成才之路人教A版数学必修3-本册综合素能检测


本册综合素能检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.用二分法求方程的近似解,精确度为 ε,则循环结构的终止条件为( A.|x1-x2|>ε C.x1<ε<x2 [答案] B [解析] 本题考查二分法的实际应用.结合二分法关于精确度的要求可知,当精确度为 ε 时,只要|x1-x2|<ε 时,循环终止,故选 B. 2.一个年级有 20 个班,每班都是 50 人,每个班的学生的学号都是 1~50.学校为了了 解这个年级的作业量,把每个班中学号为 5,15,25,35,45 的学生的作业留下,这里运用的是 ( ) A.系统抽样 C.简单随机抽样 [答案] A [解析] 本题考查抽样方法的应用.根据系统抽样的概念,可以得到答案,故选 A. 3.奥林匹克会旗中央有 5 个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红, 下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这 5 个环分发给甲、乙、丙、丁、 戊五位同学制作,每人分得 1 个,则事件“甲分得红色’’与“乙分得红色”是( A.对立事件 C.互斥但不对立事件 [答案] C [解析] 甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不 到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件. 4.(2014· 北京)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) B.不可能事件 D.不是互斥事件 ) B.分层抽样 D.随机数表法抽样 B.|x1-x2|<ε D.x2<ε<x1 )

A.1 C.7 [答案] C [解析] S=0+20+21+22=7,故选 C.

B.3 D.15

5.如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,样本落在 [15,20]内的频数为( )

A.20 C.40 [答案] B

B.30 D.50

[解析] 样本落在[15,20]内的频率是 1-5×(0.04+0.1)=0.3,则样本落在[15,20]内的频 数为 0.3×100=30. 6.(2014· 浙江)在 3 张奖卷中有一、二等奖各 1 张,另一张无奖,甲、乙两人各抽取 1 张,两人都中奖的概率是( 1 A. 6 1 C. 2 [答案] B [解析] 设三张卷分别用 A,B,C 代替,A 一等奖;B 二等奖;C 无奖,甲、乙各抽一 张共包括(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B)6 种基本事件,其中甲、乙都 2 1 中奖包括两种,P= = ,故选 B. 6 3 7.某中学高三年级从甲、乙两个班级中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩 ) 1 B. 3 2 D. 3

(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83, 则 x+y 的值为( )

A.7 C.9 [答案] B

B.8 D.10

[解析] ∵85×7=2×70+3×80+2×90+30+x,∴x=5.又∵乙班学生成绩的中位数 是 83,∴y=3,∴x+y=5+3=8,故选 B. 8.计算机常用的十六进制是适十六进一,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计算符 号,这些符号与十进制数的对应关系如下表: 十六 进制 十进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 )

10

11

12

13

14

15

例如:用十六进制表示 E+D=1B,则 A×B=( A.6E C.5F [答案] A B.72 D.5B

[解析] 本题考查进位制间的相互转化.用十进制表示 A×B=10×11=110,而 110= 6×16+14=6E(16),故选 A. 9.如果数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则 5x1+2,5x2+2,?,5xn+2 的平均数和方差分别为( A. x ,s2 C.5 x +2,25s2 [答案] C [解析] 本题考查平均数与方差的计算公式.由平均数与方差的计算公式分析可得 5x1 +2,5x2+2,?,5xn+2 的平均数为 5 x +2,方差为 25s2,故选 C. 10.扇形 AOB 的半径为 1,圆心角为 90° .点 C、D、E 将弧 AB 等分成四份.连接 OC、 π OD、OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰为 的概率是( 8 ) ) B.5 x +2,s2 D. x ,25s2

A.

3 10

1 B. 5 1 D. 2

2 C. 5 [答案] A

[命题立意] 本题考查扇形面积公式及古典概型概率求解,难度中等. [解析] π π 1 π 据题意若扇形面积为 ,据扇形面积公式 = ×α×1?α= ,即只需扇形中心 8 8 2 4

π 3 角为 即可,列举可得这种情况共有 3 种,而整个基本事件个数共有 10 种,故其概率为 . 4 10 11.(2013~2014· 石家庄模拟)从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如 下表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74

^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=0.56x+a,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的体 重为( ) B.70.12 D.71.05

A.70.09 C.70.55 [答案] B [ 解 析 ] 由 表 中 数 据 得 x =

160+165+170+175+180 = 170 , y = 5

63+66+70+72+74 =69. 5 ^ ^ ^ ^ ^ 将( x , y )代入y=0.56x+a,∴69=0.56×170+a,∴a=-26.2,∴y=0.56x-26.2. ∴当 x=172 时,y=70.12,故选 B. 12.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 [96,106] ,样本数据分组为 [96,98), [98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( )

A.90 C.60 [答案] A

B.75 D.45

[解析] 设样本容量是 n,产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已 36 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则 =0.300,所以 n=120.净重大于或等于 98 n 克并且小于 104 克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75. 所以样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.102,238 的最大公约数是________. [答案] 34 [解析] 利用辗转相除法或更相减损术可得最大公约数是 34. 14.将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下:0 001,0 002,?,1 000,打算从中抽取 一个容量为 50 的样本, 按系统抽样的方法分成 50 个部分, 从第一部分随机抽取一个号码为 0 015,则第 40 个号码为________. [答案] 0 795 [解析] 本题考查系统抽样方法的应用.根据系统抽样方法的定义,得第 40 个号码对 应 15+39×20=795,即得 40 个号码为 0 795. 1 15.如图所示,在半径为 1 的半圆内,放置一个边长为 的正方形 ABCD,向半圆内任投 2 一点,则该点落在正方形内的概率是________.

[答案]

1 2π

1 1 1 [解析] 由题设可知, 该事件符合几何概型. 正方形的面积为( )2= , 半圆的面积为 ×π 2 4 2 1 4 1 π = ,故点落在正方形内的概率是 = . 2 π 2π 2 16.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 三分球个数 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6

下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框 应填________,输出的 s=________.

[答案] i≤6?(i<7?) a1+a2+a3+a4+a5+a6 [解析] 由题意可知,程序框图是要统计 6 名队员投进的三分球的总数,由程序框图的 循环逻辑知识可知,判断框应填 i≤6?,输出的结果就是 6 名队员投进的三分球的总数,而 6 名队员投进的三分球数分别为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,故输出的 s=a1+a2+?+a6. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2014· 山东)海关对同时从 A、B、C 三个不同地区进口的某种商 品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽 样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A、B、C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进一步检测,求这 2 件商品来自相同地 区的概率. [解析] (1)因为工作人员是按分层抽样抽取样品,所以各地区抽取样品的比例为:A∶ B∶C=50∶150∶100=1∶3∶2 1 3 2 各地区抽取的商品数分别别为 A:6× =1;B:6× =3;C:6× =2. 6 6 6 (2)设各地商品分别为 A、B1、B2、B3、C1、C2 所以所含基本事件共有(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,C1),(A,C2),(B1B2),(B1B3), (B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)15 种不 同情况,样本事件包括(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2)4 种情况. 4 所以,这两件商品来自同一地区的概率为 P= . 15 18.(本小题满分 12 分)高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方 图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直 方图中[80,90)间的矩形的高; (2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选 2 人进行某项研究,求至少有 1 人分数在 [90,100]之间的概率. [解析] (1)因为分数在[50,60)之间的频数为 2,频率为 0.008×10=0.08,所以高一(1) 班参加校生物竞赛的人数为 2 =25. 0.08

4 分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率为 =0.16, 25 0.16 所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 =0.016. 10 (2)设“至少有 1 人分数在[90,100]之间”为事件 A,将[80,90)之间的 4 人编号为 1、2、 3、4,[90,100]之间的 2 人编号为 5、6. 在[80,100]之间任取 2 人的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6), 共 15 个. 其中, 至少有 1 人分数在[90,100] 之间的基本事件有 9 个, 9 3 根据古典概型概率的计算公式,得 P(A)= = . 15 5 [易错点拨] 在茎叶图的基础上,计算频率分布直方图中某个小矩形的高是较新颖的命 题方式,计算时,要注意理解小矩形的高的意义.对于古典概型的概率的求解很重要的一步 是列举基本事件,此时,要注意避免重复与迹漏. 19.(本小题满分 12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单 位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80,?yi=20,?xiyi=184,?x2 i=
i=1 i=1 i=1 i=1 10 10 10 10

720. ^ ^ ^ (1)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区栽家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄. 1 10 1 [解析] (1)由题意知 n=10, x = ?xi= ×80=8, ni=1 10

1 10 1 y = ?yi= ×20=2. ni=1 10
2 2 又 Ixx= ?x2 i -n x =720-10×8 =80, i=1 10

Ixy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

10

^ Ixy 24 由此得b= = =0.3, Ixx 80 ^ ^ a= y -b x =2-0.3×8=-0.4, ^ 故所求线性回归方程为y=0.3x-0.4. ^ (2)由(1)中所法语的线性回归方程知,变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. ^ (3)将 x=7 代入回归方程,可以预测该家庭的月储蓄约为y=0.3×7-0.4=1.7(千元). [易错点拨] 由回归方程分析得出的数据只是预测值而不是精确值.此类问题的易错点 是方程中 b 的计算,代入公式计算时要细心.在高考中,此题用到的公式会在试卷的首页中 给出,不需要特别记忆,但作为常考的知识点,我们还是要对公式十分熟悉.另外防止出错 的关键还是“熟能生巧”. 20.(本小题满分 12 分)(2014· 福建)根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元 为低收入国家; 人均 GDP 为 1035~4085 元为中等偏下收入国家; 人均 GDP 为 4085~12616 美元为中等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政 区,各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 A B C D E 区人口占城市人口比例 25% 30% 15% 10% 20% 区人均 GDP(单位:美元) 8000 4000 6000 3000 10000

(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等 偏上收入国家标准的概率. [解析] (1)设城市人口总数为 a,该城市人均 GDP 为: 8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10000×0.20a =6400 a

因为 6400∈[4085,12616)所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上国家标准. (2)从“5 个行政区中随机抽取 2 个”所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D}, {A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共 10 种情况,其中 2 3 个行政区都达到中等以上国家标准的有{A,C},{A,E},{C,E},共 3 种情况因此 P= . 10 21. (本小题满分 12 分)随机抽取某中学甲、 乙两班各 10 名同学, 测量他们的身高(单位: cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率. [分析] (1)茎叶图中的数据越集中在上部, 则说明该班的平均身高较高; (2)先求出平均 数,再代入方差公式即可;(3)写出所有基本事件,再统计基本事件的总数和所求事件包含 的基本事件的个数,利用古典概型计算概率. [解析] (1)由题中茎叶图可知:甲班身高集中于 160~179 cm 之间,而乙班身高集中于 170~180 cm 之间,因此乙班平均身高高于甲班. (2)甲班的平均身高为 x= 1 (158+162+163+168+168+170+171+179+179+182)=170, 10

甲班的样本方差为 s2 = 1 [(158 - 170)2 + (162 - 170)2 + (163 - 170)2 + (168 - 170)2 + (168 - 170)2 + (170 - 10

170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. (3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A,用(x,y)表示从乙班 10 名同学中抽 中两名身高不低于 173 cm 的同学的身高,则所有的基本事件有 (181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173), (178,176),(176,173),共 10 个基本事件, 而事件 A 含有(181,176),(179,176),(178,176),(176,173),共 4 个基本事件, 4 2 故 P(A)= = . 10 5 22.(本小题满分 12 分)近年为,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为

厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的分类垃圾箱.为调查居民生活垃 圾分类投放情况, 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾, 数据统计如下(单 位:吨): “厨余垃圾”箱 厨余增圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率 P; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱,“可回收物”箱,“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a、b、c,其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a、b、c 的方差 s2 最大时,写出 a、b、c 的 值(结论不要求证明),并求出此时 s2 的值. [解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 P= = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设“生活垃圾投放错误”为事件 A,则事件 A 表示“生活垃圾投放正确”.事件 A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余增圾量、 “可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里 其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A )= 7 3 所以 P(A)=1-P( A )=1- = . 10 10 (3)当 a=600,b=0,c=0 时,方差 s2 取得最大值. 1 因为 x = (a+b+c)=200, 3 1 所以 s2= [(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000. 3 [名题点睛] 本题结合一个特殊设计的表格给出各类数据,显然,可用的与不可用的数 据均在表中,合理应用表中的数据是求解本题的关键.在求解事件的概率时,可考虑利用对 立事件求解题.在限定条件下,可根据条件及方差公式判断何时“方差最大”,抓住这一关 键性的条件,结合就容易产生. 400+240+60 7 = , 1 000 10


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