广东省清远市第一中学实验学校2015-2016学年高二数学上学期期中试题


清远市一中实验学校 2015—2016 学年度第一学期期中考试试卷 高二年级数学科试卷
说明: 1.本试卷共 4 页,满分为 150 分,答题时间为 120 分钟。 2.请将答案写在答题卡上,在本试卷上作答,答案无效。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列给出的赋值语句中正确的是 ( A. x =-x B. 5 = M ) C. B=A=3 ) D. x +y = 0

2.如果输入 n=2,那么执行右图中算法的结果是 ( A.输出 3 C.输出 5 B.输出 4 D.程序出错,输不出任何结果

第一步,输入 n. 第二步,n=n+1. 第三步,n=n+2. 第四步,输出 n.

3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,则第 999 次出现正面朝上的概率是 ( ) A.

1 999

B.

1 1000

C.

999 1000

D.

1 2

4. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为 ( ) A. 99 B. 101 C. 102 D. 49 )

5.在下列各图中,两个变量具有线性相关关系的图是(

(1) A.(1)(2)

(2 ) B.(1)(3)

(3 ) C.(2)(4)

(4) D.(2)(3) )

6.一个容量为 1 000 的样本分成若干组,已知某组的频率为 0.4,则该组的频数是( A.400 B.40 C.4 ( D.600 )

7. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC 的面积为

1

A.

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3 ) D.6

8.按照程序框图(如右图)执行,第 3 个输出的数是( A.3
2

B.4

C.5

9.若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ? x | A. 1 B. 2 C. -1

? ?

1 ? ? x ? 2? ,则 a 的值为( 2 ?
D. -2 ) D.



10.在半径为 2 的球 O 内任取一点 P,则|OP|>1 的概率为 ( A.

7 8

B.

5 6

C.

3 4

1 2

第 4 题图

11.对于任意实数 a、b、c、d,命题① 若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc ;② 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ③ 若ac ? bc , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则
2 2

1 1 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd . a b

其中真命题的个数是 ( A.1 B.2

) C.3 D.4

?x ? y ? 2 ? 12.设 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M( x , y )为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?


OA

?

OM 的取值范围为



) C. ?0,2? D. ?? 1,2?

A. ?? 1,0?

B. ?0,1?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.有 A、B、C 三种零件,其中 B 种零件 300 个,C 种零件 200 个,采用分层抽样方法抽取 一个容量为 45 的样本,A 种零件被抽取 20 个, C 种零件被抽取 10 个,三种零件总共有 ________个。 14.若| a |=1,|

b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则 a 与 b 的夹角为________。

15.从某市参加高中数学建模竞赛的 1008 份试卷中随机 抽取一个容量为 54 的样本,考查竞赛的成绩分布, 将样本分成 6 组,绘成频率分布直方图如图所示,从左

2

到右各小组的小矩形的高的比为 1:1:4:6:4:2, 据此估计该市在这次竞赛中,成绩高于 80 分的学生总人数为 16.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的计算步骤、解答过程. 17.(本题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的 若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 乙 82 92 81 95 79 80 78 75 95 83 88 80 93 90 84 85 人。

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两 个)分析,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由 参考公式: s
2

?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ... ? ( x n ? x) 2 ] n
2

18.(本题满分 10 分)若不等式 x

? ax ? b ? 0

的解集为是

?2,3?

(1)求 a , b 的值;
2

(2)求不等式 bx

? ax ? 1 ? 0

的解集。

19. (本题满分 12 分) 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况, 对某班 M 名学生暑期参加 体育锻炼的次数进行了统计,得到如下的频率分布表与直方图:

组 别 1 2 3 4

锻炼次 频数(人) 数 2 11 16 15

频率

0.04 0.22

0.30
3

5 6 合计 2 0.04 1.00

(1)求频率分布表中 M 、 d 、

e 及频率分布直方图中 f 的值;

(2)求参加锻炼次数的众数(直接写出答案,不要求计算过程);

(3)若参加锻炼次数不少于 18 次为及格,估计这次体育锻炼的及格率。

20.(本题满分 12 分)某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数 据

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1) 画出散点图,并判断广告费与销售额是否具有相关关系;

? ? bx ? a ; (2) 根据表中提供的数据,用最小二乘法求出 y 与 x 的回归方程 y
(3) 预测销售额为 115 万元时,大约需要多少万元广告费。

? ? bx ? a, 其中 b ? 参考公式:回归方程为 y

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx.

21.(本题满分 12 分)在△ABC 中, a (1) 求 cos

? 3 , b ? 2 6 , ? B ? 2? A
(2) 求

A 的值;

c 的值。

4

22. (本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 满足 a n (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn

?

3 1 s n ? (n ? N * ) 4 2

? nan ,

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

5

2015~2016 学年度第一学期清远市第一中学实验学校期中考试 高二年级数学科答案 一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C 9 D 10 A 11 A 12 C

二.填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 13. 900 ; 14. 120° ;15. 336 ;16. 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参 加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 乙 82 92 81 95 79 80 78 75 95 83 88 80 93 90 84 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两 个)分析,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由 解:

……3 分 (2)派甲参加比赛比较合适。

1 x甲 ? (82 ? 81 ? 79 ? 78 ? 95 ? 88 ? 93 ? 84) ? 85 ……5 分 8 1 x乙 ? (92 ? 95 ? 80 ? 75 ? 83 ? 80 ? 90 ? 85) ? 85 ……7 分 8 1 2 2 2 2 2 2 s甲 ? ( [ 82 - 85) ? (81 - 85) ? (79 - 85) ? (78 - 85) ? (95 - 85) ? 8
2 2 2 ( 88 - 85 ) ? (93 - 85 ) ? ( 84 - 85 ) ] ? 35.5

……9 分

1 2 2 2 2 2 s乙2 ? ?? 75 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?83 ? 85? ? ?85 ? 85? ? ? 8

? 90 ? 85?

2

2 2 ? ? 92 ? 85? ? ? 95 ? 85? ? ? 41 ?

……11 分

6

∵ x甲 ? x乙 , s甲2 ? s乙2 ,∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。

……12 分

18.(本题满分 10 分)若不等式 x

2

? ax ? b ? 0
2

的解集为是

?2,3?

,

(1)求 a , b 的值;(2)求不等式 bx

? ax ? 1 ? 0
的解集是

的解集。

解:(1)由题得:不等式

?x | 2 ? x ? 3?
…………2 分

∴ 2 和 3 是方程

的两个根

则 ?

?2 ? 3 ? a ?2 ? 3 ? ?b

……………4 分(代入 2 和 3 得方程组也可得分)

解得 ?

?a ? 5 ?b ? ?6

…………6 分

(2) 不等式

即为

…………7 分

不等式

可化为

…………8 分

解得 ?

1 1 ?x?? 2 3

…………9 分

∴所求不等式的解集是 ? x | ?

? ?

1 1? ?x?? ? 2 3?

…………10 分

19. (本题满分 12 分) 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况, 对某班 M 名学生暑期参加 体育锻炼的次数进行了统计,得到如下的频率分布表与直方图:

组 锻炼次数 别 1 2 0.04
7

频数(人)

频率

2 3 4 5 6 合计

11 16 15

0.22

0.30

2

0.04 1.00

(1)求 M 、 d 、

e 、 f 的值;(2)求参加锻炼次数的众数;

(3)若参加锻炼次数不少于 18 次为及格,估计这次体育锻炼的及格率。

解:(1)

…………………………2 分

…………………………4 分

c?


16 ? 0.32 50

,f ?

0.32 ? 0.08 4

,e ?

4 ? 0.08 ………………………………6 50

(2)众数为

10 ? 14 ? 12 2

………………………………………8 分

(3) (0.08+0.04)×100%=12% , ∴估计这次体育锻炼的及格率为 12% ………………………………12 分

20.(本题满分 12 分)某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数 据 x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

8

(1) 画出散点图,并判断广告费与销售额是否具有相关关系;

? ? bx ? a ; (2) 根据表中提供的数据,用最小二乘法求出 y 与 x 的回归方程 y
(3) 预测销售额为 115 万元时,大约需要多少万广告费?









:

b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? xi2 ? nx
i ?1

2

,

a ? y ? bx. 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 = 1380
解:(1)散点图(略),由图可判断:广告费与销售额具有相关关系。……4 分 (2) x ?

1 (2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8) ? 5 5

, y?

1 (30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70) ? 50 5

……6 分

? x y = 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 =1380
i ?1 i i

5

……7 分

?x
i ?1

5

2 i

= 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 = 145
2 2 2 2 2

……8 分

b?

?x y
i ?1 5 i

5

i

? nx y
=

?x
i ?1

2 i

? nx

2

1380 ? 5 ? 5 ? 50 = 6 .5 145 ? 5 ? 5 2

……9 分

a ? y ? b x = 50 ? 6.5 ? 5 = 17.5
^

……10 分

∴线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5

……11 分

(3)由题得: y ? 115, 6.5 ? x ? 17.5 ? 115 ,得 x ? 15

……12 分

21.(本题满分 12 分)在△ABC 中, a (1) 求 cos

? 3 , b ? 2 6 , ? B ? 2? A

A 的值;

(2)求

c 的值。
9

解:(1)由正弦定理得:

a b ? sin A sin B


……2 分

∵ ?B 得

? 2? A

a b ? , ……3 分 sin A sin 2 A
……5 分

a b ? sin A 2 sin A cos A

∴ cos A ?

b 2 6 6 ? ? 2a 2 ? 3 3
b2 ? c2 ? a2 2bc

……7 分

(2)由余弦定理得: cos A ?

……9 分



6 (2 6 ) 2 ? c 2 ? 32 ,解得 c ? 3 2 ? 2 6c

? 3或c ? 5

……12 分

22.

(本题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn

满足 a n ?

3 1 s n ? (n ? N * ) 4 2

? nan ,

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

解: (1)∵ an ?

3 1 3 1 ∴ an ?1 ? S n ?1 ? (n ? 2) Sn ? (n ? N ? ) 4 2 4 2 3 3 两式相减,得 an ? an ?1 ? ( S n ? S n ?1 ) ? an ……3 分 4 4


……1 分

a 1 an ? an ?1 , n ? 4(n ? 2). 4 an ?1

……4 分

又 a1 ?

3 1 3 1 S1 ? ,即 a1 ? a1 ? ? a1 ? 2 4 2 4 2

……5 分 ……6 分

?{an } 是首项为 2 ,公比是 4 的等比数列
∴ an

? 2 ? 4n ?1 ? 2 ? 22 n ?2 ? 22 n ?1 . ? n ? an ? n ? 22 n ?1.
……8 分

……7 分

(2) bn

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22 n ?1



……9 分 ② ……10 分 ……11 分

4Tn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? ? ? (n ? 1) ? 22 n ?1 ? n ? 22 n ?1
①-②,得

?3Tn ? (2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ) ? n ? 22 n ?1.

10

故 Tn ?

1 [(3n ? 1) ? 22 n ?1 ? 2]. 9

……12 分

11


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