浙江省舟山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题
舟山中学 2015-2016 学年第二学期高二期中考试数学试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷满分 110 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式： 柱体的体积公式： V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
1 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 3 台体的体积公式： V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S2 ) 其中 S1 、 S 2 、 h 分别表示台体的上、下底面积、高 3 球的表面积公式： S =4πR 2 球的体积公式： V = 4 πR 3 其中 R 表示球的半径 3
锥体的体积公式： V ? Sh
选择题部分（共 32 分） 一、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1． 已知集合 A ? x y ? lg x ，B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ， 则 A? B ?
2
?
?
?
?
（ ▲ ）
A． (0,3) A．必存在平面 ? B．必存在平面 ? C．必存在平面 ? D．必存在平面 ?
B． (?1,0)
C． (??,0) ? (3, ??)
D． ( ?1,3) （ ▲ ）
2．已知 a ，b 为异面直线，下列结论不正确 的是 ．．． 使得 a / /? ， b / /? 使得 a ， b 与 ? 所成角相等 使得 a ? ? ， b ? ? 使得 a ， b 与 ? 的距离相等
?2 x ? y ? 0 ? 3．已知实数 x ， y 满足 ? x ? y ? 3 ，则 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 3 ?
A． 1 B． 3 C． ?1
2 2
（ ▲ ） D． ? 3
4．已知直线 l ： y ? kx ? b ，曲线 C ： x ? y ? 2 x ? 0 ，则“ k ? b ? 0 ”是“直线 l 与曲线 C 有公共点” 的 A．充分不必要条件 （ ▲ ） D．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
5．设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x ? R ，都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) ，则满足上 述条件的 f ( x) 可以是 A． f ( x) ? cos （ ▲ ） B． f ( x ) ? sin
?
3
x
?x
3
2 C． f ( x ) ? 2 cos
?
6
x
2 D． f ( x ) ? 2 cos
?
12
x
x2 y 2 6．如图，已知 F1 ， F2 为双曲线 C ： 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点， a b
???? ? ???? ???? ? ???? ? 且满足 | F2 P |? a ，( F 线段 PF2 与 P 为第一象限内一点， 1P ? F 1F 2)? F 2P ? 0 ，
双曲线 C 交于点 Q ，若 F2 P ? 5F2Q ，则双曲线 C 的渐近线方程为 （ ▲ ）
???? ?
???? ?
（第 6 题图） 1
3 3 D． y ? ? x x 2 3 ??? ? ??? ? ??? ? ? 7．已知 O 为三角形 ABC 内一点，且满足 OA ? ?OB ? (? ?1)OC ? 0 ，若 △OAB 的面积与 △OAC 的面 1 积比值为 ， 则 ? 的值为 （ ▲ ） 3 3 1 1 A. B. 2 C. D. 2 3 2
A． y ? ? B． y ? ?
5 x 5
1 x 2
C． y ? ?
8．如图，在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中， AB ? 1 ， BC ? 3 ，点 M 在棱 CC1 上，且 MD 1 ? MA ，则当
?MAD1 的面积最小时，棱 CC1 的长为
A．
（ ▲ ）
3 2 2
D1 A1 B1
B．
C1
10 2
C． 2
D． 2
M D A B
（第 8 题图） （第 11 题图）
C
非选择题部分 (共 78 分) 二、填空题（本大题共 7 小题，第 9 至 12 题每题 4 分，第 13 至 15 题每题 3 分，共 25 分） 9. 已知角 ? 的终边落在直线 y ? ?2 x 上，则 tan? = 10．已知钝角 ．．?ABC 的面积为 ▲ ， cos(2? ? ▲
3 ?) = ▲ 2
， AC ? ▲
． ▲ ． ．
1 ， AB ? 1 ， BC ? 2 ，则角 B ? 2
▲
11．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为
，表面积为
12．已知数列 {an } 是等差数列， {bn } 是等比数列，若 a1 ? 2 且数列 {an bn } 的前 n 项和是 (2n ? 1) ? 3n ?1， 则 b1 ? ▲ ，数列 {an } 的通项公式是 ▲ ．
13．已知函数 f ( x) ?
x a 3 ? ? ln x ? ，其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 4 x 2
1 x ,则 a 的值是 ▲ ． 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 14． 已知 ?ABC 中， 点 P 为线段 BC 上的动点， 动点 Q 满足 PQ ? PA ? PB ? PC ， | BC |? 1 ，BA ? BC ? 2 ， y?
则 PQ ? PB 的最小值等于
??? ? ??? ?
▲
．
2
15．已知斜率为
1 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于位于 x 轴上方的不同两点 A ， B ，记直线 OA ， 2
OB 的斜率分别为 k1 ， k 2 ，则 k1 ? k2 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 53 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本题满分 10 分） 已知函数 f ? x ? ? cos2
x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f ?? ? ?
3 2 ,求 sin 2? 的值. 10
17. （本题满分 10 分） 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 ,且 4S1 ,3S2 , 2S3 成等差数列. （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . lg an ? lg an ?1
18． （本题满分 10 分） 如图，平行四边形 ABCD ? 平面 CDE ， AD ? DC ? DE ? 4 ， ?ADC ? 600 ， AD ? DE . （Ⅰ）求证： DE ? 平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 C ? AE ? D 的余弦值的大小．
A
B
D
C
E
（第 18 题） 3
19． （本题满分 11 分） 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 , （Ⅰ）设 g( x ) ? ( 2 x ? 3) f ( x ) ，若 y ? g( x ) 与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合； （Ⅱ）求函数 y ?| f ( x ) | 在 [0,1] 上的最大值．
20． （本题满分 12 分） 过离心率为
y2 2 x2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 2 a b
A、B ，设 | FA |? ? | FB | ， T ( 2,0) .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若 1 ? ? ? 2 ，求 ?ABT 中 AB 边上中线长的取值范围．
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