高中数学圆锥曲线专项训练材料(名校经典题型)


高中数学圆锥曲线专项训练材料 (名校经典)
1、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P(1,0) ,且与定直线 L:x=-1相切,点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程;

2、(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线 xy=1 上任取不同三点 A、 B、C,证明:⊿ABC 的垂心 H 也在该双曲线上; (2)若正三角形 ABC 的一个顶点为 C(―1,―1),另两个顶点 A、B 在双曲 线 xy=1 另一支上,求顶点 A、B 的坐标。

(2)设过点P, 且斜率为? 3 的直线与曲线 M相交于A, B两点.
(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由 (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围.

3、 (江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量 v=(1, l 过点(0,

1 )为方向向量的直线 2

5 ),抛物线 C: y 2 ? 2 px (p>0)的顶点关于直线 l 的对称点在该抛 4

物线上. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交于点 N,若 OA ? OB ? p 2 ? 0 (O 为原点,A、B 异于原点), 试求点 N 的轨迹方程.

4、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 y=

1 2 x 的焦点, 离心率等于 2 5 . 4 5

5、(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)已知点 R(- 3,0 ) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上 , 且满足
??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? 2PM ? 3MQ ? 0 , RP ? PM ? 0 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 MA =λ1 AF , MB =λ2 BF ,求证 λ1+λ2 为定值.

(Ⅰ)⑴当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 为轨迹 C 上两点, 且 x1 ? 1, y1 ? 0 , N(1,0), 求实数 ? ,使 AB ? ? AN ,且 ? AB ??
??? ? ????

16 . 3

6、 (安徽省皖南八校高三第一次联考)已知线段 AB 过 y 轴上一点 P(0, m) , 斜 率为 k ,两端点 A,B 到 y 轴距离之差为 4 k (k ? 0) , (1)求以 O 为顶点, y 轴为对称轴,且过 A,B 两点的抛物线方程; (2)设 Q 为抛物线准线上任意一点,过 Q 作抛物线的两条切线,切点分 别为 M,N,求证:直线 MN 过一定点;

7、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设

F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一 5 4

个动点,求 PF (Ⅱ)是否存在过点 A(5,0)的 1 ? PF 2 的最大值和最小值; 直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由.

8 、 ( 江 西 省 五 校

2008

届 高 三 开 学 联 考 ) 已 知 圆

9、(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知椭圆 W 的中心在原点,焦 点在 x 轴上,离心率为

M : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 36, 定点N ( 5,0),点P为圆M 上的动点,点 Q 在
NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2NQ, GQ ? NP ? 0 . (I)求点 G 的轨迹 C 的方程; (II)过点(2,0)作直线 l ,与曲线 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点, 设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角 线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在, 试说明理由.

6 ,两条准线间的距离为 6. 椭圆 W 的左焦点为 F , 3

过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W 交于不同 的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为 C . (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)求证: CF ? ? FB ( ? ? R ); (Ⅲ)求 ?MBC 面积 S 的最大值.

??? ?

??? ?

10、 (北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)已知抛物线 C : y ? ax2 , 点P (1, -1)在抛物线 C 上,过点 P 作斜率为 k1、k2 的两条直线,分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且满足 k1+k2=0. (I)求抛物线 C 的焦点坐标; (II)若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程.

11、 (北京市东城区 2008 年高三综合练习一) 已知定圆 A : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16, 圆心为 A,动圆 M 过点 B(1,0)且和圆 A 相切,动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (I)求曲线 C 的方程; (II) 若点 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上一点, 求证: 直线 l : 3x0 x ? 4 y0 y ? 12 ? 0 与曲线 C 有且只有一个交点.

.

12 、 ( 北 京 市 东 城 区 2008 年 高 三 综 合 练 习 二 ) 已 知 双 曲 线

13、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动 点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)经过点 (0, 点 P 和 Q, 求 k 的取值范围; 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,两条准线的 a2 b2
距离为 l. (1)求双曲线的方程; (2)直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N,点 P 为双曲线上 异于 M、N 的一点,且直线 PM,PN 的斜率均存在,求 kPM·kPN 的 值.

(Ⅲ)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常 ??? ? ???? ???? ? 数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存 在,请说明理由.

14 、 ( 北 京 市 海 淀 区 2008 年 高 三 统 一 练 习 一 ) 已 知 点 A, B 分 别 是 射 线

15、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图,椭圆的中心在原点,其 左焦点 F1 与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两 点,与抛物线交于 C、D 两点.当直线 l 与 x 轴垂直时, (Ⅰ)求椭圆的方程; (II)求过点 O、 F1 ,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;

l1 : y ? x ? x ≥ 0? , l2 : y ? ? x ? x ≥ 0? 上的动点, O 为坐标原点,且
?OAB 的面积为定值 2.
(I)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 N ? 0,2? 作直线 l ,与曲线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线

CD AB

?2 2.

l1 , l2 分别交于点 R, S ,若点 P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点,求此时直
线 l 的方程.

(Ⅲ)求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值.

???? ? ???? ?

16、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)已知定点 C (?1 , 0) 及椭圆

17 、 ( 北 京 市西 城区 2008 年 5 月高 三 抽样 测 试 ) 已 知 抛物 线 的方 程 为
x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? ,过点 P ? 0, p ? 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,分别过点

x 2 ? 3 y 2 ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点.
1 (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ? ,求直线 AB 的方程; 2
(Ⅱ) 在 x 轴上是否存在点 M , 使 MA ? MB 为常数?若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. A、B 作抛物线的两条切线 l1 和 l2 的斜率之积为定值; (Ⅰ)证明:直线 l1 和 l2 的斜率之积为定值; (Ⅱ)求点 M 的轨迹方程。 解:(I)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+p

18 、 ( 北京市宣武区 2008 年高三综合练习一 ) 在面积为 9 的 ?ABC 中,

19 、 ( 北 京 市 宣 武 区 2008 年 高 三 综 合 练 习 二 ) 已 知 椭 圆

4 tan ?BAC ? ? ,且 CD ? 2DB 。现建立以 A 点为坐标原点,以 ?BAC 的 3
平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系,如图所示。 (1)求 AB、AC 所在的直线方程; (2)求以 AB、AC 所在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程; (3)过 D 分别作 AB、 AC 所在直线的垂线 DF、 DE (E、 F 为垂足) , 求 DE ? DF 的值。
y

x2 y2 ? ?1 a2 b2

?a ? b ? 0? 的离心率为1 2,且其焦点 F(c,0)(c>0)到相

应准线 l 的距离为 3,过焦点 F 的直线与椭圆交于 A、B 两点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 M 为右顶点,则直线 AM、BM 与准线 l 分别交于 P、Q 两点, (P、 Q 两点不重合) ,求证: FP ? FQ ? 0

C

A x E

D F

B

20 、 ( 四川省成都市 2008 届 高 中 毕 业 班 摸 底 测 试 ) 设双曲线 C :

21、(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知中心在原点,左、右顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率为

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 m 与双曲线 C 2
交于不同的两点 P、Q。 (Ⅰ)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2Q ? 1 ,求点 T 的 坐标; (Ⅱ)求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅲ)过点 F(1,0)作直线 l 与(Ⅱ)中的轨迹 E 交于不同的两点 A、 B,设 FA ? ? FB ,若 ? ?[?2,?1],求 | TA ? TB | (T 为(Ⅰ)中 的点)的取值范围。

21 的双曲线 C 经过点 P(6,6) ,动直线 l 经过 3

△A1PA2 的重心 G 与双曲线 C 交于不同两点 M、N,Q 为线段 MN 的中点。 (1)求双曲线 C 的标准方程 (2) 当直线 l 的斜率为何值时, QA2 ? PA2 ? 0 。 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及 直线与双曲线的位置关系。

22、 (东北三校 2008 年高三第一次联考)设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2

23、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)已知双曲线 C 的中心在原点, 对称轴为坐标轴,其一条渐近线方程是 x ? y ? 0 ,且双曲线 C 过点

左焦点为 F,上顶点为 A, 过点 A 作垂直于 AF 的直线交椭圆 C 于另外一点 P,

P(? 2 , 1) .
(1)求此双曲线 C 的方程; (2)设直线 l 过点 A(0, 1) ,其方向向量为 e ? (1, k ) (k ? 0) ,令向量 n 满足

8 交 x 轴正半轴于点 Q, 且 AP ? PQ 5
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

n ? e ? 0 .双曲线 C 的右支上是否存在唯一一点 B ,使得 n ? AB ? n . 若存
在,求出对应的 k 值和 B 的坐标;若不存在,说明理由.

x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.
y A P F O Q x

x2 y2 3 24、(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且 2 a b
1 离心率 e=2. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且 线段 MN 的垂直平分线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。

25、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)在平面直角坐标系

xOy 中,过定点 C (0,p ) 作直线与抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0 )相交于

A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值;
(II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长 恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

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