高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习:3-1-1空间向量的线性运算


3.1.1 空间向量的线性运算
一、选择题 → → 1.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,AD= → → b,AA1=c,则D1B等于( A.a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.-a+b+c [答案] C → → → → [解析] D1B=D1A1+A1A+AB =-b+(-c)+a=a-b-c.故选 C → → → 2.在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,向量AB′、AD′、BD是( A.有相同起点的向量 C.是共面向量 [答案] C → → → → [解析] ∵AB1-AD1=D1B1=BD,∴共面.故选 C. 3.如图所示在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算结果 → 为向量AC1的共有( ) B.是等长的向量 D.是不共面向量 ) )

→ → → (1)(AB+BC)+CC1 → → → (2)(AA1+A1D1)+D1C1 → → → (3)(AB+BB1)+B1C1 → → → (4)(AA1+A1B1)+B1C1. A.1 个 C.3 个 [答案] D [解析] 代入检验知选 D. 4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,有以下等式,其中不正确的是( → → → → A.D1B=D1D+D1A1+D1C1 → → → → B.D1B=D1C1+B1B+CB → → → → C.D1B=D1A1+A1B+A1A ) B.2 个 D.4 个

→ → → → D.D1B=D1C1+C1D+DB [答案] C → → → → → → [解析] D1A1+A1B+A1 A =D1B+A1A≠D1B. 故选 C. 5.如图所示的空间四边形 ABCD 中,M,G 分别是 BC,CD 的中 → → → 点,则MG-AB+AD等于( 3→ A. DB 2 → C.3GM [答案] B → → → → → → → [解析] MG-AB+AD=MG+BD=MG+2MG → =3MG. 6.平行六面体 ABCD-A1B1C1D 中,O 为 BD1 与 AC1 的交点,下列说法正确的是( → 1 → → → A.AO= (AB+AD+AA1) 2 → 1→ B.AO= AC1 3 → 1 → → → C.BO= (BA+BC+BD1) 2 → 1 → → D.BO= (AC1+BD1) 4 [答案] A → → → → → → [解析] AB+AD+AA1=AC+AA1=AC1. 故选 A. → → → → 7.如图所示,空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c, 点 M 在 OA 上,且OM → → =2MA,N 为 BC 中点,则MN等于( 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2 [答案] B ) ) ) → B.3MG → D.2MG

2→ → → → 1 → → [解析] MN=ON-OM= (OB+OC)- OA 2 3 1 2 2 1 1 = ×(b+c)- a=- a+ b+ c.∴应选 B. 2 3 3 2 2 → → 8. 已知 G 是正方形 ABCD 的中心, P 为正方形 ABCD 所在平面外一点, 点 则PA+PB+ → → PC+PD=( → A.4PG → C.2PG [答案] A [解析] → → → → → → → → → → → → → → PA+PB+PC+PD=PG+GA+PG+GB+PG+GC+PG+GD=4PG+(GA+ ) → B.3PG → D.PG

→ → → GC)+(GB+GD), ∵ABCD 是正方形,G 是它的中心, → → → → → ∴GA+GC=GB+GD=0,故原式=4PG. → → → → 9.设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形 ABCD 是 ( A.空间四边形 C.等腰梯形 [答案] B [解析] 画图利用空间向量的运算法则首尾相接 → → → → → → AO+OB=AB,DO+OC=DC, → → ∴AB=DC.故选 B. 10.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′ ,点 E 是 A′C′的中点,点 F 是 AE 的三等 1 → 分点,且 AF= EF,则AF等于( 2 1→ 1 → → A.AA′+ AB+ AD 2 2 1 → 1→ 1 → B. AA′+ AB+ AD 2 2 2 1 → 1→ 1 → C. AA′+ AB+ AD 2 6 6 1 → 1→ 1 → D. AA′+ AB+ AD 3 6 6 [答案] D → 1→ 1 → → [解析] AF= AE= (AA′+A′E) 3 3 ) B.平行四边形 D.矩形 )

1 → 1 1 → = AA′+ × A′C′ 3 3 2 1 → 1 → → = AA′+ (A′B′+A′D′) 3 6 1 → 1 → 1 → = AA′+ A′B′+ A′D′. 3 6 6 故选 D. 二、填空题 → → → 11.设 A,B,C,D 为空间任意四点,则AC-BC+BD=________. → [答案] AD → → → → → → → [解析] AC-BC+BD=AC+CB+BD=AD。 → → → → 12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,向量表达式AB -CD +BC -DA 的化简结果为 ________. → [答案] 2AC → → → → → → → → → → → [解析] AB-CD+BC-DA=(AB+BC)-(CD+DA)=AC-CA=2AC. → → 13.已知空间四边形 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a-5b+8c,对角线 AC,BD 的中 → 点分别为 E,F,则EF=________. 5 [答案] 3a- b+3c 2 [解析] 连接 BE, → 1 → → 1 → → ∵BE= (BA+BC)= (-AB+BC), 2 2 → 1→ 1 → → 1 → → BF= BD= (CD-CB)= (CD+BC), 2 2 2 → → → 又∵EF=BF-BE, → 1 → → 1 → → ∴EF= (CD+BC)- (-AB+BC) 2 2 1 → → 1 = (CD+AB)= (5a-5b+8c+a-2c) 2 2 1 = (6a-5b+6c), 2 5 → ∴EF=3a- b+3c. 2 → 14.四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设OA= → → → a,OC=b,OP=c,点 E 为 PC 的中点且BE=xa+yb+zc,由 x,y,z

的值分别为________________. 1 1 [答案] -1,- , 2 2 1→ → → → [解析] BE=BC+CE=-a+ CP 2 1 → → 1 1 =-a+ (CO+OP)=-a- b+ c. 2 2 2 1 1 故 x=-1,y=- ,z= . 2 2 三、解答题 → → 15.在四面体 ABCD 中,E、F 分别为棱 AC、BD 的中点,求证:AB+CB → → → +AD+CD=4EF. → → → → [证明] 左=(AB+AD)+(CB+CD) → → → → → =2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右.得证. 16. 是△BCD 所在平面外一点, N 分别是△ABC 和△ACD A M, 的重心,若 BD=4 试求 MN 的长. [解析] 连 AM 并延长与 BC 相交于 E,又连 AN 并延长与 CD 相交于 F,则 E、F 分别是 BC 和 CD 之中点, → → → 由MN=AN-AM 2→ 2→ = AF- AE 3 3 2 → → 2→ = (AF-AE)= EF 3 3 2 → → 2 1 → 1→ = (CF-CE)= ( CD- CB) 3 32 2 1 → → 1→ = (CD-CB)= BD 3 3 → 1→ 4 ∴|MN|= |BD|= . 3 3 → → → 17.如图所示,在四面体 O—ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D → 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,试用 a,b,c 表示向量OE. → 1 [解析] ∵E 为 AD 的中点,根据向量的平行四边形法则.得OE= 2 → → (OA+OD), → 1 → → 同理,可得OD= (OB+OC), 2

→ 1→ 1→ 1→ OE= OA+ OB+ OC 2 4 4 1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4 18.如图所示,已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD, N 分别为 PC、 上的点, PM?MC=2? 1 M、 PD 且 , → → → → N 为 PD 中点,求满足MN=xAB+yAD+zAP的实数 x、y、z 的值. → [解析] 在 PD 上取一点 F, PF∶FD=2∶1, 使 连结 MF, 则MN → → =MF+FN → → → 1→ 1→ 而FN=DN-DF= DP- DP 2 3 1→ 1 → → = DP= (AP-AD), 6 6 2→ → 2 → 2→ MF= CD= BA=- AB. 3 3 3 2→ 1 → 1→ → ∴MN=- AB- AD+ AP, 3 6 6 2 ∴x=- 3

y=-

1 1 z= . 6 6


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