高中数学人教B版选修2-1同步练习:3.1.1空间向量的线性运算(含答案)


3.1.1 空间向量的线性运算

一、选择题 1.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法错误的是( A.a 与 b 的长度相等 C.a 与 b 所在的直线平行 [答案] C [解析] 由相反向量定义可知 A 正确,当 a,b 为零向量时,a=b,B 正确,a 与 b 所在 的直线可能平行也可能共线,故 C 错误,D 正确. → → → → 2.空间四边形 ABCD 中,AB=a,BC=b,AD=c,则CD等于( A.a+b-c C.a-b-c [答案] B → → → [解析] CD=CB+BD=-b+c-a,故选 B. → 3.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,与向量AD相等的向量共有( A.1 个 C.3 个 [答案] C → → → → [解析] 与向量AD相等的向量是BC,A1D1,B1C1,共 3 个. → → → → 4.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,AD=b,AA1=c,则D1B等 于( ) A.a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.-a+b+c [答案] C → → → → [解析] D1B=D1A1+A1A+AB =-b+(-c)+a=a-b-c.故选 C 5.空间四边形 ABCD 中,若 E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,则下列 各式中成立的是( ) B .2 个 D.4 个 ) B.c-a-b D.b-a+c ) )

B.a 与 b 可能相等 D.a 与 b 的相反向量

→ → → → A.EB+BF+EH+GH=0

→ → → → B.EB+FC+EH+GE=0 → → → → C.EF+FG+EH+GH=0 → → → → D.EF-FB+CG+GH=0 [答案] B [解析] 由于 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,所以四边形 EFGH 为平 → → → → 行四边形,其中EH=FG,且FC=BF,而 E,B,F,G 四点构成一个封闭图形,首尾相接 → → → → 的向量的和为零向量,即有EB+FC+EH+GE=0. 6.如图所示的空间四边形 ABCD 中,M,G 分别是 BC,CD 的中点, → → → 则MG-AB+AD等于( 3→ A. DB 2 → C.3GM [答案] B → → → → → → → [解析] MG-AB+AD=MG+BD=MG+2MG → =3MG. 二、填空题 → → → 7.设 A,B,C,D 为空间任意四点,则AC-BC+BD=________. → [答案] AD → → → → → → → [解析] AC-BC+BD=AC+CB+BD=AD. → → → → 8 .在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,向量表达式 AB - CD + BC - DA 的化简结果为 ________. → [答案] 2AC → → → → → → → → → → → [解析] AB-CD+BC-DA=(AB+BC)-(CD+DA)=AC-CA=2AC. 三、解答题 → 9.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,(1)与向量AB相等的向量有多少个? → (2)与向量AA1的模相等的向量有多少个? ) → B.3MG → D.2MG

→ → → [解析] (1)有 3 个:A1B1,DC,D1C1. → → → → → → → (2)有 7 个:BB1,CC1,DD1,B1B,C1C,D1D,A1A.

一、选择题 → → → → 1.如图所示,空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c, 点 M 在 OA 上,且OM → → =2MA,N 为 BC 中点,则MN等于( 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2 [答案] B → → → 1 → → 2→ [解析] MN=ON-OM= (OB+OC)- OA 2 3 1 2 2 1 1 = (b+c)- a=- a+ b+ c.∴应选 B. 2 3 3 2 2 → → 2. 已知 G 是正方形 ABCD 的中心, 点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点, 则PA+PB+ → → PC+PD=( → A.4PG → C.2PG [答案] A [解析] → → → → → → → → → → → → → → PA+PB+PC+PD=PG+GA+PG+GB+PG+GC+PG+GD=4PG+(GA+ ) → B.3PG → D.PG )

→ → → GC)+(GB+GD), ∵ABCD 是正方形,G 是它的中心, → → → → → ∴GA+GC=GB+GD=0,故原式=4PG. → → → → 3.设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形 ABCD 是 ( ) A.空间四边形 C.等腰梯形 B.平行四边形 D.矩形

[答案] B [解析] 画图利用空间向量的运算法则首尾相接 → → → → → → AO+OB=AB,DO+OC=DC, → → ∴AB=DC.故选 B. 4.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′ ,点 E 是 A′C′的中点,点 F 是 AE 的三等分 1 → 点,且 AF= EF,则AF等于( 2 1→ 1 → → A.AA′+ AB+ AD 2 2 1 → 1→ 1 → B. AA′+ AB+ AD 2 2 2 1 → 1→ 1 → C. AA′+ AB+ AD 2 6 6 1 → 1→ 1 → D. AA′+ AB+ AD 3 6 6 [答案] D → 1→ 1 → → [解析] AF= AE= (AA′+A′E) 3 3 1 → 1 1 → = AA′+ × A′C′ 3 3 2 1 → 1 → → = AA′+ (A′B′+A′D′) 3 6 1 → 1 → 1 → = AA′+ A′B′+ A′D′. 3 6 6 故选 D. 二、填空题 → 1→ 2→ → 5.已知 A,B,C 三点不共线,O 是平面 ABC 外任一点,若由OP= OA+ OB+λOC确 5 3 定的一点 P 与 A,B,C 三点共面,则 λ=________. [答案] 2 15 )

[解析] 由 P 与 A、B、C 三点共面, 1 2 2 ∴ + +λ=1,解得 λ= . 5 3 15 → → 6.已知空间四边形 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a-5b+8c,对角线 AC,BD 的中点 → 分别为 E,F,则EF=________. 5 [答案] 3a- b+3c 2

[解析] 连接 BE, → 1 → → 1 → → ∵BE= (BA+BC)= (-AB+BC), 2 2 → 1→ 1 → → 1 → → BF= BD= (CD-CB)= (CD+BC), 2 2 2 → → → 又∵EF=BF-BE, → 1 → → 1 → → ∴EF= (CD+BC)- (-AB+BC) 2 2 1 → → 1 = (CD+AB)= (5a-5b+8c+a-2c) 2 2 1 = (6a-5b+6c), 2 5 → ∴EF=3a- b+3c. 2 → → → 7.四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设OA=a,OC=b,OP=c, → 点 E 为 PC 的中点且BE=xa+yb+zc,由 x,y,z 的值分别为________________.

1 1 [答案] -1,- , 2 2 1→ → → → [解析] BE=BC+CE=-a+ CP 2 1 → → 1 1 =-a+ (CO+OP)=-a- b+ c. 2 2 2 1 1 故 x=-1,y=- ,z= . 2 2 三、解答题 8.A 是△BCD 所在平面外一点,M,N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若 BD=4 试 求 MN 的长.

[解析] 如图连 AM 并延长与 BC 相交于 E,又连 AN 并延长与 CD 相交于 F,则 E、F

分别是 BC 和 CD 之中点, → → → 由MN=AN-AM 2→ 2→ = AF- AE 3 3 2 → → 2→ = (AF-AE)= EF 3 3 2 → → 2 1 → 1→ = (CF-CE)= ( CD- CB) 3 32 2 1 → → 1→ = (CD-CB)= BD, 3 3 → 1→ 4 ∴|MN|= |BD|= . 3 3 9.如图所示,已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,M、N → → → → 分别为 PC、PD 上的点,且 PM?MC=2?1,N 为 PD 中点,求满足MN=xAB+yAD+zAP 的实数 x、y、z 的值.

→ → → [解析] 在 PD 上取一点 F,使 PF?FD=2?1,连结 MF,则MN=MF+FN, → → → 1→ 1→ 而FN=DN-DF= DP- DP 2 3 1→ 1 → → = DP= (AP-AD), 6 6 2→ → 2 → 2→ MF= CD= BA=- AB. 3 3 3 2→ 1 → 1→ → ∴MN=- AB- AD+ AP, 3 6 6 2 1 1 ∴x=- ,y=- ,z= . 3 6 6


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