2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程课时分层训练文


课时分层训练(四十一)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟)

一、选择题 1.倾斜角为 135°,在 y 轴上的截距为-1 的直线方程是( A.x-y+1=0 C.x+y-1=0 D B.x-y-1=0 D.x+y+1=0 )

[直线的斜率为 k=tan135°=-1,所以直线方程为 y=-x-1,即 x+y+1=0.] )

2.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α ,且 sinα +cosα =0,则 a,b 满足(

【导学号:66482372】 A.a+b=1 C.a+b=0 D B.a-b=1 D.a-b=0

sin α [由 sinα +cosα =0,得 =-1,即 tanα =-1. cos α

又因为 tanα =- ,所以- =-1,则 a=b.] 3.若方程(2m +m-3)x+(m -m)y-4m+1=0 表示一条直线,则参数 m 满足的条件是 ( ) 3 A.m≠- 2 C.m≠0 且 m≠1 D
? ?2m +m-3=0, [由? 2 ?m -m=0, ?
2 2 2

a b

a b

B.m≠0 D.m≠1 解得 m=1,

故 m≠1 时方程表示一条直线.] 4.在等腰三角形 AOB 中,OA=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直 线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1) D [设点 B 的坐标为(a,0)(a>0),
2 2 2

由 OA=AB,得 1 +3 =(1-a) +(3-0) ,则 a=2, ∴点 B(2,0),易得 kAB=-3, 由两点式,得 AB 的方程为 y-3=-3(x-1).] π 5. (2017·威海模拟)过点(2,1), 且倾斜角比直线 y=-x-1 的倾斜角小 的直线方程 4 是( )
1

2

A.x=2 C.x=1 A

B.y=1 D.y=2

3 [∵直线 y=-x-1 的斜率为-1,则倾斜角为 π . 4

3π π π 依题意,所求直线的倾斜角为 - = ,斜率不存在, 4 4 2 ∴过点(2,1)的所求直线方程为 x=2.] 二、填空题 6.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1), 则 l 的斜率是________. - 2 [设 P(m,1),则 Q(2-m,-3), 3

∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2, ∴P(-2,1), 1+1 2 ∴k= =- .] -2-1 3 7.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是 ________. 【导学号:66482373】 [-2,2] [b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,

如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时,b 分别取得最小值和最大值,

∴b 的取值范围是[-2,2].] 8.(2017·惠州模拟)直线 l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12,则直线 l 的方程为________. 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0 1. 又直线 l 过点(-3,4), -3 4 从而 + =1, a 12-a 解得 a=-4 或 a=9.故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0.] 三、解答题
2

[由题意知, 截距不为 0, 设直线 l 的方程为 +

x y = a 12-a

9.(2017·潍坊模拟)直线 l 过点(-2,2)且与 x 轴,y 轴分别交于点(a,0),(0,b), 若|a|=|b|,求 l 的方程. [解] 若 a=b=0,则直线 l 过点(0,0)与(-2,2),2 分 直线 l 的斜率 k=-1,直线 l 的方程为 y=-x,即 x+y=0. 若 a≠0,b≠0,则直线 l 的方程为 + =1, -2 2 ? ? + =1, 由题意知? a b ? ?|a|=|b|, 5分

x y a b

解得?

?a=-4, ? ? ?b=4,

10 分

此时,直线 l 的方程为 x-y+4=0. 综上,直线 l 的方程为 x+y=0 或 x-y+4=0. 12 分

10.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. [解] (1)当直线过原点时,在 x 轴和 y 轴上的截距为零, ∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,截距存在且均不为 0, ∴

a-2 =a-2,即 a+1=1,3 分 a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 因此直线 l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,8 分
?-?a+1?>0, ? ∴? ?a-2≤0 ? ?-?a+1?=0, ? 或? ?a-2≤0, ?

6分

∴a≤-1.

10 分

综上可知,a 的取值范围是 a≤-1.

12 分

B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x -y+1=0,则直线 PB 的方程为( A.2x+y-7=0 C.2y-x-4=0 B ) B.x+y-5=0 D.2x-y-1=0

[由条件得点 A 的坐标为(-1,0),点 P 的坐标为(2,3),因为|PA|=|PB|,根据对称

性可知,点 B 的坐标为(5,0),从而直线 PB 的方程为

y-3 x-2
-3 =

,整理得 x+y-5=0.] 5-2

2.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________.
3

【导学号:66482374】 3 [直线 AB 的方程为 + =1. 3 4

x y

3 ∵动点 P(x,y)在直线 AB 上,则 x=3- y, 4 3 2 3 2 ∴xy=3y- y = (-y +4y) 4 4 = 3 [-?y-2?2+4]≤3, 4

?3 ? 即当 P 点坐标为? ,2?时,xy 取最大值 3.] ?2 ?
3.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点), 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. 1+2k [解] (1)由方程知,当 k≠0 时,直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为

k

1+2k ? ?- ≤-2, k 1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1, 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0. 5分

解得 k>0;3 分

? 1+2k,0?,B(0,1+2k). (2)由 l 的方程,得 A?- ? ?
k

?

1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 7分

1 1 ?1+2k? ∵S= ·|OA|·|OB|= ·? ?·|1+2k| 2 2 ? k ?
2 1 ? 1 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+ +4?≥ ×(2×2+4)=4, k ? 2 2 k 2?

1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= ,10 分 k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 12 分

4


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