南通中学2010-2011学年度高一上学期期末考试数学试卷


江苏省南通中学 2010-2011 学年度第一学期期终考试 高一数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程, 请把答案直接填空在答题卡相应位置上。 ........
1. 求值 sin 300 = 2. 函数 y ? tan(2 x ?
?



. ▲ .

?
3

) 的周期为

3. 在正方形 ABCD 中, E 是 DC 边的中点,且 AB ? a , AD ? b ,则 BE ? 4. 已知 cos? ? tan? ? 0 ,则角 ? 是第 5. 函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小值为 ▲ ▲ 象限角. . ▲ . ▲ .

??? ?

????

??? ?





6. 已知向量 AB ? (4, 0), AC ? (2, 2), 则 AC与BC 的夹角的大小为 7. 已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2, n ? ,若| a+b |=a· b,则 n ? ▲

??? ?

????

???? ??? ?

8. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1 ,满足 f (5) ? 7 ,则 f (?5) = 9. 下面有四个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? .
4 4



②终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ?

? ?

k? ? ,k ?Z?. 2 ?

③把函数 y ? 3sin(2 x ? ④函数 y ? sin( x ? 其中,正确的是

?
3

) 的图象向右平移

?
2

? 个单位长度得到 y ? 3sin 2 x 的图象. 6

) 在 ? 0, ? ? 上是减函数.
▲ . (填序号)

10. 将函数 y ? sin x 的图象向右平移 横坐标变为原来的

? 个单位长度得到图象 C1 , 再将图象 C1 上的所有点的 4
▲ .

1 倍(纵坐标不变)得到图象 C2 ,则 C2 的函数解析式为 2

11. 已知 a ? ? 8, ? ,b ? ? x,1? , 其中 x ? 0 , ( a -2 b ) (2 a + b ) 则 x 的值 若 ∥ ,

? ?

x? 2?





12.函数 y ? ?3sin(2 x ?

?
6

) 的单调递减区间为





1

13.在△ABC 中, ?A ?

π , D 是 BC 边上任意一点( D 与 B、C 不重合) , 6

??? ? ???? ??? ???? ? 且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则 ?B 等于





14.在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(?a, ?b) 在函数 y ? f (x) 的图象上, 那么称 ? A, B ? 为函数 f ( x) 的一组关于原点的中心对称点( ? A, B ? 与 ? B, A? 看作一组).

? ? ?sin x, x ? 0 函数 g ( x) ? ? 关于原点的中心对称点的组数为 2 ?log 4 ( x ? 1), x ? 0 ?





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答, ....... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分) 已知 tan ? ? 2 ,求下列各式的值: (1)

2sin ? ? 3cos ? ; 4sin ? ? 9cos ?

(2) sin ? ? 3sin ? ? cos ? ? 1.
2

16. (本小题满分 14 分) 设两个非零向量 a 与 b 不共线, (1)若 AB = a + b , BC =2 a +8 b , CD =3( a - b ) ,求证: A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k ,使 k a + b 和 a + k b 共线.

??? ?

??? ?

??? ?

2

17. (本小题满分 15 分) 已知 A(?2, 4)、B(3, ?1)、C (?3, ?4) 且 CM ? 3CA , CN ? 2CB , 求点 M、N 及 MN 的坐标.

???? ?

??? ?

????

??? ?

???? ?

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

. ) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? a(a ? R, a 为常数) 6 6 (2)求函数 f (x) 的单调递增区间;

?

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (3) 若 x ? [0,

?
2

] 时, f (x) 的最小值为 ? 2 ,求 a 的值.

3

19. (本小题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin x ? (1)当 0 ≤ x ≤

? 时,用 a 表示 f (x) 的最大值 M (a) ; 2

a 1 ? . 4 2

(2)当 M (a) ? 2 时,求 a 的值,并对此 a 值求 f (x) 的最小值; (3)问 a 取何值时,方程 f (x) = (1 ? a)sin x 在 ?0,2? ? 上有两解?

20. (本小题满分 16 分) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . (1)求| OA + OB |;

??? ?

??? ?

o

??? ??? ? ?

⌒ (2)如图(1)所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上运动.若 OC ? xOA ? yOB,
其中 x, y ? R ,求 x ? y 的最大值?
4

????

??? ?

??? ?

(3)若点 E 、点 F 在以 O 为圆心,1 为半径的圆上,且 OE ? FO ,问 BE 与 AF 的夹角

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 取何值时, BE ?AF 的值最大?并求出这个最大值.
B

??? ??? ? ?

O

A

图(1)

图(2)

5

江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期终考试 高一数学答案卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程, 请把答案直接填空在答题卡相应位置上。 ........
1. ?

3 2

2. 8. -5

? 2

3. ? 9. ① ③ 13.

1 a+b 2
10.

4. 三或四

5. ?

1 2

6. 90

?

7. 3 12.

[?

?
6

? k? ,

?
3

? k? ], k ? Z

5? 12

y ? sin(2 x ? ) 4
14. 1

?

11. 4

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答, ....... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:由 tan ? ? 2 ①

2sin ? ? 3cos ? 2 tan ? ? 3 2 ? 2 ? 3 = ? ? ?1; 4sin ? ? 9cos ? 4 tan ? ? 9 4 ? 2 ? 9
2 2 2

② sin ? ? 3sin ? ? cos ? ? 1= 2sin ? ? 3sin ? cos ? ? cos ?

=

2sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan 2 ? ? 3 tan ? ? 1 3 = = sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5

16. (1)证明 ∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴ AB 、 BD 共线,又∵它们有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 ? ,使 ka+b= ? (a+kb), 即 ka+b= ? a+ ? kb.∴(k- ? )a=( ? k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量,∴k- ? = ? k-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. 17. 解 ∵A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4) ,∴ CA =(1,8) CB =(6,3) , , ∴ CM =3 CA =(3,24) CN =2 CB =(12,6). , 设 M(x,y) ,则有 CM =(x+3,y+4) , ∴?
?x ? 3 ? 3 ?x ? 0 ,∴ ? ,∴M 点的坐标为(0,20). y ? 4 ? 24 ? ? y ? 20

同理可求得 N 点坐标为(9,2) ,因此 MN =(9,-18) , 故所求点 M、N 的坐标分别为(0,20)(9,2) MN 的坐标为(9,-18). 、 , 18. 解:(1) f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? a ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? a 6 6

?

6

? 2 sin(2 x ? ) ? a. 6
∴ f (x) 的最小正周期 T ? ? . (2) 当 2k? ? 即 k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

?

6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z ) 时,函数 f (x) 单调递增,

故所求区间为 [k? ? (3) 当 x ? [0,

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z )

?
2

] 时, 2 x ?

?
6

? [?

? 5?

, ] 6 6

∴当 x ? 0 时 f (x) 取得最小值, 即 2 sin(?
? a 1 a?0 ?? 4 ? 2 ? 2 a 1 ? a M (a) ? ? ? ? 0?a?2 4 4 2 ? 1 ? 3 a?2 ? 4a? 2 ?

?
6

) ? a ? ?2 , ∴ a ? ?1.

19. 解; (1)

(0 ? a ? 2)

(?)

(2) 将 M (a) ? 2 代入( ? )式, 得 a ? ?6 或 a ? 当 a ? ?6 时, f ( x) ? ?(sin x ? 3) ? 11
2

10 . 3

? f ( x)?m i n ? ?5 ;

10 5 2 22 时, f ( x) ? ?(sin x ? ) ? 3 3 9 (3) ?6 ? a ? 2 , a ? 3 .
当a ? 20. 解: (1)| OA + OB |=

? f ( x)?min

1 ?? . 3

??? ??? ? ?

?OA ? OB ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? 1 ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? 12 ? 2 ?1?1? (? ) ? 1 ? 1 2
…………………………………5 分

(2)如图所示,建立直角坐标系,则 A(1,0) ? ? ,B

? 1 3? ? 2 , 2 ? ,C ? cos ? ,sin ? ? . ? ? ?

y. 由 OC ? xOA ? yOB, 得 cos ? ? x ? , sin ? ? 2 2
即 x ? cos ? ?

????

??? ?

??? ?

y

3

3 2 3 ?? ? sin ? , y ? sin ? 。则 x ? y ? 3 sin ? ? cos ? = 2sin ? ? ? ? 3 3 6? ?

又 ? ? ? 0, ? ? ,则 ? ? ? ? , ,故当 ? ? 时, x ? y 的最大值是 2.……11 分 6 ?6 6 ? 3 ? ? 3 ?

? 2 ?

?

?? 5? ?

?

7

(3) ? ? 30 时, BC ? AD 的最大值为 3 ?
?

??? ???? ?

3 .…………………………………16 分 2

8


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