高一上学期数学期末考试复习卷(四)


高一上学期数学期末考试复习卷(四)
一、选择题: 1. sin 4 5 0 ? 的值为( ) A. ? 1 2.已知向量 a A. ?
3 4

B. 0
? (3, 4 ) , b ? (sin ? , co s ? )

C. ,且 a

1 2

D.1 ,则 tan ? 等于( ) C. ?
4 3

? b

B.

3 4

D.

4 3

3.在 ? A B C 中, ? A A.5

??? ? ???? ? 9 0 ? , A B ? ( k ,1), A C ? ( 2, 3)

,则 k 的值为( ) C.
3 2

B. ? 5
?

D. ?

3 2

4.在下列函数中,图象关于直线 x A. y
? s in ( 2 x ?

?
3

对称的是( )
?
6 )

?
3

)

B. y

? s in ( 2 x ?

C. y )

? s in ( 2 x ?

?
6

)

D. y

? s in (

x 2

?

?
6

)

5.若 ? ? { x | x 2 ?

? a , a ? R}

,则 a 的取值范围是(

A. [0, ? ? ) 6.设 P ? log 2 3, Q A. R ? Q ? P 7.若
2

B. (0 , ? ? )
? log 3 2, R ? log 2 (log 3 2)

B. P

? R ? Q

C. ( ? ? , 0 ] ,则( ) C. Q ? R ?

D. ( ? ? , 0 )
P

D. R

? P ? Q

f ( x) ? ? x ? 2ax

与 g (x) ?

a x ?1

在区间 [1, 2 ] 上都是减函数,则 a 的取值范围是( ) C. (0 ,1)
?
2
f ( x ) ?| 2 ? 3 |
x

A. ( ? 1, 0 ) ? (0,1)

B. ( ? 1, 0 ) ? (0,1]

D. (0 ,1]
?
2

8.求下列函数的零点,可以采用二分法的是( ) A. C.
f (x) ? x
4

B. D.

f ( x ) ? ta n x ? 2 ??( ?

? x ?

)

f ( x ) ? co s x ? 1

9.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表: 表 1 市场供给表 单价(元/kg) 供给量(1000kg) 2 50 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90

表 2 市场需求表 单价(元/kg) 需求量(1000kg) 4 50 3.4 60 2.9 65 2.6 70 2.3 75 2 80

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( ) A. ( 2 .3, 2 .4 ) 内 B. ( 2 .4, 2 .6 ) 内 C. ( 2 .6, 2 .8) 内 D. ( 2 .8, 2 .9 ) 内

1

10.函数 y

? sin ( ? x ? ? )( ? ? 0, | ? | ?

?
2

)

的图象的一部分 1 O
?
3

y
?
3 7? 12

如图所示,则 ? 、 ? 的值分别为( ) A.1,
?
3

B.1, ?
?
3

?
3

x

C.2, ?

D.2,

?1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.若 A
? { x | x ? x ? a ? 0} ,且 1 ? A
2

,则 a 的取值范围为
3 , | b |? 4

. . .

12.若向量 a , b 的夹角为 1 5 0 ? , | a 13.若
f (x)

|?

,则 | 2 a ? b | 的值为
1 x ?1

是奇函数, g ( x ) 是偶函数,且

f (x) ? g (x) ?

,则

f (x) ?

14.某商店经销某种商品,由于进货价降低了 6 .4 % ,使得利润率提高了 8 % ,那么这种商品原来的利润率 为 . (结果用百分数表示) 【注:进货价×利润率=利润】 15.给出下列四个命题: ①对于向量 a , b , c ,若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若角的集合 A ③函数 y
? 2
x

? {? | ? ?

k? 2

?

?
4

, k ? Z}, B ? {? | ? ? k? ?

?
4

, k ? Z } ,则 A ? B



的图象与函数 y

? x

2

的图象有且仅有 2 个公共点;
f (? x ? 2)

④将函数

f (? x)

的图象向右平移 2 个单位,得到

的图象.

其中真命题的序号是

. (请写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知 ? 是第二象限角, ta n (? (1)求 sin ? 和 co s ? 的值; (2)求
sin (1 8 0 ? ? ? ) c o s(3 6 0 ? ? ? ) ta n ( ? ? ? 2 7 0 ? ) sin ( ? 1 8 0 ? ? ? ) ta n (? ? 2 7 0 ? )
? 2 7 0 ?) ? 1 5



的值.

2

17.已知

f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

)?1. (1)求 f ( x )

的单调增区间; (2)求
f (x)

f (x)

图象的对称轴的方程和对称中心

的坐标; (3)在给出的直角坐标系中,请画出

在区间 [ ?

?
2

,

?
2

] 上的图象.
y 3

2

1

?

? O ? ? ? ? 5? ? 7 ? 7 ? ? 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 6 4 3 12 2 12 12 2 12 3 4 6 12 ?1

x

18. 在 ? A B C 中, A C
??? ???? ? (1)求 B A ? A C

?

2 , AB ?

??? ? ??? ? ???? 3 ? 1, ? B A C ? 4 5 ? , B P ? (1 ? ? ) B A ? ? B C ( ? ? 0 )

, AP

?

2 2


A

的值; (2)求实数 ? 的值; AQ 与 BP 交于点
???? ? ???? ? M, A M ? ? M Q

???? 1 ???? (3)若 B Q ? B C , 4

,求实数 ? 的值.
C B

19.已知定义域为 R 的函数 (1)求
f ( 2 0 1 1)

f (x)

是以 2 为周期的周期函数,当 x ? [0, 2 ] 时, 的解析式; (3)若 g ( x ) ?
f ( x ) ? lg x

f ( x ) ? ( x ? 1)

2



的值; (2)求

f (x)

,求函数 g ( x ) 的零点的个数.

3

20.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:①对任意的 x、 y ? R ,都有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ;②当 x ? 0 时, 有 f (x) ? 0 . (1)利用奇偶性的定义,判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)利用单调性的定义,判断 f ( x ) 的单调性; (3)若关于 x 的不等式
f ( k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2 ) ? 0
x x x

在 R 上有解,求实数 k 的取值范围.

21.已知函数

f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R )
2

, g (x) ?

2 x ? 4 x ? 16
2

,且 |

f ( x ) |? | g ( x ) | 对 x ? R

恒成立.

(1)求 a、b 的值; (2)若对 x ? 2 ,不等式 (3)记 h ( x )
?? 1 2 f (x ) ? 4

f ( x) ? (m ? 2) x ? m ? 15

恒成立,求实数 m 的取值范围.
? n

,那么当 k

?

1 2

时,是否存在区间 [ m , n ] ( m

) ,使得函数 h ( x ) 在区间 [ m , n ]

上的值域恰好为 [ km , kn ] ?若存在,请求出区间 [ m , n ] ;若不存在,请说明理由.

4

高一上学期数学期末考试复习卷(四)参考答案
1.D 解析:∵ sin 4 5 0 ? ? sin (3 6 0 ? ? 9 0 ? ) 2.B 解析:∵ a
? b
? sin 9 0 ? ? 1

,∴选“D” .
3 4

,∴ 3 co s ? ,∴ 2 k
?

? 4 sin ?

,∴ ta n ?
? ? 3 2

?

,∴选“B” .

3.D 解析:∵ AB

??? ?

???? ? AC

?3? 0

,得 k

,∴选“D” .
?
3

4.C 解析:∵图象关于直线 x 5.A 解析:∵ ? ? { x | x 2 ? 6.A 解析:∵ P 7.D 解析: 故选“D” .
f (x)

?
3

对称,∴将 x
2

?

代入,使得 y 达到最大值或最小值,故选“C” . ,即 x 2
? a

? a , a ? R } ,∴ { x | x ? a , a ? R } ? ?

有解,∴ a

?0

,选“A” .

? lo g 2 3 ? 1, Q ? lo g 3 2 ? (0,1), R ? lo g 2 (lo g 3 2 ) ? 0

,∴选“A” .
a ?1

图象的对称轴为 x

? a

.∵

f (x)

与 g ( x ) 在区间 [1, 2 ] 上都是减函数,∴ 0 ?



8.B 解析:∵二分法只适用于求“变号零点” ,∴选“B” . 9.C 解析:通过两张表格寻找“上升趋势”与“下降趋势”的交汇点,知选“C” . 10.D 解析:∵最小正周期为 T 图象上,∴ s in ( 2 ?
? ? ?
3 ? 4( 7? 12 ? 7? 6 ?

?
3

)??

,∴
?
2

2?

?

??

,得 ?

? 2

,∴ y
5? 3

? sin ( 2 x ? ? )

.∵点 (

7? 12

, ? 1)



7? 12

? ? ) ? ?1

,得 ?

? 2k? ?

,k ? Z

,得 ?

? 2k? ?

.又∵ | ?

|?

?
2

,∴令 k

?1

,得

.故选“D” .
? 2

11. a 【



解析:∵ 1 ?

A

,∴ 12

?1? a ? 0
2 2

,得 a

? 2
2


2 2

12. 【2】

解析:∵ | 2 a ? b | 2 ?

( 2 a ? b ) ? 4 a ? 4 a ?b ? b

? 4 | a | ? 4 | a || b | co s 1 5 0 ?? | b | ? 4 ,

∴ | 2 a ? b |? 2 . 13. 【
x x ?1
2

】 解析:∵
f (x) ? x x ?1
2

f (x) ? g (x) ?

1 x ?1

,∴

f (? x) ? g (? x) ?

1 ?x ?1

,即 ?

f (x ) ? g (x ) ? ?

1 x ?1

,两式联立,

消去 g ( x ) 得


? a ? 93.6% ? ( x ? 8% )

14. 1 7 % 】 【 得x
? 17%

解析:设原来的进货价为 a 元,原来的利润率为 x,则 ax ? a ? 6.4%



. 解析:对于①,∵当向量 b 为零向量时,不能推出 a∥c,∴①为假命题;
? B

15. 【②④】

对于②,∵集合 A 与 B 都是终边落在象限的角平分线上的角的集合,∴ A 对于③,∵ ( 2, 4 ) 和 ( 4 ,1 6 ) 都是函数 y
? 2
x

,②为真命题;

的图象与函数 y

? x

2

的图象的交点,且它们的图在第二象限显

5

然有一个交点,∴函数 y 对于④,∵

? 2

x

的图象与函数 y

? x

2

的图象至少有 3 个交点,∴③为假命题;

f ( ? x ? 2 ) ? f [ ? ( x ? 2 )]

,∴④为真命题.

综上所述,选择②④. 16.解析: (1)∵ ta n (?
co s ? ?
2

? 2 7 0 ?) ?

1 5

,∴ ?

1 tan ?

?

1 5

,得 tan ?
? 5 26 26

? ?5

.∴ s in 2 ?
26 26

?

ta n ?
2

1 ? ta n ?
2

?

25 26



1 1 ? tan ?
2

?

1 26

.∵ ? 是第二象限角,∴ sin ?
26 26

, cos ? ? ?



(2)原式 ?

? cos ? ?


?
3 ?

17.解析: (1)由 ? (2)由 2 x ? 由2x ?
?
3

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k?



f (x)

的单调增区间为 [ k ? ,即为
f (x)

?

?
12

, k? ?

5? 12

]( k ? Z )



?
3

? k? ?

?
2

(k ? Z ) k? 2

得x
?
6

?

k? 2

?

5? 12

(k ? Z )

图象的对称轴方程.
k? 2 ?

? k? , k ? Z

得x

?

?

.故

f (x)

图象的对称中心为 (

?
6

,1)( k ? Z )



(3)由
2x ?

f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?
4? 3

?
3

)?1知
?
2

?
3

?

??

?

0

?
2

2? 3

y 3

3 ?1

x

?

?
2

?

?
3

?

?
12

?
6

5? 12

?
2

2

1

f (x)

3 ?1

1

?1

1

3

3 ?1



f (x)

在区间 [ ?

?
2

,

?
2

] 上的图象如图所示.

?

? O ? ? ? ? 5? ? 7 ? 7 ? ? 5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 12 2 12 3 4 6 12 12 6 4 3 1 2 2 1 2
?1

x

18.解析: (1) B A ? A C (2)∵ B P
??? ?

??? ???? ?

??? ? ???? ? | B A | ? | A C | ? co s 1 3 5 ? ? ? 3 ? 1 . ??? ? ??? ?
??? ? ???? ???? ??? ? ? ? ( B C ? B A ) ,即 A P ? ? A C

??? ? ???? ? (1 ? ? ) B A ? ? B C

,∴ B P ? B A



??? ? | AP | 1 ???? ? 又∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 | AC |


???? ? ???? ? ? ? MQ ???? ???? ? ? ( ? ? 1) M Q
???? ? 1 ???? AQ ? 1 ??? ? ( AB ?

(3)设 A B
???? BQ ) ? 1

??? ?

???? ? b, AC ? c

.∵ A M

,∴ A Q

,∴ M Q

?

? ?1
???? ?

? ?1

??? ? 1 ???? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 3 1 ( AB ? BC ) ? [ A B ? ( A C ? A B )] ? b? c ? ?1 4 ? ?1 4 4 ( ? ? 1) 4 ( ? ? 1)

.∵ B M

???? ???? ? ? BQ ? QM ?
???? ? BM ??? ? BP

? 1 ???? ???? ? ?4 ? BC ? M Q ? ? b? c 4 4 ( ? ? 1) 4 ( ? ? 1) ?


? 4

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 1 ???? 1 BP ? BA ? AP ? ? AB ? AC ? ?b ? c 2 2

, 且



, ∴

? ?4
4 ( ? ? 1)

?

1 2

?

?
4 ( ? ? 1)

? ( ? 1)

,得 ?



19.解析: (1)

f ( 2 0 1 1) ? f (1) ? 0
x?R

. ,必存在一个
k?Z

(2)对于任意的

,使得

x ? ( 2k , 2 ? k

2 ,] 则

x ? 2 k ? ( 0 , ,] 2

6

f ( x ) ? f ( x ? 2 k ) ? ( x ? 2 k ? 1)

2

.故

f (x)

的解析式为

f ( x ) ? ( x ? 2 k ? 1) , x ? ( 2 k , 2 k ? 2 ]( k ? Z )
2



(3)由 g ( x ) ∴方程 g ( x ) ?
0

?0



f ( x ) ? lg x

.作出 y

? f ( x ) 与 y ? lg x

的图象,知它们的图象在 ( 0 ,1 0 ] 上有 10 个交点,

有 10 个解,∴函数 g ( x ) 的零点的个数为 10.
? y ? 0

20. 解析: 令 x (1) 即
f (? x) ? ? f ( x)

, 得

f0 ( )

?f 0 ( )

0 ? ( f )

, 得

f 0 0? ( )

. “y” “ ? x ” 将 用 代替, 得

f ( x ) ? f ( ? x ) ? f (0 ) ? 0



,∴

f (x)

为奇函数.
? x2

(2)设 x1 、 x 2 ? R ,且 x1 ∵ x1
? x2

,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( ? x 2 ) ? f ( x 1 ? x 2 )



,∴ x1 ?

x2 ? 0
x

,∴

f ( x1 ? x 2 ) ? 0
x x

,即

f ( x1 ) ? f ( x 2 )
x x

,∴

f (x)

在 R 上是增函数.
x

(3)方法 1 由 ∴由对勾函数
k ? (2

f (k ? 3 ) ? f (?3 ? 9 ? 2)

得 k ? 3x

? ? 3 ? 9 ? 2 ,即 k ? 3 ?

2 3
x

?1

对 x ? R 有解.∵ 3 x
x

? 0



y ? t?

2 t

在 (0 , ? ? ) 上的图象知当 3 x

?

2

,即 x

? l o g3

2

时,

(3 ?

2 3
x

? 1) m in ? 2 2 ? 1

,故

2 ? 1, ? ? ).

方法 2 由
t ? 3 (t ? 0 )
x

f (k ? 3 ) ? f (?3 ? 9 ? 2)
x x x



k ? 3 ? ?3 ? 9 ? 2
x x x

,即

3

2x

? ( 1 k ) 3? ?
x

?2

0 对

x?R

有解.令

,则 t 2

? (1 ? k ) t ? 2 ? 0

对t

? 0

有解.
? ? 1? k 2 ? 0,

记 g (t ) ? t 2

? (1 ? k ) t ? 2

,则 ?

? ?

1? k 2

? 0,

? g (0) ? 2 ? 0, ?

或?

解得 k

? 2 2 ?1.

? ? ? (1 ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? 0 , ?

21.解析: (1)由 g ( x ) ? ∴?
?1 6 ? 4 a ? b ? 0 , ? 4 ? 2 a ? b ? 0,
? ? 2, b ? ? 8

0

得x

? 4

或x

? ?2

.于是,当 x
2

? 4

或x

? ?2

时,得 ?
2

? | 1 6 ? 4 a ? b |? 0 , ? | 4 ? 2 a ? b |? 0 ,

∴?

? a ? ?2, ? b ? ?8.

此时,|

f ( x ) |? | g ( x ) | ? | x ? 2 x ? 8 | ? 2 | x ? 2 x ? 8 |

,对 x ? R 恒成立,满足条

件.故 a

. 对x
2

(2)∵ 记 ? (x) ?
y ? t? 4 t

f ( x) ? (m ? 2) x ? m ? 15
x ? 4x ? 7
2

? 2

恒成立,∴ m

?

x ? 4x ? 7
2

x ?1 4 x ?1 ?2

对x

? 2

恒成立. ,∴
x ?1 ? 1

x ?1

?

[( x ? 1) ? 1] ? 4 ( x ? 1) ? 3 x ?1

? ( x ? 1) ?

.∵

x ? 2

,∴由对勾函数

在 (1, ? ? ) 上的图象知当 t
h( x) ? ? 1 2 (x ? 1) ?
2

? 2

,即 x
1 2

?3

时, ? ( x ) m in
k n]? 1 ( ? , ? 2

? 2

,∴ m

? 2
1 2

. ,又∵
k ? 1 2

(3)∵

1 2

?

, ∴ [k m ,

] , ∴ kn

?

,∴ n

?

1 2k

?1

,∴

? h (m ) ? km , [ m , n ]? ? ? , 1, h ( x ) 在 [ m , n ] 上是单调增函数, ? ( ]∴ ∴ ? h (n ) ? kn,

? 1 2 ? ? m ? m ? km , ? m ? 0, 或 m ? 2 ? 2 k , ? 即? 2 即? ? n ? 0, 或 n ? 2 ? 2 k . ? ? 1 n 2 ? n ? kn, ? ? 2



m ? n

,且 k

?

1 2

,故:当

1 2

? k ? 1 时, [ m , n ] ? [0, 2 ? 2 k ]

;当 k

?1

时, [ m , n ] ? [2 ? 2 k , 0] ;当 k

?1

时, [ m , n ]

不存在.
7


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