第3讲 点、直线、平面之间的位置关系


点、直线、平面 之间的位置关系

1.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、
“图形语言”列表 公理 1 图形 语言 如果两个不重合的平 如果一条直线上 过不在一条直线 面有一个公共点,那 文字 的两点在一个平 上的三点,有且 语言 面内,那么这条直 么它们有且只有一条 只有一个平面. 线在此平面内. 过该点的公共直线. 公理 2 公理 3

公理 1 公理 2 公理 3 ?A∈l,B∈l, A,B,C 不共线 P∈α,P∈β? ? 符号 ? ? ?A,B,C 确定 ?α∩β=l, ? ?A∈α,B∈α ? ? 语言 平面 α. ?P∈l. ? l?α. 公理 2 的三条推论:
推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平 面; 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理 4:平行于同一条直线的两条直线_______.
等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那 么这两个角_________________.

2.空间线、面之间的位置关系

3.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的_____________,叫做异面直线 a 与 b 所成的角,其范围是(0°,90°].

1.互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分( A.4 B.5 C.7 D.8

)

2.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是

“这两条直线没有公共点”的( A.充分非必要条件
C.充要条件

)

B.必要非充分条件
D.非充分非必要条件

3.(2010年全国)直三棱柱ABC-A1B1C1 中,若∠BAC= 90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

4.长方体 ABCD-A1B1C1D1中,既与 AB 共面也与 CC1 共面

的棱的条数为( A.3

)

B.4

C.5

D.6
)

5.A∈α,B∈α,A∈l,B∈l,P∈l,则(

A.P?α
C.l?α

B.P?α
D.P∈α

考点1

平面的基本性质

例1:如图 13-3-1,在四面体 ABCD 中作截 面 PQR,PQ,CB 的延长线交于 M,

RQ,DB 的延长线交于 N,RP,DC 的
延长线交于 K. 求证:M,N,K 三点共线. 图 13-3-1

? PQ∩CB=M, 证明: RQ∩DB=N, ? ? RP∩DC=K
K 三点共线.

? M,N,K∈平面 ?? ? M,N,K∈平面

BCD, PQR

?M,N,K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上,即 M,N,

要证明M,N,K 三点共线,由公理 3 可知,只要

证明M,N,K 都在平面 BCD 与平面PQR 的交线上即可.证明多
点共线问题:(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条 直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——两相 交平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面 或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.

【18】 .如图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴 的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A, A?, B, B? 分别为,

? ' ? ? ? CD C?D? , DE , D ' E ' 的中点, O1 , O1' , O2,O2 分别为

CD, C ' D ', DE , D ' E ' 的中点. (1)证明: O1' , A' , O2 , B 四点共面;
(2)设 G 为 AA? 中点,延长 A?O1? 到 H ? ,使得 O1 H ? A O1 .
' ' ' '

证明: BO2 ? 平面H B G .
' ' ' '

? ? 【18】 .证明: (1)如图 1,? A, A?分别为CD, C ?D? 中点,

?O1? A? / /O1 A .
连接 BO2 ,

? 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到,

? AO1 / / BO2

? O1? A? / / BO2
?O1? , A?, O2 , B 共面.





(2)将 AO1 延长至 H ,使得 O H 1

? O1 A ,连接 HO1? , HB, H ?H ,如图.

? 由平移性质得 O1?O2? ∥ HB ,且 O1?O2? ? HB ,

? BO2? / / HO1?
? , H ?H ? A?H ?, ?O1?H ?H ? ?GA?H ? ? π , ? A?G ? H ?O1 2

??GA?H ? ? ?O1? H ?H .
? H ? GH ?A ? π . ??H ?O1 2

?O1? H ? H ?G . ? BO2? ? H ?G .

?O1?O2? ? B?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B?O2? ? O2?O2 ? O2? , ?O1?O2? ? 平面B?BO2O2? .

? O1?O2? ? BO2? .
? BO2? ? H ?B? .

?H?B? ? H?G ? H? ,,
? BO2? ? 平面H ?B?G.

【互动探究】 3.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中 点,则这四个点不共面的一个图是( )

【互动探究】 1.下列推断中,错误的个数是( )

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α;②A,B,C∈α,A,

B, C∈β, 且 A,B,C 不共线?α、β重合;③l?α,A∈l?A?α.
A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.0 个

2.E,F,G,H 是三棱锥 A-BCD 棱 AB,AD,CD,CB 上
的点,延长 EF,HG 交于 P,则点 P( A.一定在直线 AC 上 C.只在平面 BCD 内 )

B.一定在直线 BD 上 D.只在平面 ABD 内

考点2

空间两直线的位置关系

例2:如图 13-3-2,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,

F 分别是 AB1,BC1的中点,则以下结论不成立的是(
A.EF 与 BB1 垂直 B.EF 与 BD 垂直

)

C.EF 与 CD 异面
D.EF 与 A1C1 异面 图 13-3-2

4.(2011 年四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命 题正确的是(

)

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

考点3 异面直线所成的角 例 3:(2011 年上海)如图 13-3-3 已知 ABCD-A1B1C1D1 是 底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA1=2.求: (1)异面直线 BD 与 AB1 所成的角的余弦值;

(2)四面体 AB1D1C 的体积.

图 13-3-3

解析:(1)如图13-3-3,连接DC1,BC1,易知DC1∥AB1, ∴∠BDC1是异面直线BD与AB1所成的角. 在∠BDC1中,DC1=BC1= 5,BD= 2, 2 2 10 ∴cos∠BDC= = 10 . 5 (2)连接AC,CB1,CD1,则所求四面体的体积 1 2 V=VABCD-A1B1C1D1 -4×VC-B1C1D1 =2-4×3=3.
求异面直线所成角的基本方法就是平移,有时候 平移两条直线,有时候只需要平移一条直线,直到得到两条相交 直线,最后在三角形或四边形中解决问题.

【互动探究】 5.正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB的中点为M, DD′的中点为N,异面直线B′M与CN所成的角是( A.0° B.45° C.60° D.90° )

考点4 立体几何中的探究问题 例4:在长方体 ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点 P(如图 13-3-4,其中 P 点不在对角线B1D1上). (1)过 P 点在空间作一直线 l,使 l∥直线 BD, 应该如何作图?并说明理由; (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,

使 m 与直线 BD 成 α 角,其中

? π? α∈?0,2?, ? ?

这样的直线有几条,应该如何作图?

图 13-3-4

解析: (1)连接 B1D1, 在平面 A1C1 内过 P 作直线 l, l∥B1D1, 使 则 l 即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线 BD. (2)在平面 A1C1 内作直线 m,使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, ∵BD∥B1D1,∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角. 即直线 m 为所求作的直线. 由图知 m 与 BD 是异面直线, m 与 BD 所成的角 且 π 当 x=2时,这样的直线 m 有且只有一条. π 当 α≠2时,这样的直线 m 有两条.
? π? α∈?0,2?. ? ?

【互动探究】 6.(2010 年江西)如图 13-3-5 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这 样的直线 l 可以作( A.1 条

)
B.2 条 C.3 条 D.4 条

解析:考查空间感和线线夹角的计算和
判断,重点考查学生分类、化归转化的能力.

第一类:通过点 A 位于三条棱之间的直线有
一条对角线AC1;第二类:在图形外部和每 图13-3-5 条棱的外角和另2 条棱夹角相等,有3 条,合计4 条.

1.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、 线、面位置关系的基础,三个公理也是立体几何作图和逻辑推理

的依据.公理 1 判断直线在平面内的依据;公理 2 的作用是确定
平面,这是把立体几何转化成平面几何的依据;公理 3 是证明三(多) 点共线或三线共点的依据. 2.理解空间中直线与直线的位置关系,掌握异面直线的两种 判断方法:

(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行 或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而 否定假设肯定两条直线异面. (2)客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点 的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.

1.平面几何中有些概念和性质,推广到空间不一定成立.例
如:“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”,“同时 垂直于一条直线的两条直线平行”等性质在空间都不成立.

2.正确理解异面直线的定义,是“不同在任何一个平面内的 两条直线”,而不能理解成“不在同一个平面内的两条直线”. 3.直线在平面内也叫平面经过直线,如果直线不在平面内, 记作:l?α,包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.


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