蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第1章 生产技术)


Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 蒋殿春《高级微观经济学》 第 1 章 生产技术 跨考网独家整理最全经济学考研真题, 经济学考研课后习题解析资料库, 您可以在这里 查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研 历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验, 从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的 财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理, 如您还需更多考研资料, 可选择经济学一对一在线咨询进 行咨询。 1. 两种产品 x 和 y 唯一需要的要素投入是劳动 L 。 一单位 x 产品需要的劳动投入量是 8, 一单位 y 产品需要的劳动投入量是 1。假设可投入的劳动量总共为 48。 (1)写出生产可能集 Z 的代数表达式; (2)写出生产(隐)函数; (3)在 ? x, y ? 平面上标示生产边界。 解: (1)由题意可知,总量为 48,劳动 L 是两种产品唯一需要的要素投入,所以有:
8 x ? y ? 48

因此,生产可能集 Z 的代数表达式为 Z ? ? x, y, L ? 8x ? y ? L ? 48 。 (2)一单位 x 产品需要的劳动投入量是 8,一单位 y 产品需要的劳动投入量是 1,所以 生产(隐)函数为 8 x ? y ? L 。 (3)由(1)可得,生产可能集 Z 为 Z ? ? x, y, L ? 8x ? y ? L ? 48 ,如图 1-1 所示。

? ?

? ?

图 1-1 2.试画出 Leontief 生产函数 f ? x1, x2 ? ? min ?x1 ? 1 , x2 ?2 ? 的等产量线。 解:由 Leontief 生产函数 f ? x1, x2 ? ? min ?x1 ? 1 , x2 ?2 ? 表达式可知,当 x1 ? 1 ? x2 ? 2 时,

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x2 x1 ? ? 2 ?1 ,由此可得到其等产量线如图 1-2 所示。

图 1-2
? ? 3.对 Cobb-Douglas 生产函数 f ? x1, x2 ? ? Ax1 x2 ? A ? 0, ? , ? ? 0 ?

(1)证明 MP 1 ? ? y x1 , MP 2 ? ? y x2 。 (2)求技术替代率 TRS12 。 (3)当 y 或 x2 x1 变化时, TRS12 如何随之变化? (4)画出等产量曲线。
? ? ? ? x2 ,所以有: 解: (1)已知生产函数 f ? x1, x2 ? ? Ax1 x2 ,即 y ? Ax1

? ?1 ? ? MP x2 ? ? y x1 1 ? f1 ? x1 , x2 ? ? ? Ax1

? ? ?1 MP2 ? f 2? ? x1 , x2 ? ? ? Ax1 x2 ? ? y x2

即得证。 (2)在(1)中已经证明 MP 1 ? ? y x1 , MP 2 ? ? y x2 ,因此,技术替代率为: MP ? y x1 ?x 1 TRS12 ? ? ?? ?? 2 MP2 ? y x2 ? x1 在 Cobb-Douglas 生产函数中 ? ? ? ? 1 ,整理得 TRS12 ? ? (3)由(2)可知, TRS12 ? ?
? x2 。 ?1 ? ? ? x1

? x2 ,技术替代率 TRS12 与 y 无关,不随 y 的变化而 ?1 ? ? ? x1 ?
x2

变化;而 x2 x1 变化时,技术替代率 TRS12 随之等比例变化。
? ? (4)已知 Cobb-Douglas 生产函数 f ? x1, x2 ? ? Ax1 x2 的技术替代率 TRS12 ? ?

?1 ? ? ? x1



TRS12 就是相应点处等产量曲线切线的斜率。它的等产量线如图 1-3 所示。

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图 1-3 4.对 CES 生产函数
? ? y ? A ??1 x1 ? ? 2 x2 ? , ?1 ? ? 2 ? 1 , A ? 0
1?

? (1)证明边际产出 MP i ? A ? i ? y xi ?

1??



(2)求技术替代率 TRS12 。 (3)当 y 或 x2 x1 变化时, TRS12 如何随之变化? (4)证明技术替代弹性 ? ? 1 ?1 ? ? ? 。
? 解: (1) MP 1 ? y1 ? A

?

? ? ? ? ??1 x1 ? ? 2 x2 ? ???1 x1? ?1
?1

1

? ? ? A?1 ??1 x1 ? ?1 x2 ?

?1?? ? ?

? ?1 x1
?1?? ? ?

? ? ? ? A? ?1 ? ? A ??1 x1 ? ?1 x2 ? ?

? ?1 x1

? A? ?1 ? y x1 ?

1??

? ? A? ? 2 ? y x2 ? 同理可证 MP2 ? y1

1??

? ,因此可得边际产出为 MP i ? A ? i ? y xi ?

1??


1??

? (2)由(1)得, MP i ? A ? i ? y xi ?

1??

。所以,技术替代率 TRS12 ? ?
1??

MP ? ?x ? 1 ?? 1 ? 2 ? MP2 ? 2 ? x1 ?



(3)已知技术替代率 TRS12 ? ?

MP ? ?x ? 1 ?? 1 ? 2 ? MP2 ? 2 ? x1 ?

,所以,当 y 变化时,TRS12 保持不变;

当 x2 x1 变化时, TRS12 随之等比例变动。 ? (4)假设 z ? x2 x1 ,则 TRS12 ? ? 1 z1?? ,那么: ?2
??
?? dz TRS12 ? dTRS12 ? TRS12 ?? ? dTRS12 z z ? dz ?
?1 ? ?2 ? 1 ?? ? ? ?1 ? ? ? z ?? ? ?? z ? ? ? ?1 ? ?2 ? ?1

? 1 ?1 ? ? ?

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Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 即得证。 5.证明:CES 生产函数在 ? ? 1 时变为线性函数,在 ? ? 0 时变为 Cobb-Douglas 函数, 在 ? ??? 时变为 Leontief 生产函数。
? ? 证明:CES 生产函数为 y ? A ??1 x1 ? ? 2 x2 ?
1?

(1)当 ? ? 1 时, y ? A ??1 x1 ? ? 2 x2 ? ,即为线性函数。 (2)当 ? ? 0 时,化简得,
y ? ? 1? ? ??1 x1 ? ? 2 x2 ? ,两边同时取对数得: A
? ? y ln ??1 x1 ? ? 2 x2 ? ln ? A ?

运用洛必达法则求极限:
? ? ln ??1 x1 ? ? 2 x2 ? y lim ln ? lim ? ?0 ? ? 0 A ? ? ? ?1 x1 ln x1 ? ? 2 x2 ln x2 ? ? ? ?1 x1 ? ? 2 x2

?

?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ?1 ? ? 2

b ? ln x1a x2

其中, a ?

?1 ?1 ? ? 2

,b ?

?2 ?1 ? ? 2



b 所以 y ? Ax1a x2 ,即为 Cobb-Douglas 函数。

(3)当 ? ??? 时,同(2)中得:
? ???

lim ln

? ? ln x1 ? ? 2 x2 ln x2 y ?1 x1 ? ? ? A ?1 x1 ? ? 2 x2

当 x1 ? x2 时, lim ln
? ???

y ? ln x1 ? ln x2 ,即 y ? Ax1 ? Ax2 。 A
?

当 x1 ? x2 时,先假设 x1 ? x2 ,则 ? x1 x2 ? ? 1 ,那么:
lim ln
? ? ln x1 ? ? 2 x2 ln x2 ?1 ? x1 x2 ? ln x1 ? ? 2 ln x2 y ?1 x1 ? ? ? ln x2 ? ? ? A ?1 x1 ? ? 2 x2 ?1 ? x1 x2 ? ? ? 2 ?
? ? ln x1 ? ? 2 x2 ln x2 y ?1 x1 ? ? ln x1 。 ? ? A ?1 x1 ? ? 2 x2

? ???

同理,假设 x1 ? x2 ,则 lim ln
? ???

因此,当 ? ??? 时,生产函数为 y ? min ? Ax1 , Ax2 ? ,即为 Leontief 生产函数。

6. (1)试证明欧拉定理:对任何 k 次( k ? 0 )齐次生产函数 f ? x ? ,总有

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kf ? x ? ? ?
i

?f xi ?xi

? ? (2)用生产函数 f ? x1, x2 ? ? Ax1 x2 ? A ? 0, ? , ? ? 0 ? 验证欧拉定理。

证明: (1)对于 k 次齐次生产函数, ?t ? 0 , f ? tx ? ? t k f ? x ? ,等式两边同时对 t 求微分, 得 kt k ?1 f ? x ? ? ?
i

?f ? tx ? ? ? txi ?

xi 。
?f xi 。 ?xi

当 t ? 1时,可以得到 kf ? x ? ? ?
i

? ? (2)生产函数 f ? x1, x2 ? ? Ax1 x2 ? A ? 0, ? , ? ? 0 ? 是 ? ? ? 次齐次函数,

?f ? x1, x2 ? ?x1,

? , ? A? x1? ?1 x2

?f ? x1, x2 ? ?x2

? A? x1 x2 ? ?1

所以,

?f ? x1, x2 ? ?x1,

x1 ?

?f ? x1, x2 ? ?x2

? ? ,即欧拉定理得证。 x2 ? A? x1? x2 ? A? x1? x2 ? ? ?? ? ? ? Ax1? x2

7.下列生产函数的规模收益状况如何? (1)线性函数: f ? x1, x2 ? ? ax1 ? bx2 , a, b ? 0 ; (2)Leontief 生产函数; (3)Cobb-Douglas 生产函数; (4)CES 生产函数。 解: (1)线性生产函数 f ? x1, x2 ? ? ax1 ? bx2 , f ?tx1,tx2 ? ? atx1 ? btx2 ? t ? ax1 ? bx2 ? ,产量随 要素投入变动同比例变化,规模收益是不变的。 (2)Leontief 生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化,规模收益是不变的。
? ? (3)Cobb-Douglas 生产函数 f ? x1, x2 ? ? Ax1 x2 ? A ? 0, ? , ? ? 0 ? ,当 ? ? ? ? 1 时,是规模

收益不变的;当 ? ? ? ? 1 时,规模收益是递增的;当 ? ? ? ? 1 时,规模收益是递减的。
? ? (4)同理,CES 生产函数 y ? A ??1 x1 ? ? 2 x2 ? ,产量随要素投入变动同比例变化,规模
1?

收益是不变的。 8.证明: (1)对于二元生产函数 f ? x1,x2 ? ,替代弹性可以表示为

?12 ?

x1 x2 ? 2 f1 f 2 f12 ? f12 f 22 ? f 22 f11 ?

f1 f 2 ? x1 f1 ? x2 f 2 ?

(2)如果生产函数 f ? x1,x2 ? 是一次齐次函数,则有 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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f1 ? x ? f 2 ? x ?

? 12 ? x ? ?

f ? x ? f12 ? x ? d ? x 2 x1 ? TRS12 ? 。 d ?TRS12 ? x 2 x1

证明: (1)对于二元生产函数 f ? x1, x2 ? ,替代弹性其为 ? 12 ?
d ? x 2 x1 ? TRS12 d ?TRS12 ? x 2 TRS12 ? d ?TRS12 ? ? ? ? ? x1 z ? dz ?
?1

令 z ? x 2 x1 ,则 ?12 ?

将 x2 ? zx1 代入生产函数, y ? f ? x1,zx1 ? 令 x1 ? g ? z ? , 解得,
dx1 ? g ? ? z ? ,对 z 求导得, f1 ? x1,x2 ? g ? ? z ? ? f 2 ? ? g ? x ? ? zg ? ? z ?? ??0 dz

dx1 x f ? g?? z? ? ? 1 2 。 dz f1 ? zf 2

由于 TRS12 ? ?
d ?TRS12 ? dz

f2 ? ? g ? z ? , zg ? z ?? ?

f1 ? ? g ? z ? , zg ? z ?? ?

,所以:

? ? ?

? f1 f 22 ? f 2 f12 ? g ? ? f1 f 21 ? zf1 f 22 ? f 2 f11 ? g ?
f 22
2 2 x1 ? ? f1 f 22 ? f 2 f11 ? 1 f1 f 2 f12 ? ?

f1 ? ? f 21 g ? ? f 22 ? g ? zg ? ? ? ? ? f2 ? ? f11 g ? ? f12 ? g ? zg ? ? ? ? 2 f2

f 22 ? f1 ? zf 2 ?

将 z ? x 2 x1 代入上式,

d ?TRS12 ? dz

?

2 2 x12 ? ? f1 f 22 ? f 2 f11 ? 1 f1 f 2 f12 ? ?

f 22 ? x1 f1 ? x2 f 2 ?

从而得, ?12 ?

x1 x2 ? 2 f1 f 2 f12 ? f12 f 22 ? f 22 f11 ?

f1 f 2 ? x1 f1 ? x2 f 2 ?



(2)生产函数 f ? x1, x2 ? 是一次齐次函数,所以 f1 和 f 2 都是零次齐次函数,应用欧拉定 理可得: x1 f1 ? x2 f 2 ? f 2 , x1 fi1 ? x2 fi 2 ? 0 。 于是: f11 ? ? 代入 ?12 ?
x2 x f12 , f 22 ? ? 1 f12 x1 x2

x1 x2 ? 2 f1 f 2 f12 ? f12 f 22 ? f 22 f11 ?

f1 f 2 ? x1 f1 ? x2 f 2 ?

,得到:

? 12 ? x ? ?

f12 ? x ?? x1 f1 ? x2 f 2 ?

f1 ? x ? f 2 ? x ?

?

f ? x ? f12 ? x ?

f1 ? x ? f 2 ? x ?

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