导数与函数的单调性、极值、最值问题 课件


第3讲

导数与函数的单调性、极值、最值 问题

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高考定位

高考对导数计算的考查贯穿于与之有关的每一道题

目之中,函数的单调性、极值与最值均是高考命题的重点内容, 在选择题、填空题、解答题中都有涉及,试题难度不大.

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真题感悟 (2015· 全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性;

(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
1 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x -a. 若 a≤0,则 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若 a>0,则当 所以
? 1? x∈?0,a?时,f′(x)>0;当 ? ? ?1 ? x∈?a,+∞?时,f′(x)<0. ? ?

? ?1 ? 1? f(x)在?0,a?上单调递增,在?a,+∞?上单调递减. ? ? ? ?
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(2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当 a>0 时,
?1? ? 1 1? 1 f(x)在 x=a处取得最大值,最大值为 f ?a?=ln a+a?1-a?=-ln a ? ? ? ?

+a-1. 因此 f
?1? ? ?>2a-2 ?a?

等价于 ln a+a-1<0.

令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当 0<a<1 时,g(a)<0;当 a>1 时,g(a)>0. 因此,a 的取值范围是(0,1).

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考点整合 1.导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内 可导,如果f′(x)>0,则y=f(x)在该区间内为增函数;如

果f′(x)<0,则y=f(x)在该区间内为减函数.
(2)f′(x)>0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,例

如y=2x3在(-∞,+∞)上递增,但并不是都有f′(x)>0,
同样f′(x)<0是f(x)递减的充分非必要条件.

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2.极值的判别方法 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时,如果在 x0 附近的左侧 f′(x) > 0 ,右 侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条 件是点 x0 两侧导数异号,而不是 f′(x) = 0.此外,函数不可导的 点也可能是函数的极值点,而且极值是一个局部概念,极值

的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小.
3.闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数,一定有最大值和最小值,其最大值 是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值 中的最大者,最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内

函数的所有极小值中的最小者.
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热点一 导数与函数的单调性

[微题型1] 求函数的单调区间
1-a 【例 1-1】(2015· 济南模拟)已知函数 f(x)=ln x-ax+ x - 1,a∈R. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)当 0≤a< 时,讨论 f(x)的单调性. 2

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2 (1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+x+x -1,x∈(0,+∞),所以 f′(x)

(x-1)(x+2) = ,x∈(0,+∞). x2 由 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-2(舍去), 所以当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 故当 a=-1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区 间为(0,1). 1-a a-1 1 (2)因为 f(x)=ln x-ax+ x -1,所以 f′(x)=x -a+ 2 = x ax2-x+1-a - ,x∈(0,+∞). x2 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).
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①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),当 x∈(0,1)时,g(x) >0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x∈(1,+∞)时,g(x) <0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 1 1 2 ②当 0<a<2时,由 f′(x)=0,即 ax -x+1-a=0,解得 x=1 或a 1 -1,此时a-1>1>0,所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x) <0,函数 函数
? ? 1 f(x)单调递减;x∈?1,a-1?时,g(x)<0,此时 ? ?

f′(x)>0, f′(x)<0,

?1 ? f(x)单调递增;x∈?a-1,+∞?时,g(x)>0,此时 ? ?

函数 f(x)单调递减.
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综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)
? ? 1 1 上单调递增; 当 0<a<2时, 函数 f(x)在(0, 1)上单调递减, 在?1,a-1? ? ? ?1 ? 上单调递增,在?a-1,+∞?上单调递减. ? ?

探究提高

(1) 当f(x) 不含参数时,可通过解不等式 f′(x) > 0( 或 f′(x)

<0)直接得到单调递增(或递减)区间. (2)讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数 情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的 解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依

据根的大小进行分类讨论,在不能通过因式分解求出根的情况时
根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是 在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.
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[微题型2] 已知单调性求参数的范围
【例 1-2】 (2015· 广州期末)设函数 f(x)=x2+ax-ln x, a∈R, 若 f ( x) 在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围.
解 1 f′(x)=2x+a-x .

∵f(x)在区间(0,1]上是减函数, ∴f′(x)≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立, 1 即 2x+a-x ≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立, 1 ∴a≤x -2x 对任意 x∈(0,1]恒成立.
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1 令 g(x)=x -2x, ∴a≤g(x)min, 易知 g(x)在(0,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-1, ∴a≤-1.

探究提高 已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用
条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取 值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的 取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.

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【训练 1】 (2015· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x 4 =-3处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)e ,讨论 g(x)的单调性.
解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x, 4 因为 f(x)在 x=-3处取得极值, 所以
? 4? f′?-3?=0, ? ?

x

? 4? 16a 8 16 1 ? ? - = 即 3a· 9 +2· 3 -3=0,解得 a=2. ? 3?
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(2)由(1)得 故

?1 3 ? 2 x g(x)=?2x +x ?e , ? ?

?3 2 ? x ?1 3 ? 2 x g′(x)=?2x +2x?e +?2x +x ?e ? ? ? ?

?1 3 5 2 ? x =?2x +2x +2x?e ? ?

1 = x(x+1)(x+4)ex. 2 令 g′(x)=0, 解得 x=0,x=-1 或 x=-4.

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当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数; 当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数; 当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;

当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在 (-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.

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热点二 导数与函数的极值、最值

[微题型1] 求函数的极值(或最值)
【例 2-1】 (2015· 南昌模拟)设函数 f(x)=x3-kx2+x(k∈R). (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k<0 时,求函数 f(x)在[k,-k]上的最小值 m 和最大值 M.



(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),

f′(x)=1+a-2x-3x2. -1- 4+3a -1+ 4+3a 令 f′(x)=0, 得 x1= , x2= , x1<x2. 3 3 所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;
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当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1, 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1, 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,所以 f(x) -1+ 4+3a 在 x=x2 = 处取得最大值. 3
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又f(0)=1,f(1)=a,

所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;
当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值; 当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值. 探究提高 求函数在闭区间上的最值的步骤简记为:求导→求根 →求根所对应的函数值与端点的函数值→比较大小得结论.求函数

在非闭区间上的最值的步骤:第一步,求导数f′(x);第二步,判断
函数f(x)的单调性;第三步,下结论.

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[微题型2] 与极值点个数有关的参数问题
【例 2-2】 (2015· 合肥模拟)已知函数 f(x)=ax2-ex,a∈R,f′(x)是 f(x)的导函数(e 为自然对数的底数).若 f(x)有两个极值点 x1,x2, 求实数 a 的取值范围.



法一 若 f(x)有两个极值点 x1,x2,则 x1,

x2 是方程 f′(x)=0 的两个根.
x e f′(x)=2ax-ex=0,显然 x≠0,故 2a= x ,

(x-1)ex ex 令 h(x)= x ,则 h′(x)= . x2 若 x<0,则 h(x)单调递减,且 h(x)<0.
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若 x>0,当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减, 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上递增,h(x)min=h(1)=e. ex 要使 f(x)有两个极值点,则需满足 2a= x 在(0,+∞)上有两个不同 e 解,故 2a>e,即 a> , 2 故a 法二
?e ? 的取值范围为?2,+∞?. ? ?

设 g(x)=f′(x)=2ax-ex,则 g′(x)=2a-ex,

且 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根, 当 a≤0 时,g′(x)<0 恒成立,g(x)单调递减,方程 g(x)=0 不可能 有两个根;
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当 a>0 时,由 g′(x)=0 得 x=ln 2a, 当 x∈(-∞,ln 2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当 x∈(ln 2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, e ∴g(x)max=g(ln 2a)=2aln 2a-2a>0,解得 a>2. 故a
?e ? 的取值范围是?2,+∞?. ? ?

探究提高 极值点的个数,一般是使f′(x)=0方程根的个数,一般 情况下导函数若可以化成二次函数,我们可以利用判别式研究,

若不是,我们可以借助导函数的性质及图象研究.

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【训练 2】已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值.



2(5x-2)(x-2) 2 (1)当 a=-4 时, 由 f′(x)= =0 得 x= 5 x
? 2? x∈?0,5?或 ? ?

或 x=2,由 f′(x)>0 得 故函数

x∈(2,+∞),

? 2? f(x)的单调递增区间为?0,5?和(2,+∞). ? ?

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(10x+a)(2x+a) a (2)因为 f′(x)= ,a<0,由 f′(x)=0 得 x=- 10 2 x a 或 x=-2. ? a? 当 x∈?0,-10?时,f(x)单调递增. ? ? ? a a? 当 x∈?-10,-2?时,f(x)单调递减; ? ? ? a ? 当 x∈?-2,+∞?时,f(x)单调递增. ? ? ? a? 2 易知 f(x)=(2x+a) x≥0,且 f?-2?=0. ? ? a ①当- ≤1 时, 2 即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+ a2=8,得 a=± 2 2-2,均不符合题意.
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a ②当 1<-2≤4 时, 即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 题意. a ③当- >4 时, 2 即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 处取 得,而 f(1)=8, 解得 a=± 2 2-2,不符合 a<-8 的条件;由 f(4)=2(64+16a +a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去), 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小 值为 f(4)=8,符合题意. 综上有 a=-10.
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? a? f?-2?=0,不符合 ? ?

1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间

不能用“∪”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.
2. 可导函数在闭区间 [a , b] 上的最值,就是函数在该区间上的极 值及端点值中的最大值与最小值. 3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,也有

可能极小值大于极大值;
(2) 对于可导函数 f(x) ,“f(x) 在 x = x0 处的导数 f′(x) = 0”是“f(x) 在x=x0处取得极值”的必要不充分条件;
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(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变负

的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数
的极小值点. 4.极值与最值的区别与联系 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义区间而言,是在整体范围内讨论问

题,是一个整体性概念.
(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不 一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函 数的极值则可能不止一个,也可能没有.
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利用导数研究函数单调性和求极值、最值
导数与函数的单调性练习题
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