高中数学第1部分第二章2.12.1.3&2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系课件新人教A版必修


理解教材新知 2.1 2.1.3 & 2.1.4 把握热点考向

知识点一 知识点二

第 二 章

考点一 考点二 考点三

应用创新演练

数学来源于生活,服务于生活,立体几何中的问
题要注意联系现实生活的实物模型,这样可以把抽象 的问题具体化、形象化.比如 观察教室,教室墙面、地面、天花板均可抽象成 平面,把日光灯所在的线段抽象成一条直线.

问题1:上述问题中日光灯管所在直线与墙面、地面、天

花板有何位置关系?
提示:平行或相交(垂直). 问题2:假如不小心一支铅笔掉在地面上,那么铅笔所在 的直线与地面有何关系? 提示:直线在平面内.

问题3:上述问题1、2中直线与平面的公共点个数如何?
提示:直线与平面平行,无公共点,直线与平面相交只 有1个公共点,直线在平面内有无数个公共点.

直线与平面的位置关系
直线a在平面α 外 直线a与平 面α 相交 直线a与 平面α 平行 没有 公共点

位置关系

直线a在 平面α 内

公共点

无数个
公共点

一个
公共点

位置关系

直线a在 平面α 内

直线a在平面α 外 直线a与平 面α 相交 直线a与 平面α 平行

符号表示

a?α

a∩α=A

a∥α

图形表示

观察拿在手中的两本书,我们可以想象两本书为两
个平面. 问题1:两本书所在的平面可以平行吗?公共点的 个数是多少? 提示:可以,无公共点.

问题2:两本书所在的平面可以相交吗?公共点的
个数是多少? 提示:可以,有无数个.

两个平面的位置关系 位置关系 两平面 平行 两平面 α∩β=l 有 无数 个公共点 图示 表示法 α∥ β 公共点个数 没有公共点

相交

(在一条直线上)

1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系.
(1)当直线与平面无公共点时,直线与平面平行. (2)当直线与平面有一个公共点时,直线与平面相交. (3)当直线与平面有两个公共点时,它们就有无数个公共 点,这时直线在平面内.

2.对于平面与平面的位置关系,一般不考虑平面重合.

[例1]

下列命题:

①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α; ③若直线a∥b,直线b?α,则a∥α; ④若直线a∥b,b?α,那么直线a就平行于平面α内 的无数条直线.

其中真命题是________.
[思路点拨] 可按直线与平面位置关系的不同定义

逐一判断.

[精解详析]

对于①,直线l虽然与平面α内的无数条

直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α,①
是假命题.对于②,∵直线a在平面α外,包括两种情况: a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行,②是假命题.对 于③,∵直线a∥b,b?α,则只能说明a和b无公共点,但 a可能在平面α内,∴a不一定平行于α,③是假命题.对 于④,∵a∥b,b?α,那么a?α或a∥α,∴a与平面α内的 无数条直线平行,④是真命题.

[答案]



[一点通]

空间中直线与平面只有三种位置关系:

直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行. 在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑 到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图 形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图

形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.

1.圆台的母线与圆台的底面的位置关系是

(

)

A.相交
C.母线在底面内

B.平行
D.异面

解析:圆台的母线与圆台的底面只有一个交点,故 其位置关系为相交. 答案:A

2.如图所示,A′B与长方体ABCD—A′B′C′D′ 的六个面所在的平面有什么位置关系?

解:∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点,
∴直线A′B在平面ABB′A′内. ∵直线A′B与平面ABCD,BCC′B′都有且只有一个公共点 B,∴直线A′B与平面ABCD,BCC′B′相交.∵直线A′B与 平面ADD′A′,A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,∴直 线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′相交. ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,

∴直线A′B与平面DCC′D′平行.

[例2]

(1)平面α内有无数条直线与平面β平行,问

α∥β是否正确,为什么? (2)平面α内的所有直线与平面β都平行,问α∥β是

否正确,为什么?
[思路点拨] (1)无数条直线不能代表所有直线,结

合平面与平面平行的定义,举出反例即可;(2)平面α内 的所有直线与平面β都平行,结合平面与平面平行的定 义即可判断.

[精解详析]

(1)不正确.

如图所示,设α∩β=l,则在 平面α内与l平行的直线可以有无

数条:a1,a2,…,an,…,它们
是一组平行线,这时a1,a2,…,an,…与平面β都 平行(因为a1,a2,…,an,…与平面β无交点),但此 时α与β不平行,α∩β=l.

(2)正确. 平面α 内所有直线与平面β 平行,则平面α 与平

面β 无交点,符合平面与平面平行的定义.

[一点通]

两个平面的位置关系同平面内两条直线

的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如果两个平 面有一个公共点,那么由公理3可知,这两个平面相交于

过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么
就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面 的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且 只有一条公共直线.若平面α 与β 平行,记作α∥β;若 平面α 与β 相交,且交线为l,记作α∩β=l.

3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互 相平行,那么两个平面的位置关系一定是( A.平行 C.平行或相交 B.相交 D.不能确定 )

解析:由分别在两个平面内的
两直线平行判定两平面是相交 或平行.解答本题可逆向考虑 画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同 样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,

再作出选择(如图所示).
答案:C

4.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视

为一组,则共有________组互相平行的面.与其
中一个侧面相交的面共有________个.

解析:六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直
接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱 共有8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行 的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系. 答案:4 6

[例3]

(12分)已知:直线a∥b,a∩平面α=P.求

证:直线b与平面α相交. [思路点拨] 直接证不易推出时,可考虑尝试反

证法,找出矛盾即可.

[精解详析]

如图,

∵a∥b,∴a和b确定平面β, ∵a∩α=P,∴平面α和平面β相交

于过P点的直线l.

(4分)

∵在平面β内l和两条平行直线a,b中的一条直线a相交, ∴l必和b相交于Q, 即b∩l=Q, (8分)

又因为b不在平面α内(若b在α内,则α和β都过两相 交直线b和l,因此α和β重合,a在α内,与已知矛盾),

故直线b和平面α相交.

(12分)

[一点通]

对于直线与平面位置关系的判定及应

用,当不易直接推证时,可用反证法.

5.如图所示,A∈l,A∈α,B?α,B∈l, 求证:直线l和平面α相交. 证明:由已知直线l和α有公共点A,

∴直线l不平行于平面α,
∴假设直线l和α不相交,则l?α. ∵B∈l,∴B∈α.这与已知B?α矛盾. ∴直线l和平面α相交.

1.直线在平面外包括(1)直线与平面相交,(2) 直线与平面平行. 2.画两个平行平面时,要注意把表示平面的平 行四边形画成对应边平行,画两相交平面时注意被

遮挡部分画成虚线.


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