμ= 得. 【解答】解:双曲线的渐近线为:y=± x,设焦点 F(c,0) ,则 A(c, 因为 =λ ) ,B(c,﹣ +μ , ) , ) ,P(c, ) , ,可得 a,c 的关系,由离心率的定义可

所以(c,

)=( (λ+μ)c, (λ﹣μ)

所以 λ+μ=1,λ﹣μ= ,

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解得:λ= 又由 λμ=

,μ= ,得:

, ,

解得

= ,

所以,e=2. 故选:D 【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,属中档题.

12. (2017?清城区校级一模)对于函数 f(x)=

,设 f2(x)=f[f(x)],f3

(x)=f[f2(x)],…,fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*,且 n≥2) ,令集合 M={x|f2036 (x)=x,x∈R},则集合 M 为( A.空集 B.实数集 C.单元素集 ) D.二元素集

【分析】根据条件可分别求出 f2(x) ,f3(x) ,f4(x) ,f5(x) ,f6(x) ,f7(x) , 会得出 fn(x)是以 4 为周期,这样即可解出方程 f2036(x)=x,便可得到集合 M 所含元素的情况,从而找出正确选项. 【解答】解:∵f(x)= f3(x)= =1﹣ ,∴f2(x)=1﹣ , =﹣ ,

,f4(x)=x,f5(x)=f(x)=

∴fn(x)是以 4 为周期,∴f2036(x)=f4(x)=x, ∴集合 M={x|f2036(x)=x,x∈R}=R. 故选:B. 【点评】本题考查函数的性质及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意函数 的周期性的合理运用.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (2017?清新区校级一模)若 x,y∈R,且满足 值等于 15 .
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则 z=2x+3y 的最大

【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得 到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 联立 ,解得 B(3,3) ,

化目标函数 z=2x+3y 为 y=﹣ x+ , 由图可知, 当直线过 B 时, 直线在 y 轴上的截距最大, z 有最大值为 2×3+3×3=15. 故答案为:15.

【点评】 本题考查简单的线性规划, 考查了数形结合的解题思想方法, 是中档题.

14. (2017?清新区校级一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=5 上有且 仅有三个点到直线 12x﹣5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的值是 .

【分析】由题意画出图形,把圆 x2+y2=5 上有且仅有三个点到直线 12x﹣5y+c=0 的距离为 1 转化为原点到直线 12x﹣5y+c=0 的距离为 离公式得答案. 【解答】解:如图, ,再由点到直线的距

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由题意可知,原点到直线 12x﹣5y+c=0 的距离为 由点到直线的距离公式可得: ∴c= 故答案为: . . ,



【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,是基础 的计算题.

15. (2017?清新区校级一模)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,设 Tn=S1+S2+…+Sn,若 a2?a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 T4= 98 .

【 分 析 】 根 据 题 意 , 设 数 列 {an} 的 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 结 合 题 意 可 得

,解可得首项与公比的值,进而可得 Sn= T4=S1+S2+S3+S4,计算可得答案. 【解答】解:根据题意,设数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 若 a2?a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,

;又由

则有



解可得 a1=16,q= ; 则 T1=S1=a1=16,

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则 Sn=



则 T4=S1+S2+S3+S4=16+ 故答案为:98.

+

+

=98;

【点评】本题考查等比数列的前 n 项和,关键是求出等比数列的首项与公比.

16. (2017?清新区校级一模)若 α,β∈[﹣



],且 αsinα﹣βsinβ>0,则

下列关系式:①α>β;②α<β;③α+β>0;④α2>β2;⑤α2≤β2 其中正确的序号是: ④ . , ],利用奇偶函数的定义可判断 ],与 x∈[﹣

【分析】构造函数 f(x)=xsinx,x∈[﹣

其奇偶性,利用 f′(x)=sinx+xcosx 可判断 f(x)=xsinx,x∈[0, ,0]上的单调性,从而可选出正确答案. 【解答】解:令 f(x)=xsinx,x∈[﹣ , ],

∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=x?sinx=f(x) , ∴f(x)=xsinx,x∈[﹣ 又 f′(x)=sinx+xcosx, ∴当 x∈[0, ],f′(x)>0,即 f(x)=xsinx 在 x∈[0, ,0]单调递减; ]单调递增; , ]为偶函数.

同理可证偶函数 f(x)=xsinx 在 x∈[﹣ ∴当 0≤|β|<|α|≤ ∴α2>β2. 故答案为④.

时,f(α)>f(β) ,即 αsinα﹣βsinβ>0,反之也成立,

【点评】 本题考查正弦函数的单调性, 难点在于构造函数 ( f x) =xsinx, x∈[﹣ ],通过研究函数 f(x)=xsinx,的奇偶性与单调性解决问题,属于难题.



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三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (12 分) (2016 秋?五华区月考)已知数列{an}中,a1=4,an=an﹣1+2n﹣1+3(n ≥2,n∈N*) . (1)证明数列{an﹣2n}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求 bn 的前 n 和 Sn. 是以 2 为首项,3 为公差的等差数

【分析】 (1)利用已知条件转化推出 列,然后求解通项公式. (2)化简 bn=

,然后利用错位相减法求和求解即可. ,

【解答】解: (1)证明:当 n≥2 时, ∴ 又 a1=4,∴a1﹣2=2, 故 ∴ ∴ (2) ∴ 令 则 ①﹣②得: ,① ,② , . , = , 是以 2 为首项,3 为公差的等差数列, , ,

=

=



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【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查转化思想以及计算 能力.

18. (12 分) (2016 秋?五华区月考)如图所示的三棱台中,AA1⊥平面 ABC,AB ⊥BC,AA1=1,AB=2,BC=4,∠ABB1=45°. (1)证明:AB1⊥平面 BCC1B1; (2)若点 D 为 CC1 中点,求二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值.

【分析】 (1)过点 B1 作 B1N⊥AB.说明△BNB1 为等腰直角三角形,证明 AB1⊥ BB1.AA1⊥BC.AB⊥BC,推出 BC⊥平面 ABB1A1,得到 BC⊥AB1,然后证明 AB1 ⊥平面 BCC1B1. (2)建立空间直角坐标系 A﹣xyz.如图,求出平面 ABD 的一个法向量.平面 BCC1B1 的一个法向量,利用空间向量的数量积求解即可. 【解答】 (1)证明:如图,过点 B1 作 B1N⊥AB. ∵∠B1BN=45°, 故△BNB1 为等腰直角三角形, ∴B1N=BN=1, ∴ ,∴ ,

∴AB1⊥BB1. 又∵AA1⊥平面 ABC,∴AA1⊥BC. 又 AB⊥BC,且 AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面 ABB1A1,∴BC⊥AB1, 又∵BC∩BB1=B,
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∴AB1⊥平面 BCC1B1. (2)解:如图,建立空间直角坐标系 A﹣xyz. ∴A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,B1(1,0,1) ,C1(1,2,1) , ∴ ∴ , , . . ,

由(1)知,平面 BCC1B1 的一个法向量为 设平面 ABD 的一个法向量为 则 令 即 y=1 , 则 ∴ . 故二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值为 .



【点评】本题考查直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定定理的应用,二面角 的平面镜的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
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19. (12 分) (2016 秋?五华区月考)如图所示,小波从 A 街区开始向右走,在 每个十字路口都会遇到红绿灯, 要是遇到绿灯则小波继续往前走,遇到红灯就往 回走, 假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的,且绿灯亮的概 率都是 ,红灯亮的概率都是 .

(1)求小波遇到 4 次红绿灯后,处于 D 街区的概率; (2)若小波一共遇到了 3 次红绿灯,设此时小波所处的街区与 A 街区相距的街 道数为 ξ(如小波若处在 A 街区则相距零个街道,处在 D,E 街区都是相距 2 个 街道) ,求 ξ 的分布列和数学期望. 【分析】 (1)设小波遇到 4 次绿灯之后处于 D 街区为事件 A,则事件 A 共有三个 基本事件,由此能求出小波遇到 4 次绿灯后,处于 D 街区的概率. (2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 分布列 和数学期望. 【解答】解: (1)设小波遇到 4 次红绿灯之后处于 D 街区为事件 A, 则事件 A 共有三个基本事件, 即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿,绿红红绿,绿绿红红}. 故 .

(2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3, , , , . 故分布列为: ξ P ∴ .
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0

1

2

3

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法, 是中档题,在历年高考中都是必考题型之一.

20. (12 分) (2016 秋?五华区月考)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1, m) ,B 为抛物线的准线与 x 轴的交点,若|AB|=2 (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上任取一点 P(x0,y0) ,过点 P 作两条直线分别与抛物线另外相 交于点 M 和点 N,连接 MN,若直线 PM,PN,MN 的斜率都存在且不为零,设 其斜率分别为 k1,k2,k3,求证: 【分析】 (1)求出 A 的坐标,利用|AB|=2 . ,求出 p,即可求抛物线的方程; .

(2)求出 M,N 的坐标,确定相应的斜率,即可证明结论. 【解答】 (1)解: ∵ , ,

,代入解得:p=2 或 p=﹣14(舍去) ,

所以抛物线的方程为 y2=4x. (2)证明:设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 因为点 P(x0,y0)在抛物线 y2=4x 上,所以 ,

故直线 PM 的方程为









此方程的两个根分别为 y=y0,y=y1, ∴ , ,

, ,

同理可得



,化简得

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【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学 生的计算能力,属于中档题.

21. (12 分) (2016 秋?甘井子区校级期末)已知函数 f(x)=(x2﹣ax﹣a)ex. (1)讨论 f(x)的单调性; (2) 若 a∈ (0, 2) , 对于任意 x1, x2∈[﹣4, 0], 都有 恒成立,求 m 的取值范围. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)根据函数的单调性求出 f(x)的最大值,问题转化为 m> 成立,令 g(x)= (e﹣2+1)恒

,x∈(0,2) ,根据函数的单调性求出 m 的范围即可.

【解答】解: (1)f′(x)=(x+2) (x﹣a)ex, ①若 a<﹣2,则 f(x)在(﹣∞,a) , (﹣2,+∞)上单调递增,在(a,﹣2) 单调递减; ②若 a=﹣2,则 f(x)在 R 上单调递增; ③若 a>﹣2,则 f(x)在(﹣∞,﹣2) , (a,+∞)上单调递增,在(﹣2,a) 单调递减; (2)由(1)知,当 a∈(0,2)时,f(x)在(﹣4,﹣2)上单调递增,在(﹣ 2,0)单调递减, 所以 f(x)max=f(﹣2)=(a+4)e﹣2,f(﹣4)=(3a+16)e﹣4>﹣a=f(0) , 故|f(x1)﹣f(x2)|max=|f(﹣2)﹣f(0)|=a(e﹣2+1)+4e﹣2, |f(x1)﹣f(x2)|<4e﹣2+mea 恒成立,即 a(e﹣2+1)+4e﹣2<4e﹣2+mea 恒成立, 即 m> (e﹣2+1)恒成立,
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令 g(x)= 所以 m>

,x∈(0,2) ,易知 g(x)在其定义域上有最大值 g(1)= , .

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思 想,是一道中档题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分) (2016 秋?五华区月考)已知曲线 C 的参数方程: 参数) ,曲线 C 上的点 M(1, )对应的参数 α= (α 为

,以坐标原点 O 为极点, , ) ,直线 l 过点

以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点 P 的极坐标是(

P,且与曲线 C 交于不同的两点 A、B. (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求|PA|?|PB|的取值范围.

【分析】 (I)由椭圆参数方程可得

,解得 a,b.可得曲线 C 的参数

方程,化为直角坐标方程,再利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可化为极坐标方程. (II)写出直线 l 的参数方程,代入曲线 C 的方程,利用根与系数的关系可得: |PA|?|PB|=﹣t1t2,进而得出. 【解答】解: (I)由椭圆参数方程可得 ,解得 a= ,b=1.∴曲线

C 的参数方程为 ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2. (II)点 P 的极坐标是( 为 ,

,其直角坐标方程为:

,可得

)化为直角坐标为(0,

) ,直线 l 的参数方程 sinθt+2=0,

,代入曲线 C 的方程可得: (1+sin2θ)t2+4 ∈[1,2]

∴|PA|?|PB|=﹣t1t2=

【点评】 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标
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方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (2016 秋?五华区月考)设 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (1)求 a; (2)已知 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=3a,求 p2+q2+r2 的最小值. 【分析】 (1)分类讨论,求出函数的最小值,即可求 a; (2)由柯西不等式: (a2+b2+c2) (d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2,即可求 p2+q2+r2 的最小值. 【解答】解: (1)x≤﹣2 时,f(x)=﹣ x﹣1≥2; ﹣2<x<0 时,f(x)=﹣ x+1∈(1,2) ; x≥0 时,f(x)= x+1≥1 ∴f(x)的最小值为 1,即 a=1; (2)由(1)知,p+q+r=3,又 p,q,r 为正实数, ∴由柯西不等式得, (p2+q2+r2) (12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2 =(p+q+r)2=32=9, 即 p2+q2+r2≥3,∴p2+q2+r2 的最小值为 3. 【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能 力,考查化归与转化思想.

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