【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 42 直线与圆考点规范练 文 北师大版


考点规范练 42

直线与圆、圆与圆的位置关系

考点规范练 B 册第 31 页 基础巩固组 2 2 2 2 1.点 M(a,b)是圆 x +y =r 内异于圆心的一点,则直线 ax+by=r 与圆的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.需要讨论确定 答案:A 2 2 2 2 解析:由题意知 a +b <r ,所以圆心(0,0)到直线 ax+by-r =0 的距离 d=>r,即直线与圆相离,无交点. 2 2 2.(2015 安徽,文 8)直线 3x+4y=b 与圆 x +y -2x-2y+1=0 相切,则 b 的值是( ) A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.2 或 12 答案:D 2 2 解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1) +(y-1) =1,其圆心为(1,1),半径为 1,则圆心到直线 3x+4y=b 的距离 d==1,所以 b=2 或 b=12. 2 2 3.已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线, 切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.4 C.6 D.2?导学号 32470809? 答案:C 解析:依题意,直线 l 经过圆 C 的圆心(2,1),因此 2+a-1=0,所以 a=-1,因此点 A 的坐标为(-4,-1). 又圆 C 的半径 r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=.又|AC|=2,所以|AB|==6. 2 2 2 2 4.若圆 x +y -ax+2y+1=0 与圆 x +y =1 关于直线 y=x-1 对称,过点 C(-a,a)的圆 P 与 y 轴相切,则圆心 P 的轨迹方程为( ) 2 A.y -4x+4y+8=0 2 B.y +2x-2y+2=0 2 C.y +4x-4y+8=0 2 D.y -2x-y-1=0 答案:C 2 2 2 2 解析:由圆 x +y -ax+2y+1=0 与圆 x +y =1 关于直线 y=x-1 对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的 中点在直线 y=x-1 上,故可得 a=2,即点 C(-2,2),所以过点 C(-2,2)且与 y 轴相切的圆 P 的圆心的轨 2 2 2 2 迹方程为(x+2) +(y-2) =x ,整理得 y +4x-4y+8=0. 2 2 5.一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率 为( ) A.-或B.-或C.-或D.-或-?导学号 32470810? 答案:D 解析:如图,作出点 P(-2,-3)关于 y 轴的对称点 P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长 线过点 P0.故设反射光线为 y=k(x-2)-3,即 kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离 d==1,解得 k=-或 k=-.

6.(2015 河北保定二模)已知圆 C:(x-3) +(y-5) =5,过圆心 C 作直线 l 交圆于 A,B 两点,交 y 轴于点 P,且 2,则直线 l 的方程为 . 答案:2x-y-1=0 或 2x+y-11=0 解析:∵过圆心 C 作直线 l 交圆于 A,B 两点,交 y 轴于点 P,且 2, ∴||=||,即||=3||=3. 设 P 点坐标为(0,b), 1

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则=3. 解得 b=11,或 b=-1. 故直线 l 的方程为, 即 2x-y-1=0 或 2x+y-11=0. 2 2 2 7.(2015 湖南,文 13)若直线 3x-4y+5=0 与圆 x +y =r (r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐 标原点),则 r= . 答案:2 解析:如图所示,由题意知,圆心 O 到直线 3x-4y+5=0 的距离|OC|==1,故圆的半径 r==2.

8.已知两圆 x +y -2x-6y-1=0 和 x +y -10x-12y+m=0,m<61. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)求当 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 2 2 2 2 解:两圆的标准方程为(x-1) +(y-3) =11,(x-5) +(y-6) =61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6),半径分别为. (1)当两圆外切时,, 解得 m=25+10. (2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离 5, 故只有=5, 解得 m=25-10. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 2 2 2 2 (x +y -2x-6y-1)-(x +y -10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0, ∴公共弦长为 2=2. 2 2 9.已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|=,求直线 l 的倾斜角. (1)证明:将已知直线 l 化为 y-1=m(x-1). 故直线 l 恒过定点 P(1,1). 因为=1<, 故点 P(1,1)在已知圆 C 内, 从而直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (2)解:圆半径 r=,圆心 C 到直线 l 的距离为 d=, 由点到直线的距离公式得,解得 m=±, 故直线的斜率为±,从而直线 l 的倾斜角为.?导学号 32470811? 能力提升组 10.若直线 y=x+b 与曲线 y=3-有公共点,则 b 的取值范围是( ) A.[1-2,1+2] B.[1-,3] C.[-1,1+2] D.[1-2,3]?导学号 32470812? 答案:D 2 2 解析:y=3-变形为(x-2) +(y-3) =4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2 为半径的下半圆,如图 所示.

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若直线 y=x+b 与曲线 y=3-有公共点,只需直线 y=x+b 在图中两直线之间(包括图中两条直 线),y=x+b 与下半圆相切时,圆心到直线 y=x+b 的距离为 2, 即=2,解得 b=1-2 或 b=1+2(舍去), ∴b 的取值范围为 1-2≤b≤3.故选 D. 2 2 11.(2015 广东,理 5)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+=0 或 2x+y-=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+=0 或 2x-y-=0 答案:A 解析:设与直线 2x+y+1=0 平行的直线方程为 2x+y+m=0(m≠1), 2 2 因为直线 2x+y+m=0 与圆 x +y =5 相切,即点(0,0)到直线 2x+y+m=0 的距离为,所以,|m|=5. 故所求直线的方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 2 2 12.(2015 辽宁锦州一模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y=kx-2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .?导学 号 32470813? 答案: 2 2 2 2 解析:∵圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,整理得(x-4) +y =1,即圆 C 是以(4,0)为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C':(x-4)2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d, 2 则 d=≤2,即 3k -4k≤0, ∴0≤k≤.∴k 的最大值是. 13.(2015 江苏,10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 2 2 答案:(x-1) +y =2 解析:(方法一)设 A(1,0).由 mx-y-2m-1=0,得 m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点 P(2,-1),即该方程表 示所有过定点 P 的直线系方程. 当直线与 AP 垂直时,所求圆的半径最大. 此时,半径为

|AP|=.
故所求圆的标准方程为(x-1) +y =2. (方法二)设圆的半径为 r,根据直线与圆相切的关系得 r=, 当 m<0 时,1+<1,故 1+无最大值; 当 m=0 时,r=1; 2 当 m>0 时,m +1≥2m(当且仅当 m=1 时取等号). 所以 r≤,即 rmax=, 2 2 故半径最大的圆的方程为(x-1) +y =2. 2 2 14.已知圆 O:x +y =4 和点 M(1,a), (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程; (2)若 a=,过点 M 的圆的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值. 解:(1)由条件知点 M 在圆 O 上, 2 所以 1+a =4,解得 a=±. 当 a=时,点 M 为(1,),kOM=,k 切线=-, 此时切线方程为 y-=-(x-1),即 x+y-4=0. 当 a=-时,点 M 为(1,-), 3
2 2

kOM=-,k 切线=,
此时切线方程为 y+(x-1),即 x-y-4=0. 所以所求的切线方程为 x+y-4=0,或 x-y-4=0. (2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0), 2 则=|OM| =3. 于是|AC|=2, |BD|=2. 所以|AC|+|BD| =2+2. 2 则(|AC|+|BD|) =4(4-+4-+2) =4[5+2] =4(5+2). 因为 2d1d2≤=3, 所以,当且仅当 d1=d2=时取等号. 所以. 2 所以(|AC|+|BD|) ≤4×=40. 所以|AC|+|BD|≤2, 即|AC|+|BD|的最大值为 2.

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