2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学


2013 学年广州市高二年级学生学业水平 数学测试
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高, 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1.函数 f ? x ? ?

x ? 1 的定义域为()
B. ? ??, ?1? C. ?1, ?? ? D. ? ??,1?

A. ? ?1, ?? ?

2.集合{a,b,c}的子集个数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,则 a3 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.经过点(3,0)且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为( ) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0 )

5. 函数 y ? sin 2 x 的一个单调区间是(

? ? ?? , ? 4 4? ? ? ? 3? ? C. ? , ?4 4 ? ?
A. ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ? ? ? 3? ? D. ? , ?2 2 ? ?
B. ? ?

开始

x=1,y=1

6.做一个体积为 32m3,高为 2m 的无盖长方体的纸盒,则用纸面积最小为 ( ) A. 64m2 B. 48m2 2 C. 32m D. 16m2

x≤3? 否 输出y



x=x+1,y=2y

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则目标函数 ? y ? 1 ? 0. ?
z ? y ? 2 x 的最小值为( ) A. ? 5 B. ?4 C. ? 3 D. ?2
8.如图 1 所示,程序框图(算法流程图)输出的结果是 ( ) A.2 B.4 C.8
2 2

结束 图1
D.16
z D1
C1

9.关于 x 的不等式 2 x ? ax ? a ? 0 的解集中的一个元素为 1,则实数 a 的取值范围是( B ) A.

? ??, ?1? ? ? 2, ???

P(1,0,1)

B.(-1,2)
o(0,0,0) x

B1

1 D. (-1, ) 2 10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0,0,0) ,
(1,1,0) , (1,0,1) , (0,0,a) (a<0),画该四面体三视图中的正视图时, 以 xOz 平面为投影面,得到正视图的面积为 2,则该四面体的体积是 ( ) A.

?1 ? C. ? ??, ?1? ? ? , ?? ? ?2 ?

y

Q

M(1,1,0)

1 3

B.

1 2

C. 1

D.

3 2
1

N(0,0,a) A B

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.在△ABC 中,∠ABC=450,AC=2,BC=1,则 sin∠BAC 的值为 12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶 图表示(图 2) ,则该赛季发挥更稳定的运动员是 .(填 “甲”或“乙” ) 13.已知向量 AB ? (1, 2), AC ? (3, 4), 则 BC ?

.

甲 4 3 3 6 6 8 8 3 8 9 1 0 1 2 3 4 5 图2

乙 2 5 1 4 0 5 4 6 9

??? ?

??? ?

??? ?

.

14.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x], x0 是函数

1 f ? x ? ? log 2 x ? 的零点,则 g( x0 )的值等于 x

1

6

7

9

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、 演算步骤和推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 某中学高一年级新生有 1000 名, 从这些新生中随机抽取 100 名学生作为样本测量其身高 (单位: cm) , 得到频率分布表如下: 身高 频率 男 女

?155,160? ?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
0.10 0.10 0.25 0.10 0.25 0.04 0.09 0.01

0.01 0.05

(1)试估计高一年级新生中身高在 ?175,180? 上的学生人数; 率.

(2)从样本中身高在区间 ?170,180? 上的女生中任选 2 名,求恰好有一名身高在区间 ?175,180? 上的概

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? (1)求 f (0) 的值; (2)若 ? 是第四象限角,且 f ? ? ?

? ?

??

? ? cos x, x ? R . 6?

? ?

?? 1

? ? ,求 tan ? 的值. 3? 3

2

17. (本小题满分 14 分) 如图 3,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1D1,A1A 的中点。 (1)求证: BC1 / / 平面 CEF ; (2)在棱 A1B1 上是否存在点 G,使得 EG ? CE ?若存在,求 AG 的 1 长度;若不存在,说明理由。
A1 E

D1

C1

B1

F D C

A

B

图3

18. (本小题满分 14 分)
2 ,已知直线 l : y ? kx 与圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 A,B 两点,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切 2

于点 M 3, 3 。 (1)求 k 的值; (2)求 AB 的长; (3)求圆 C2 的方程。

?

?

19. (本小题满分 14 分)

设数列 {an } 是等比数列,对任意 n ? N ,Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ,已知 T1 ? 1 ,T2 ? 7 。
*

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)求使得 Tn?1 ? 2 ?Tn ? 60? 成立的最大正整数 n 的值。

(2) Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ? 1? 3? 2 ? 5? 2 ? ... ? ? 2n ?1? ? 2
2

n?1

。 。 。 。 。 。①

3

20. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x2 .

(1)求函数 f ? x ? 的解析式;

(2)求函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? 1? 上的最大值。

4

2013 学年广州市高二年级学生学业水平数学测试答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1. ADCDA BA CB B 10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0,0,0) , (1,1,0) , (1,0,1) , (0,0,a) (a<0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为投影面,得到正视图的面积为 2,则该四面体的体积 是( )

1 3 C. 1 D. 2 2 3 解:∵ a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,∴令 n=1, a1?1 ? a1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,令
A. B. n=2, a2?1 ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 . 解:关于 x 的不等式 2 x ? ax ? a ? 0 的解集中的一个元素为 1,所
2 2
P(1,0,1)

1 3

z D1
C1

B1

o(0,0,0) x

y

以 f ?1? ? 2 ? a ? a2 ? 0 , a ? a ? 2 ? 0 ,-1<a<2.
2

10.解:这个四面体是图中的 O-MNP,又以 xOz 平面为投影面得到正
视图是如图阴影的四边形 ONQP,它的面积为 2,所以

Q

M(1,1,0)

1 1 ? 1? 1 ? ? 1? ? ? a ? ? 2, 解得 a ? ?3 。 2 2
四面体的体积是(M-OPN)(△OPN 是底面,MQ 是高)

1 1 1 1 1 = ? S ?ODA1 ?1 ? ? ? OD ? 1? 1 = ? ? 3 ? 1? 1 3 3 2 3 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.

N(0,0,a) A B

C

2 . 4
.

y

y=

1 x y=log2x

12. 乙 . 13.(2,2) 14 1 .

1

1 0 14 解:函数 f ? x ? ? log 2 x ? 的零点 x0 是方程 x x 1 x0 2 1 1 1 log 2 x ? ? 0,即 log 2 x ? 的解,即函数 y ? log 2 x, 与y ? x x x 1 交点的横坐标。画出函数 y ? log 2 x, 与y ? 图像,可见 1< x0 <2,1< x0 <2,又[x]表示不超过实数 x 的最 x 大整数,g( x0 )=[ x0 ]=1.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.解(1)∵样本中身高在 ?175,180? 上的学生人数等于 100(0.25+0.04+0.09+0.01)=39 人, ∴估计高一年级新生中身高在 ?175,180? 上的学生人数是 39 ?

(2)样本中身高在区间 ?170,180? 上的女生有 100(0.04+0.01)=5 人,分别记为 1,2,3,4,其中身高在区间

1000 =390 人, 100

?175,180? 上的女生有 100×0.01=1 人,记为 5.

从这 5 人中选 2 人有 10 种不同选法。

其中恰好有一名身高在区间 ?175,180? 上有 4 中, 所以恰好有一名身高在区间 ?175,180? 上的概率

1

2

3

4

4 2 ? 。 是P ? 10 5
5

1

2

3

2 3 4 5

3 4 5

4

4 5

5

5

5

5

5

1 1 ? ?? ? ? cos 0 ? ? ? 1 ? , 2 2 ? 6? ?? ?? ?? 1 ? ? ? (2)∵ f ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 3? 6? 3? 3 , ? ? ?
16. 解(1) f (0) ? sin ? ?

3 1 1 3 1 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 2 2 2 3, 即 2 2 2 sin ? 2 又 ? 是第四象限角,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? , tan ? ? ? ?2 2 。 3 cos ? 17. 证明: (1)连接 AD1,∵AB / / C1D1,∴ABC1D1 是平行四边形,所以 BC1 / / AD1 ,又 E,F 分别是 A1D1,A1A
的中点,所以 EF / / AD1 , 所以 BC1 / / EF ,又 BC1 在平面 CEF 外,EF 在平面 CEF 内,所以 BC1 / / 平面 CEF 。 (2)设在棱 A1B1 上是否存在点 G,使得 EG ? CE ,记 AG =x, 1 以 A1 为坐标原点,A1B1 为 x 轴,A1D1 为 y 轴建立 坐标系, 则 C1 (1,1) , E(0, ),G(x,0),若 EG ? C1E ,

1 2

D1

E
A1

C1

则 kEG ? kC1E

1 1 1 ? ?1 , 2 ? 2 ? ?1, x ? ,当 1? 0 ?x 4 1?

G

B1

y F
D1 D A B C C1

1 = 时, 有 EG ? C1E 。 又 CC1 ? 平面 A1B1C1D1, AG 1 4 EG 在平面 A1B1C1D1 内, 所以 CC1 ? EG, 又 CC1 与 C1E
相交于点 C1, CC1 与 C1E 都在平面 CC1E 内, 所以 EG ? 平面

E
A1

图3

x G B1

CC1E ,又 CE 在平面 CC1E 内,所以 EG ? CE 。 1 所以当 AG = 时,有 EG ? CE 。 1 4 18. 解: (1)直线 l : y ? kx 经过点 M 3, 3 ,所以

?

?

y

3 。 3 2 2 (2)圆 C1 : ? x ?1 ? ? y ? 1 的圆心为 C1(1,0) ,半径为 1, 3 ? 3k , k ?
直线 l : y ?

3 x, x ? 3 y ? 0 , 3
1 ,所以 2

C2

点 C1(1,0)到直线 l 的距离等于 d ?

l

AB ? 2 12 ? d 2 ? 3 。
(3)方法 1:过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,它的方程 是 y ? 3 ? ? 3 ? x ? 3? ,即 y ? ? 3x ? 4 3
N O 1 C1 2 A

M

/

B

P x H C2

设圆 C2 的圆心 C2 a, ? 3a ? 4 3 ,又 C1(1,0) ,圆

?

?

C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 。所以 C1C2 ? 1 ? MC2 ,


?

?

? a ? 1?

2

? ? 3a ? 4 3

?

?

2

? 1?

? a ? 3?

2

? ? 3a ? 4 3 ? 3
6

?

?

2

,解得 a1 ? 4 或 a2 ? 0 ,

对应的圆心(4,0) ,半径为 2;圆心(0, 4 3 ) ,半径为 6;
2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3 2 2 2

?

?

2

? 36 。

2 方法 2:设圆 C2 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ?

? 2 2 ? ? a ? 1? ? b ? r ? 1..............(1) ? C1C2 ? r ? 1 ? 2 ? 2 ? 则 ? MC2 ? r ,即 ? ? a ? 3? ? b ? 3 ? r........(2) , ? ?l ? MC 2 ? 3 b? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ? ?1......................(3) ?

?

?

由(3)解得 b ? ? 3a ? 4 3 代入(2)得到 r ? 再把 b 和 r 代入(1)

? a ? 3?
? 1?

2

? ? 3a ? 4 3 ? 3
2

?

?

2

? a ? 1?
2

2

? ? 3a ? 4 3

?

?

2

? a ? 3?
2

? ? 3a ? 4 3 ? 3

?

?

2



解得 a1 ? 4 或 a2 ? 0 ,对应的圆心(4,0) ,半径为 2;圆心(0, 4 3 ) ,半径为 6;
2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3

?

?

? 36 。
/ /

方法 3:当圆 C2 在直线 l 的下方时,过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,过 C1 作直线 l 的平行线与直线 l 相 交于点 P,设圆 C2 的半径为 r。∵C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 ,∴

?

?

OM ? 2 3 ,
C1P ? MN ? OM ?
1 AB 3 3 3 , C2 P ? C2 M ? PM ? C2 M ? C1 N ? r ? , ?2 3? ? 2 2 2 2
2 2 ?3 3? ? 1? ?? ? r ? ? ,解得 r=2. ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2

C1C2 ? 1 ? r ,在直角三角形 C1 C2 P 中, ?1 ? r ?
在直角三角形 OM C2 中, OC2 ?

?2 3?

2

? 22 ? 4 ,∴cos∠MO C2 ?

3 ,∴∠MO C2 =300,又直线 l 的 2

倾斜角为 300,所以 C2 在 x 轴正半轴上,得 C2 (4,0) ,
2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 。 2

同理,当圆 C2 在直线 l 的上方时,过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,过 C1 作直线 l 的平行线与直线 l 相 交于点 P,设圆 C2 的半径为 r。∵C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 ,∴

/

/

?

?

OM ? 2 3 ,
C1P ? MN ? OM ?
1 AB 3 3 3 ?2 3? ? , C2 P ? C2 M ? PM ? C2 M ? C1 N ? r ? , 2 2 2 2
2 2

2 ?3 3? ? 1? r ? ? ,解得 r=6. C1C2 ? 1 ? r ,在直角三角形 C1 C2 P 中, ?1 ? r ? ? ? ? 2 ? ? ?? 2? ? ? ? 2 1 2 在直角三角形 OM C2 中, OC2 ? 2 3 ? 6 ? 4 3 ,∴cos∠MO C2 ? ,∴∠MO C2 =600,又直线 l 2 0 的倾斜角为 30 ,所以 C2 在 y 轴正半轴上,得 C2 (0, 4 3 ) ,

?

?

所以圆 C2 的方程为 x ? y ? 4 3
2

19. (2) Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ? 1? 3? 2 ? 5? 2 ? ... ? ? 2n ?1? ? 2
2

?

?

2

? 36 。
n?1

。 。 。 。 。 。①

7

。 。 。 。 。② 2Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? ? 2n ? 3? ? 2n?1 ? ? 2n ?1? ? 2n 。 ①-②: ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2
2 3 n ?1

? ? 2n ? 1? ? 2n ? 1 ?

【这是错位相减法】 ? ?3 ? 2n? ? 2n ? 3 ,所以 Tn ? ? 2n ? 3? ? 2n ? 3 。 【求和 Tn 的方法 2(裂项相消法 + 待定系数法 ) 】令 ..... . .....

4 ? 2 ? 2 ? 2n?1 ? ? 2n ? 1? ? 2n 1? 2

? 2n ?1? ? 2n?1 = ? a ? n ?1? ? b? ? 2n ? ? an ? b? ? 2n?1 ? 2 ? a ? n ?1? ? b? ? 2n?1 ? ? an ? b? ? 2n?1 ? ? 2an ? 2a ? 2b ? an ? b? ? 2n?1 ? ? an ? 2a ? b? ? 2n?1 ,比较系数得到 a=2,2a+b=-1,解得 a=2,b=-5. 所以 ? 2n ?1? ? 2n?1 ? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 5? ? 2n?1 ? ? ? 2n ? 5? ? 2n?1 ? ? 2n ? 3? ? 2n , 所以 Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ? 1? 3? 2 ? 5? 22 ? ... ? ? 2n ?1? ? 2n?1
1 1 2 2 3 3 4 n ?1 n ?? ?3 ? 1? 2 ? ??? ?1? 2 ? 1? 2 ? ??? ? ?1? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? ?3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ... ? ? ?? ? 2n ? 5 ? ? 2 ? ? 2n ? 3 ? ? 2 ? ?

? 3 ? ? 2n ? 3? ? 2n 。

又 Tn?1 ? 2 ?Tn ? 60? ,即 ? 2n ? 1? ? 2

n ?1

n n?2 ?3? 2? ?? 2n ? 3? ? 2 ? 3 ? 60 ? ? , 2 ? 123 ,

又 24?2 ? 64 ? 123, 25?2 ? 128 ? 123 , 所以,使得 Tn?1 ? 2 ?Tn ? 60? 成立的最大正整数 n 的值是 4. 20. 解: (1)函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,在 f(-x)=-f(x)中,令 x=0,解得 f(0)=0; 又当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x2 ,
2 2 所以当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? x ? x ? x ? x .

?

?

y

? x ? x2 , x ? 0 ? x?0 函数 f ? x ? 的解析式是 f ? x ? ? ? 0, ? x ? x2 , x ? 0 ?

.
0 -1 1 x

? x ? x2 , x ? 0 即 f ? x? ? ? 2 ?x ? x , x ? 0

? x ? x2 , x ? 0 (2) 画出函数 f ? x ? ? ? 的图像, 两个分段函数的对称轴 2 ?x ? x , x ? 0 1 1 2 分别是 x ? ? , x ? ,又区间 ? a, a ? 1? 长度为 1,所以当 a<-1 时,a+1<0, f ? x ? ? x ? x . 函数 f ? x ? 的 2 2 1 1 1 2 最大值为 f(a)= a ? a ,当-1≤a<- 时,- ≤a+1< ,函数 f ? x ? 的最大值为 2 2 2 1 1 1 3 2 ?1? 1 2 f(a+1)= ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? ? a ? a ,当- ≤a≤ , ≤a+1≤ ,函数 f ? x ? 的最大值为 f ? ? ? , 2 2 2 2 ?2? 4 1 3 2 2 当 a≥ 时, a+1≥ ,f ? x ? ? x ? x . 函数 f ? x ? 的最大值为 f(a)= a ? a ,所以, 函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? 1? 2 2 ?a ? a 2 , 当a ? ?1 ? ??a ? a 2 ,当 ? 1 ? a ? ? 1 ? 2 ? 上的最大值 g ? a ? ? ? 1 1 1 ? ,当 ? ? a ? 2 2 ?4 1 ? a ? a 2 , 当a ? ? ? 2
8


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