河南省驻马店市确山二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年河南省驻马店市确山二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(?UM)∪N=() A.{2} B.{3} C.{2,3,4} D.{0,1,2,3,4} 2. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 表示同一函数的是() A. C. ,且 a≠1) B. D. ,且 a≠1)

3. (5 分)若 f:A→B 能构成映射,下列说法正确的有() (1)A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一; (2)A 中的多个元素可以在 B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在 A 中有相同的原像; (4)B 中的任一元素在 A 中必须有像. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 4. (5 分)方程 4x ﹣5x+6=0 的根所在的区间为() A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0)
3

D.0 个

D.(0,1)

5. (5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B. l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

6. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣1 B.

若 f(a)= ,则 a=() C . ﹣1 或 D.1 或

7. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

8. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x+b(b 为常数) ,则 f (﹣1)=() A.3 B . ﹣3 C. 1 D.﹣1

2

9. (5 分)设 A.a<b<c

, B.a<c<b
2

,c=lnπ,则() C.c<a<b D.b<a<c

10. (5 分)函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 在 (﹣∞,4)上为减函数,则实数 a 的取值范围 是() A.a≤﹣3 B.a≤3 C . a≤ 5 D.a=﹣3 11. (5 分)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣ x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值为() A.4 B. 5 C. 6 D.7 12. (5 分)函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能 是(
x

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (lg2+lg5)+log23log34+lne=. 14. (5 分)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=. 15. (5 分)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,12 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运 动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.
2

16. (5 分)如图正方形 OABC 的边长为 1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原

图形的周长是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行 四边形.求证:MN∥平面 PAD.

18. (12 分)已知 A={x|x ﹣4=0},B={x|ax﹣6=0},且 B 是 A 的子集. (Ⅰ)求 a 的取值集合 M; (Ⅱ)写出集合 M 的所有非空真子集. 19. (12 分)棱长为 a 的正方体 AC1 中,设 M、N、E、F 分别为棱 A1B1、A1D1、C1D1、B1C1 的中点. (1)求证:E、F、B、D 四点共面; (2)求证:面 AMN∥面 EFBD.

2

20. (12 分)函数 f(x)=

是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f( )= .

(1)求实数 a、b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论.

21. (12 分)设 a>0,f(x)= (Ⅰ)求 a 的值;

+

是 R 上的偶函数.

(Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式 f(2x﹣1)>e+ .

22. (12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当 每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

2014-2015 学年河南省驻马店市确山二中高一(上)期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(?UM)∪N=() A.{2} B.{3} C.{2,3,4} D.{0,1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 补集为在全集 U 中不属于 M 的元素,然后与 N 的并集为属于 CUM 或属于 N,求出 即可. 解答: 解:根据全集 U={0,1,2,3,4},得到 cU ={3,4},所以(CUM)∪N={2,3, 4} 故选 C 点评: 本题考查补集及并集的运算,属于基础题. 2. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 表示同一函数的是() A. C. ,且 a≠1) B. D. ,且 a≠1)
M

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 阅读型. 分析: 分析给出的四个选项是否与函数 y=x 为同一函数,关键看给出的四个函数的定义域 和对应关系是否与函数 y=x 一致,对四个选项逐一判断即可得到正确结论. 解答: 解:函数 y=x 的定义域为 R,

函数

=

,与函数 y=x 的解析式不同,所以不是同一函数;

的定义域是{x|x≠0},所以与函数 y=x 的定义域不同,不是同一函数; 函数 一函数; 函数 ,与函数为同一函数. 的定义域是{x|x>0},与函数 y=x 的定义域不同,不是同

故选 D. 点评: 本题考查两个函数是否为同一函数的判断,判断两个函数是否为同一函数,关键是 判断两个函数的定义域是否相同,对应关系是否一致,为基础题. 3. (5 分)若 f:A→B 能构成映射,下列说法正确的有() (1)A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一; (2)A 中的多个元素可以在 B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在 A 中有相同的原像; (4)B 中的任一元素在 A 中必须有像. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.0 个

考点: 映射. 专题: 集合. 分析: 根据映射的概念直接判断即可. 解答: 解:根据映射的定义:给出 A,B 两个非空集合及一个对应关系 f,在对应关系 f 的 作用下,对集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有唯一确定的像与之相对应.若 f:A→B 能构成映射,那么,A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一,故结论(1)正确,结论(3) 不正确;A 中的多个元素可以在 B 中有相同的像,故结论(2)正确.B 中的元素未必有原像, 结论(4)不正确. 故选:B 点评: 本题考查映射的概念,属于基础题. 4. (5 分)方程 4x ﹣5x+6=0 的根所在的区间为() A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0)
3

D.(0,1)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 设出与方程所对应的函数,分别求出 x 取﹣3,﹣2,﹣1,0,1 时的函数值,由函数 零点的存在定理可得答案. 3 3 解答: 解:由方程 4x ﹣5x+6=0,令 f(x)=4x ﹣5x+6, 3 ∵f(﹣3)=4×(﹣3) ﹣5×(﹣3)+6=﹣87<0, 3 f(﹣2)=4×(﹣2) ﹣5×(﹣2)+6=﹣16<0, 3 f(﹣1)=4×(﹣1) ﹣5×(﹣1)+6=7>0, f(0)=6>0,

f(1)=4×1 ﹣5×1+6=5>0. 3 ∴方程 4x ﹣5x+6=0 的根所在的区间为(﹣2,﹣1) . 点评: 本题考查了函数零点的判定定理,考查了函数值得求法,是基础题. 5. (5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B. l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 考点: 平面的基本性质及推论;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为 90°;判断出 B 对;通过举常见的图 形中的边、面的关系说明命题错误. 解答: 解:对于 A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A 错; 对于 B,∵l1⊥l2,∴l1,l2 所成的角是 90°,又∵l2∥l3∴l1,l3 所成的角是 90°∴l1⊥l3,B 对; 对于 C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故 C 错; 对于 D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故 D 错. 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面 的位置关系得到启示.

3

6. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣1 B.

若 f(a)= ,则 a=() C . ﹣1 或 D.1 或

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 按照分段函数的分类标准,在各个区间上,构造求解,并根据区间对所求的解,进 行恰当的取舍. 解答: 解:令 f(a)=







解之得 a= 或﹣1, 故选:C. 点评: 已知函数值,求对应的自变量值,是根据方程思想,构造方程进行求解.对于分段 函数来说,要按照分段函数的分类标准,在各个区间上,构造求解,并根据区间对所求的解, 进行恰当的取舍.

7. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 阅读型. 分析: 利用三视图的作图法则,对选项判断,A 的三视图相同,圆锥,四棱锥的两个三视图 相同,棱台都不相同,推出选项即可. 解答: 解:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正 视图和侧视图相同, 所以,正确答案为 D. 故选 D 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,三视图的投影规则是 主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 8. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x+b(b 为常数) ,则 f (﹣1)=() A.3 B . ﹣3 C. 1 D.﹣1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x+b(b 为常数) ,可得 f(0) 2 =b=0,f(x)=x +2x.可得 f(1)=3.利用 f(﹣1)=﹣f(1)即可得出. 2 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x+b(b 为常数) , ∴f(0)=b=0, 2 ∴f(x)=x +2x. ∴f(1)=3. ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣3. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的奇偶性,考查了计算能力,属于基础题.
2 2

9. (5 分)设 A.a<b<c

, B.a<c<b

,c=lnπ,则() C.c<a<b D.b<a<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 证明题.

分析: 利用对数函数和指数函数的单调性, 比较,进而得到三者的大小关系. 解答: 解:∵ < =0,

与 0 比较,

和 lnπ 与 1 进行

=1,lnπ>lne=1,

∴c>b>a, 故选 A. 点评: 本题考查了对数值大小的比较方法,一般找中间量“0”或“1”,以及转化为底数相同的 对数(幂) ,再由对数(指数)函数的单调性进行判断,考查了转化思想. 10. (5 分)函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 在 (﹣∞,4)上为减函数,则实数 a 的取值范围 是() A.a≤﹣3 B.a≤3 C . a≤ 5 D.a=﹣3 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 由已知中函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 在 (﹣∞,4)上为减函数,判断出函数图 象的形状,进而根据函数在(﹣∞,4)上为减函数,结合二次函数的性质,可以构造一个关 于 a 的不等式,解不等式即可得到答案. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的图象是开口方向朝上 以直线 x=
2 2

为对称轴的抛物线

由二次函数的性质可得 若函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 在 (﹣∞,4)上为减函数, 则 4≤ 解得:a≤﹣3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,其中熟练掌握二次函数的图象与性质是解 答本题的关键. 11. (5 分)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣ x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值为() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. x 分析: 在同一坐标系内画出三个函数 y=10﹣x,y=x+2,y=2 的图象,以此作出函数 f(x) 图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值. x 解答: 解: 10﹣x 是减函数, x+2 是增函数, 2 是增函数, 令 x+2=10﹣x, x=4, 此时, x+2=10 ﹣x=6,如图:
x

y=x+2 与 y=2 交点是 A、B,y=x+2 与 y=10﹣x 的交点为 C(4,6) , 由上图可知 f(x)的图象如下:

x

C 为最高点,而 C(4,6) ,所以最大值为 6. 故选:C 点评: 本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题 意得出 f(x)的简图. 12. (5 分)函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能 是(

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象.

分析: 本题考查的知识点是函数的图象,由已知中函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象我们不 难分析,当函数 y=f(x)?g(x)有两个零点 M,N,我们可以根据函数 y=f(x)与 y=g(x) 的图象中函数值的符号,分别讨论(﹣∞,M) (M,0) (0,N) (N,+∞)四个区间上函数值 的符号,以确定函数的图象. 解答: 解:∵y=f(x)的有两个零点,并且 g(x)没有零点; ∴函数 y=f(x)?g(x)也有两个零点 M,N, 又∵x=0 时,函数值不存在 ∴y 在 x=0 的函数值也不存在 当 x∈(﹣∞,M)时,y<0; 当 x∈(M,0)时,y>0; 当 x∈(0,N)时,y<0; 当 x∈(N,+∞)时,y>0; 只有 A 中的图象符合要求 故选:A 点评: 要根据已知两个函数的图象,判断未知函数的图象,我们关键是要根据已知条件中 的函数的图象,分析出未知函数零点的个数,及在每个区间上的符号,然后对答案中的图象逐 一进行判断,然后选出符合分析结果的图象. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (lg2+lg5)+log23log34+lne=4. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用导数的运算性质求解即可. 解答: 解: (lg2+lg5)+log23log34+lne=lg(2×5)+log24+1=1+2+1=4 故答案为:4. 点评: 本题考查导数的基本运算,换底公式的应用,考查计算能力. 14. (5 分)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=﹣3. 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意分析,得到 A={0,3},后由根与系数直接间的关系求出 m 的值 解答: 解;∵U={0,1,2,3}、?UA={1,2}, ∴A={0,3}, ∴0、3 是方程 x +mx=0 的两个根, ∴0+3=﹣m, ∴m=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系,关键是由题意得出集合 A. 15. (5 分)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,12 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运 动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 10 人.
2 2

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意画出图形,找出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可. 解答: 解:根据题意得: (15+12)﹣(30﹣8)=27﹣22=5(人) , ∴喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为 5 人, 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15﹣5=10(人) . 故答案为:10 人

点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 16. (5 分)如图正方形 OABC 的边长为 1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原

图形的周长是 8cm. 考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图,由题意求出直观图中 OB 的长度,根据斜二测画法,求出原图形边长,进而可 得原图形的周长. 解答: 解:由题意正方形 OABC 的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,

所以 OB=

cm,对应原图形平行四边形的高为:2

cm,

所以原图形中,OA=BC=1cm,AB=OC= 故原图形的周长为:2×(1+3)=8cm, 故答案为:8cm

=3cm,

点评: 本题考查斜二测直观图,熟练掌握斜二测画不中原图与直观图对应边长之间的关系, 是解答的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行 四边形.求证:MN∥平面 PAD.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: 欲证 MN∥平面 PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 MN 与平面 PAD 内一直线平行,取 PD 的中点 E,连接 AE,EN ,根据平行四边形可知 MN∥AE,而 MN?平面 PAD,AE?平面 PAD,满足定理所需条件. 解答: 证明:取 PD 的中点 E,连接 AE,EN 因为 EN∥AM,EN=AM 所以 AMNE 为平行四边形,则 MN∥AE 而 MN?平面 PAD,AE?平面 PAD ∴MN∥平面 PAD. 点评: 本题主要考查了直线与平面平行的判定,判断或证明线面平行的常用方法有:①利 用线面平行的定义(无公共点) ;②利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ; ③利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?, a∥α??a∥β) . 18. (12 分)已知 A={x|x ﹣4=0},B={x|ax﹣6=0},且 B 是 A 的子集. (Ⅰ)求 a 的取值集合 M; (Ⅱ)写出集合 M 的所有非空真子集. 考点: 子集与真子集. 专题: 阅读型. 分析: 对(I)根据 A 集合中的元素,B?A,分类讨论 B 的可能情况,再求解 a,写出集合 M. n 根据含有 n 个元素的集合的真子集个数是 2 ﹣1,求解(II) . 解答: 解: (Ⅰ)A={2,﹣2}.…(1 分)∵B 是 A 的子集,∴B=?,{2},{﹣2}.…(2 分) ①B=?时,方程 ax﹣6=0 无解,得 a=0;…(3 分) ②B={2}时,方程 ax﹣6=0 的解为 x=2,得 2a﹣6=0,所以 a=3;…(4 分) ③B={﹣2}时,方程 ax﹣6=0 的解为 x=﹣2,得﹣2a﹣6=0,所以 a=﹣3.…(5 分) 所以 a 的取值集合 M={0,3,﹣3}.…(6 分)
2

(Ⅱ)M={0,3,﹣3}的非空真子集为{0},{3},{﹣3},{0,3},{0,﹣3},{3,﹣3}…(12 分) 点评: 本题考查集合的子集问题.含有 n 个元素的集合的子集个数是 2 ,真子集个数是 2 n ﹣1;非空真子集个数是数是 2 ﹣2.
n n

19. (12 分)棱长为 a 的正方体 AC1 中,设 M、N、E、F 分别为棱 A1B1、A1D1、C1D1、B1C1 的中点. (1)求证:E、F、B、D 四点共面; (2)求证:面 AMN∥面 EFBD.

考点: 平面与平面平行的判定;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)只要证明 EF∥BD 即可; (2)利用面面平行的判定定理,只要判断 EF∥MN,FB∥AN,即可. 解答: 证明: (1) 因棱长为 a 的正方体 AC1 中, 设 E、F 分别为棱 A1B1、 A1D1、C1D1、 B1C1 的中点, 所以 EF∥B1D1, 又 B1D1∥BD, 所以 EF∥BD, 所以 E、F、B、D 四点共面; (2)因为 M、N、E、F 分别为棱 A1B1、A1D1、C1D1、B1C1 的中点. 所以 EF∥B1D1∥MN, 即 EF∥MN, 连接 FN,由四边形 A1B1FN 是平行四边形,

所以 FN∥A1B1,又 A1B1∥AB, 所以 FN∥AB,FN=AB, 所以 FB∥AN,又 EF∩FB=F,MN∩AN=N, 所以面 AMN∥面 EFBD. 点评: 本题考查了以正方体为载体的四点共面以及面面平行的判定,关键是正确利用正方 体的性质以及已知为面面平行创造条件.

20. (12 分)函数 f(x)=

是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f( )= .

(1)求实数 a、b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数是奇函数,可得 f(0)=0,再根据 f( )= ,列出关于 a,b 的方程 组,求出即可得解析式; (2)用函数单调性定义证明,任取 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,f(x1)﹣f(x2)作差与 0 比较,从而证明函数的单调性. 解答: 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) 即 =﹣ ,﹣ax+b=﹣ax﹣b,

∴b=0, (或直接利用 f(0)=0,解得 b=0) . ∴f(x)= ∵f( )= , ,



解得 a=1,

∴f(x)= (2)f(x)在(﹣1,1)上是增函数. 证明如下:任取 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2, f(x1)﹣f(x2)= ∵﹣1<x1<x2<1, ∴﹣1<x1x2<1,x1﹣x20, , =

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数. 点评: 本题考查了函数的解析式、函数的奇偶性的应用、函数的单调性的证明,函数单调 性的证明要注意作差后化简到能直接判断符号为止.

21. (12 分)设 a>0,f(x)=

+

是 R 上的偶函数.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式 f(2x﹣1)>e+ .

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数是偶函数建立条件关系即可求 a 的值; (Ⅱ)根据函数单调性的定义即可证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (Ⅲ)结合函数奇偶性和单调性的性质即可解关于 x 的不等式 f(2x﹣1)>e+ .

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= ∴f(﹣x)=f(x) , 即 = + ,

+

是 R 上的偶函数.

整理得(a﹣ ) (

)=0,

∴a﹣ =0, ∵a>0, ∴a=1. (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; 设 0<x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= = ,

∵0<x1<x2,∴





∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数; (Ⅲ)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数且是偶函数; 则不等式 f(2x﹣1)>e+ 等价为 f(|2x﹣1|)>f(1) , 则|2x﹣1|>1, 即 2x﹣1>1 或 2x﹣1<﹣1, 解得 x>1 或 x<0, 即不等式的解集为{x|x>1 或 x<0}. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明,利用函数奇偶性和单调性 之间的关系是解决本题的关键.

22. (12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当 每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 考点: 根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题;压轴题. 分析: (Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可; (Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数,再利用二次函数求最值的知识,要注意函 数定义域优先的原则.作为应用题要注意下好结论. 解答: 解: (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车辆数为 ,

所以这时租出了 88 辆车. (Ⅱ)设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为 整理得 . ,

所以,当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050, 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 307050 元. 点评: 本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最 值. 特别是二次函数的知识得到了充分的考查. 在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表 性的一类问题,非常值得研究.


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