最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编3:三角函数


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最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 3:三角函数 一、选择题 1 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学)若 f ( x ) ? a sin x ? b (a,b 为常数)的最大值是 5,最小值是-1,则 A. ? 、

2 3

a 的值为 b 2 2 B. 、 或? 3 3

( C. ? 、



3 2

D. 、

3 2
的三角形的最大角与最小角

2 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)边长为 的和是( )

( A. B. C. D.



3 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)在钝角△ABC 中,已知 AB= 3 , AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积是 ( )

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 2

D.

3 4

4 .( 天 津 市 六 校 2013 届 高 三 第 二 次 联 考 数 学 理 试 题 ( WORD 版 )) 设 函 数 f(x)=Asin( ?x ?

? )(A>0, ? >0,-

? ? 2? < ? < )的图象关于直线 x= 对称,且周期为 π ,则 f(x) 2 2 3
( )

A.图象过点(0,

1 ) 2

B.最大值为-A

C.图象关于(π ,0)对称

D.在[

5? 2? , ]上是减函数 12 3

5 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是( 3 4 B. 3 3 C. 2
D.3

? )+2 的 3

) ( )

A.

2 3

6 . 天 津 市 新 华 中学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质量 反 馈 数 学 ( 理 ) 试 题) 已 知 t a n ( ? ? ) ? (

?

4

1 ,则 2

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sin 2? ? cos2 ? 的值为( 1 ? cos 2?
A. ?

)

3 5

B. ?

5 6

C. ? 1

D.2

7 . (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)为了得到函数 y ? 象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象

1 3 sin x cos x ? cos 2 x 的图 2
( )

? 个长度单位 12 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

? 个长度单位 12 ? D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

8 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长 分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cosC 的最小值为
2 2 2





A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

9 . (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的 对边,a= 3 ,b= 2 ,且 1+2cos(B+C)=0,则 BC 边上的高等于 ( )

A. 3 -1

B. 3 +1

C.

3-1 2

D.

3+1 2

10. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的点向 左平行移动

? 1 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 得到的 2 3
( )

图象所表示的函数是 A. y = sin (2 x-

?
3

),x ? R ),x ? R

C. y = sin (2 x +

?
3

x ? + ),x ? R 2 6 2? D. y = sin (2 x + ),x ? R 3
B. y = sin (

11 . 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 一 月 考 理 科 数 学 ) 在 ? ABC 中 ,A,B,C 为 内 角 , 且 (

sin A cos A ? sin B cos B ,则?ABC 是
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形





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12. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)设函数 y ? sin( x ?

?
3

) (x∈R),则 f(x)
( )

A.在区间[-π , ? C.在区间[

?
2

]上是减函数

? ? , ]上是增函数 8 4

2? 7? , ] 上是增函数 3 6 ? 5? D.在区间 [ , ] 上是减函数 3 6
B.在区间 [
3

13. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)函数 f(x)=sin2x-4sin xcosx(x∈R)的最小正 周期为 A. ( B. )

? 8

? 4

C.

? 2

D.π

14. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 把函数 y ? sin(2 x ?

?
4

) 的图象向右平移

? 8

个 单位,再 把所得图 象上 各点的横 坐标缩短 到原 来的一半 ,则所得 图象 对应的函 数解析式是 ( A.y=sin(4x+ )

3? ) 8

B.y=sin(4x+

? ) C. y=sin4x 8

D.y=sinx

15. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)函数 y ? ln cos x ? ? 是

?? ? ? ? x ? ? 的图象 2? ? 2

16. (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对 的边分别为 a, b, c ,其中 A ? 120 , b ? 1 ,且 ?ABC 面积为 3 ,则
?

a?b ? sin A ? sin B





A. 21

B.

2 39 3

C. 2 21

D. 2 7

17 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 函 数

f ( x) ?
A.1

3 s i? 2 x n

2

2 xs ? n ? ,( 0 i x

?
2

)则函数 f(x)的最小值为 C.√3 D.-√3





B.-2

18. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)在?ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为 第七项的等差数列的公差,tanB 是以

1 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 3

m

( A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对



19. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别 为 a, b, c , a sin A sin B ? b cos A ?
2

2a ,
( )



b ? a
B. 2 2 C. 3 D. 2

A. 2 3

20. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)将函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? 平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的 则 ? 的最小正值为 A.

? ?

??

? 的图像向右 4?

1 ? 倍,所得图像关于直线 x ? 对称, 2 4
( )

?
8

B.

3? 8

C.

3? 4

D.

?
2

二、填空题 21. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)已知函数 个说法: ①若 ,则 ; ② 的最小正周期是 ; ,给出下列四



在区间

上是增函数;



的图象关于直线

对称.

其中正确说法的序号是______.

22. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的 对边,若 a +b =2012c ,则
2 2 2

tan A? B tan 的值为 tan C ( tan A+ tan B )



23. 天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题) ( 函数 f (x)=Asin (? x+? )(A,?,? 为常数, A>0,

? >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是



m

24. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)函数 f ( x) ? sin(2 x ? 下结论中: ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (

?
3

) (x∈R)的图象为 C,以

2? , 0) 对称; 3 ? 5? ③函数 f(x)在区间 (? , ) 内是增函数; 12 12
④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 则正确的是

11? 对称; 12

? 个单位长度可以得到图象 C. 3
3 ? ? ,且 x ? ( , ) ,则 8 4 2

.(写出所有正确结论的编号)

25. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知 sin x cos x ?

cos x ? sin x ? _________.
26. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)在△ABC 中,若 sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形状为________。 三、解答题 27 .( 天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) . (1)求 函数图象的对称轴方程; (2)求 的单调增区间. 已知函数

(3)当

时,求函数

的最大值,最小值.

28. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) 如 图,在平面直角坐标系 中,以 轴为始边作两个锐角 两点.已知 ,

它们的终边分别与单位圆交于

的横坐标分

别为



(1)求 (2)求 的值.

的值;

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29 . 天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数 (

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos 2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? -

2? . 3

? ? ?? , 上的值域; ? 6 3? ?

(Ⅲ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 区间.

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的单调增 2

30. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) )在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对
?

边,A 为锐角,已知向量 p =(1, 3 cos (1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

? ? A ? A ), q =(2sin ,1-cos2A),且 p ∥ q . 2 2

(2)若 a= 3 ,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边 b,c 的大小.

31. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题) 设函数 f ( x) ? cos( x ? (Ⅰ) 求 f ( x) 的值域; (Ⅱ) 记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 f ( B) ? 1 , b ? 1, c ? 3 , 求 a 的值.

2 x ? ) ? 2cos 2 , x ? R . 3 2

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32. (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)已知向量 a ? (sin x,?1), b ? ? 3 cos x,? ? ,函 数 f ( x) ? a ? b · a ? 2 (1)求函数 f (x) 的最小正周期 T 及单调减区间 (2)已知 a, b, c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角, a ? 2 3 , c ? 4 且 f ( A) ? 1 ,求 A,b 和 △ABC 的面积 S

? ?

? ?

1? 2?

33 .( 2012-2013-2 天 津 一 中 高 三 年 级 数 学 第 四 次 月 考 检 测 试 卷 ( 理 )) 已 知 函 数

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.

? ? 4 2

34. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分 13 分)在△ABC 中,A,C 为锐 角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos 2 A= , sin C = (1)求 cos (A+C ) 的值; (2)若 a-c= 2-1 ,求 a,b,c 的值; (3)已知 tan (? +A+C )=2 ,求

3 5

10 。 10

1 的值。 2 sin ? cos ? + cos 2 ?

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35 . 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 数 学 试 题 ) 本 小 题 满 分 13 分 , 已 知 函 数 ( (

f (x)= 3 sin (2 x-

?
6

)+2 sin 2 (x-

?
12

)(x ? R)

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求使函数 f (x) 取得最大值的 x 集合; (3)若 ? ? (0,

?

5 ) ,且 f (? )= ,求 cos 4? 的值。 3 2

36. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+π /3)- 3 sin x+snxcosx (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m 个单位后的图象关于直线 x=π /2 对称,求 m 的最小正值.
2

37. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),且
5 |AB|=2,

(1)求 cos(α -β )的值; (2)设 α ∈(0,π /2),β ∈(-π /2,0),且 cos(5π /2-β )=-5/13,求 sinα 的值. 38 . 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 已 知 函 数 f ( x ) ( =sin ? x ?

? ?

7? ? 3? ? ? ? +cos ? x ? ? ,x∈R(共 12 分) 4 ? 4 ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 分) (6

m

(2) 已知 cos( ? - ? )= 分)

4 4 ? ,cos( ? + ? )= - ,0< ? < ? ≤ ,求证:[f( ? )] 5 5 2

2

-2=0.(6

39. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)在△ABC 中,A,B 为锐角,角 A,B,C 所 对应的边分别为 a,b,c,且 cos2a= (1)求 A+B 的值; 分) (7 (2)若 a-b= 2 -1,求 a,b,c 的值。 分) (5

10 3 ,sinB= (共 12 分) 10 5

40 . 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x , x ? R .求:
(I) 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

, ] 上的值域. 6 3

??? ???? ??? ???? ? ? 41. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题) 在△ABC 中, AB ? AC ? AB ? AC ? 2 ;(1)

求:AB +AC 的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求 A 的大小.

2

2

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42 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x ? sin( x ? ) , x ? R 2
(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)若 x ? ??

?

? ? ?? , ? ,求函数 f (x) 的值域 ? 12 2 ?

43. (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学)已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos2x. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角 α,β 的终边不共线,且 f(α)=f(β),求 tan(α+β)的值.

44 . (天 津耀华中学 2013 届高三年 级第三次 月考 理科数学 试卷) (本小题 满分 13 分)已知函数

f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R)

(1)求 f (x) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f ( A) ?

1 ,b,a,c 成等差数列,且 2

AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

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最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编:三角函数参考答案 一、选择题 1. B 2. 【答案】B

52 ? 82 ? 7 2 1 cos ? = = 2? 5?8 2 ,所以 ? =60? ,所以最大角与最 【解析】边 7 对角为 ? ,则由余弦定理可知
小角的和为 120 ,选 B. 3. 4. 5. 6. 7. B D C B A
?

8. C 9. 【答案】D

s 【 解 析 】 由 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 , 得 1 ? 2 c o A ?

0 , cA ? os

1 ? ,所以 A? 。有正弦定理得 3 2

3 2 a b ? 2 ? ? ,即 ,因为 b ? a ,所以 B ? A ,即 B ? 。由余弦定 ? sin B ,得 sin B ? sin 4 sin A sin B 2 3
理得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bccos A 得 3 ? 2 ? c 2 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 1 ? 0 ,解得 c ?

2? 6 ,所以 2

BC 边上的高为 h ? c sin B ? 10. 【答案】C

2? 6 2 1? 3 ,选 D. ? ? 2 2 2

【 解 析 】 把 函 数 y = sin x(x ? R) 的 图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 行 移 动 ? 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数

3 y ? sin( x ? ) ,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数 3 2 y ? sin(2 ? x
11. 【答案】D 【解析】由 sin A cos A ? sin B cos B 得 sin 2 A ? sin 2B ? sin(? ? 2B) ,所以 2 A ? 2B 或

?

?
3

) ,所以选 C.

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2 A ? ? ? 2B ,即 A ? B 或 A ? B ?
12. 【答案】B 【解析】当

?
2

,所以三角形为等腰或直角三角形,选 D.

2? 7? 2? ? ? 7? ? ? 3? 时, ,此时函数 ?x? ? ? x? ? ? ,即 ? ? x ? ? 3 6 3 3 3 6 3 3 2

? ? 2? 7? y ? sin( x ? ) 单调递减,所以 y ? sin( x ? ) 在区间 [ , ] 上是增函数,选 B. 3 3 3 6
13. 【答案】C 【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x sin 2 x ? sin 2 x(1 ? 2sin 2 x) ? sin 2 x cos 2 x ? 周期为 T ? 14. 【答案】C 【 解 析 】 把 函 数 y ? sin(2 x ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 C. 4 2

1 sin 4 x ,所以函数的 2

?
4

) 的 图 象 向 右 平 移

y ? sin[2( x ? ) ? ) ? sin 2 x ,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得图象对应 8 4
的函数解析式是 y ? sin[2(2 x)] ? sin 4 x ,选 C. 15. 【答案】A 【解析】函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以排除 B,D.又 0 ? cos x ? 1 ,所以 y ? ln cos x ? 0 , 排除 C,选 A. 16. 【 答 案 】 D S? ABC ?

?

?

? 个 单 位 , 得 到 函 数 8

1 3 1 ? 3 , 所 以 c?4 , 所 以 bc sin1200 ? 3 , 即 c ? 2 2 2

a2 ? b2 ? c22?
2R ?

b o s 1 0 ?0, 所 以 a ? 21 。 因 为 c c 2 2 1

a b ? ? 2R , 所 以 sin A sin B

a 21 a?b 2 R(sin A ? sin B) ? ? 2 7 ,所以 ? ? 2 R ? 2 7 ,选 D. sin A sin A ? sin B sin A ? sin B 3 2

17. 【答案】B 解 , 当 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? 7? ? 7? , 0 ? 2x ? ? , ? 2x ? ? , 所 以 当 2x ? ? 时 , 函 数 f ( x) 有 最 小 值 0? x? 2 6 6 6 6 6 7? 1 f ( x) ? 2sin( ) ? 1 ? 2 ? (? ) ? 1 ? ?2 ,选 B. 6 2 :

?

18. 【答案】B 解:由题意知 a3 ? ?4, a7 ? 4 ,所以 a7 ? a3 ? 3tan A ,所以 tan A ?

a7 ? a3 1 ? 2 . b3 ? , a6 ? 9 ,所以 4 3

m

a6 ? b3 (tan B)3 ,即 tan 3 B ? 27 ,所以 tan B ? 3 ,所以 tan(A ? B ) ?
?

tan A ? tan B 2? 3 ? ? ? 1, 1 ? tan A tanB 1? 2? 3

即 tan C ? 1 ,因为 tan B ? 3 ? 0 ,所以最大值 B ? 90 ,即三角形为锐角三角形,选 B. 19. 【答案】D 解:由正弦定理得

a b 2 , 即 a sin B ? b sin A . 所 以 由 a sin A sin B ? b cos A ? 2a 得 ? sin A sin B b b sin 2 A ? b cos2 A ? 2a ,即 b ? 2a ,所以 ? 2 ,选 D. a

20. 【答案】B 解 : 函 数

?? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 的 图 像 向 右 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 得 到 4? ?

? ? 1 y ? 2sin[2( x ? ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? 2? ) ,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的 倍得到 4 4 2
y ? 2sin(4 x ? 4x ?

?

?
4

4

? 2? ) , 此 时

关 于 直 线

x?

?

? 2? ? 4 ?

?
4

?

?
4

? 2? ?

?
2

? k ? , k ?Z ,所以 2? ?

k ? 0 时, ? 的最小正值为 ? ?
二、填空题 21. 【答案】③④

3? ,选 B. 8

3? 3? k? ? k? ,? ? ? , k ? Z ,所以当 4 8 2

4

对 , 即 当

x?

?

4

时 ,

f ( x) ? sin x cos x ?
【解析】函数

1 1 1 sin 2 x sin 2 x1 = ? sin 2 x2 f ( x1 )= ? f ( x2 ) 2 2 ,若 ,即 2 ,所以
,所以

sin 2 x1 = ? sin 2 x2

,即

sin 2 x1 = sin( ?2 x2 )
T? 2? ??

2 x1 = ? 2 x2 ? 2k?
?



2 x1 =? ? 2 x2 ? 2k? , k ? Z

,所

以①错误; ? ? 2, 所以周期

?
4

?

?x?

?

,所以②错误;当

4 时, 2

?

?

? 2x ?

?
2 ,函数递

x?
增,所以③正确;当 22. 【答案】

3? 3? 1 3? 1 3? 1 f ( ) ? sin 2 ? )= sin ( =? 4 时, 4 2 4 2 2 2 为最小值,所以④正确。

2011 2

sin A sin B tan A? B tan cos Acos B ? sin C sin A sin B tan C ( tan A+ tan B) ( ? ) cos C cos A cos B 【解析】

m

sin A sin B sin A sin B cos C sin A sin B cos C cos Acos B ? = = sinC sin Acos B ? cos A sin B sinC sin A ? B ( ) sin 2 C ? cos C cos Acos B
= ab a 2 ? b 2 ? c 2 2012c 2 ? c 2 2011 。 ? ? ? c2 2ab 2c 2 2
6 2

23. 【答案】

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,所以函 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 数 ) = s 2? n ( ? 2 i + s ?i ? 2 , ( 得 ) = n f (x)= 2 sin (2 x+? ) , 由 f ( 1 2 1 2 6 7? 7? 3? ? , 1 s i( n ? ?) = 所 以 + +? = ? 2k? ,k ? Z , 即 ? = ? 2k? ,k ? Z , 所 以 6 6 2 3
【解析】由图象可知 A ?

2,

+

) =

f ( x) =

? ? 3 6。 2 i n ( ,xf (0)= 2 sin ? 2 ? s 2 + ) ? 3 3 2 2

24. 【答案】①②③

11? 11? 11? ? 11? ? 3? 时, ( f ) ? sin(2 ? ? )= sin( ? )= sin( )= ? 1 ,所以为最小值, 12 12 12 3 6 3 2 11? 2? 2? 2? ? 所以图象 C 关于直线 x ? 对称, 所以①正确。 x ? 当 时,( ) ? sin(2 ? f ? )= sin ? =0 , 12 3 3 3 3 2? ? ? ? 5? 所以图象 C 关于点 ( 时, , 0) 对称;所以②正确。 ? ? 2k? ? x ? ? 2k? ,当 ? ? x ? 3 2 2 12 12 ? 5? ? ? ? 5? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 2 x ? ? ? ? 2x ? ? ,即 ? ? 2 x ? ? ,此时函数单调递增,所 6 6 6 3 3 6 3 2 3 2 ? ? 2? 以③正确。 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ), 3 3 3
【解析】当 x ? 所以④错误,所以正确的是①②③。 25. 【答案】 ?

1 2

【解析】因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 sin x ? cos x ,即 cos x ? sin x ? 0 ,所以 4 2

(cos x ? sin x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?
26. 【答案】等腰三角形 【 解 析 】 在 三 角

1 1 ,所以 cos x ? sin x ? ? 。 2 4





s i ?n A

B ? i Cn ? ( s

B )

, ?s i n B 即 o s C c C

s B n i

?c o s B ? cC o s C

,s所 以 sin B cos2 ? s iB sin C ?c o ? C ) ? 0 , 所 以 C cos n sin( B s B i nC

B ? C ,即三角形为等腰三角形。

m

三、解答题

27.解: (I)

.

…3 分



.



函数图象的对称轴方程是

……5 分

(II)



的单调增区间为

…8 分

(III)

,

…… 10 分

.

……

11 分



时,函数

的最大值为 1,最小值为

.



13 分

28. 解: (Ⅰ)由已知得: ∵ 为锐角













.--------------------6 分

m

(Ⅱ)∵

∴ 为锐角,










2 2

-----------13 分

29.解: (Ⅰ) f ? x ? = ? sin ? x + cos ? x ? +2 cos ? x

=sin 2 ? x+cos2 ? x+sin 2? x+1+cos 2? x

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 依题意得 ,故 ? 的值为 . ? 2 2? 3 ? ? ? ? 5? (Ⅱ)因为 - ? x ? , 所以 - ? 3x + ? , 6 3 4 4 4

?

?? ? -1 ? 2 sin ? 3x + ? ? 2 4? ?
1 ? f ? x ? ? 2+ 2 ,即 f ? x ? 的值域为 ?1,2+ 2 ? ? ?
(Ⅲ)依题意得: g ( x) ? 由 2k? ? 9分

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?

5? ? ≤ 2k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? (k ? Z ) 3 4 3 12 2 ? 2 7? 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? ] (k ? Z ) 3 4 3 12 ≤ 3x ?
30. 【解析】解:(Ⅰ) 由 p ∥ q 得 1 ? cos 2 A ? 3 sin A ,所以 2sin 2 A ? 3 sin A 又 A 为锐角∴ sin A ? 而 a2 ? c2
1 3, cos A ? 2 2
b2 ? c2 ? a 2 m ? 2bc 2

?

? b 2 ? mbc 可以变形为

m

即 cos A ? m ? 1 ,所以 m ? 1 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? 1 , sin A ? 3 2 2 所以 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2
2
2 2 2 又b ?c ?a ? 1 2bc 2

? 2bc ? a 2 即 bc ? a 2

故 S?ABC ? 1 bc sin A ? 1 a 2
2

3 3 3 ? 2 4
4

当且仅当 b ? c ? 3 时, ?ABC 面积的最大值是 3 3 31.解:(I) f ( x) ? cos x cos ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1

2 3

2 3

1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2 1 3 ? cos x ? sin x ? 1 2 2 5? ? sin(x ? ) ? 1 6
因此 f (x) 的值域为 [0,2] (II)由 f ( B) ? 1 得 sin(B ? 又因 0 ? B ? ? ,故 B ?
2

?
6

5? 5? ) ? 1 ? 1 ,即 sin(B ? ) ? 0 , 6 6

.
2 2 2

解法一:由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B, 得a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2.

解法二:由正弦定理 当C ?

3 ? 2? b c ,C ? 或 得 sin C ? ? 2 3 3 sin B sin C
,从而 a ?

?

3 2 2 ? ? 当 C ? ? 时, A ? , 又B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6
故 a 的值为 1 或 2. 32.解: (1) f ( x) ? a ? b ? a ? 2 ? 所以,最小正周期为 T ?

时, A ?

?

b2 ? c2 ? 2 ;

? ?

3 1 ?? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin? 2 x ? ? 2 2 6? ?

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ?? 2

? 2k? ?

?

所以,单调减区间为 [2k? ?

?
6

2 ,2k? ?

?
3

], (k ? Z )

m

(2) f ( A) ? sin? 2 A ?

? ?

??

? ? ? 5? ? ? ?? ? ? 1,? A ? ? 0, ?,2 A ? ? ? ? , ? , 6? 6 ? 6 6 ? ? 2?
,
2

?2A ?
2

?
6
2

?

?
2

,A?

?
3

由 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? 4b ? 4 ? 0 ,解得 b ? 2
2

故S ?

1 bc sin A ? 2 3 2

33.解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z), 故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.…………………2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,………………………………6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 , ], 2 x [ 当 2x ? 当 2x ?

2π ? π .…………………7 分 2

? ? 4 2

? ? [ , ?], 2 x 2 6

? 5? [ , ], …………..9 分 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2 ? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3

m

34.

35.

1 3 f ( x) ? 2 cos x( sin x ? cos c) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 2 2 36.

m

? sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?


?
3

)
?

3 ? 2k? ? ? , k ? Z 2 3 2 ? 7 得k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 12 12 ? 2k? ? 2 x ?

?

故函数f ( x)的单调递减区间为[k? ?

?

12

, k? ?

7? ], k ? Z . 12

y ? 2 sin(2 x ?
(2)
? y ? 2 sin(2 x ? ?2?

?
3

,0 ) ?a ?( m?? y ? 2 sin(2 x ? ??)

?
3

? 2m)

?
3

? 2m)的图象关于直线x ?

?
2

对称.

? 2m ? k? ? (k ? Z ) 3 2 1 ? ? m ? ? (k ? 1)? ? (k ? Z ) 2 12 5 当k ? 0时, m的最小正值为 ? . 12 2 ?

?

?

?

37.解:(1)由题知 (cos ? ? cos?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 2 5 ? 2 ? 2 cos(? ? ?) ? 4 ,所以 cos(? ? ?) ? 3
5

5

5

(2)? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0 ?0 ? ? ? ? ? ? ,又 cos(? ? ?) ? 3 ? sin(? ? ?) ? 4 . 2 2 5 5 而 cos(5? ? ? ) ? ? 5 则 sin ? ? ? 5 ? cos? ? 12 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 33 13 2 13 65 13 38. (1)f(x)=sinxcos

7? 7? 3? 3? +cosxsin +cosxcos +sinxsin 4 4 4 4
1分

1分

=

2 2 2 2 sinxcosxcosx+ sinx 2 2 2 2
1分 1分 1分 1分

= 2 sinx- 2 cosx =2sin(x∴T=2 ? f min (x)=-2

? ) 4

? 2 2 (2)[f( ? )] -2=4sin ( ? - )-2=4· 4
Sin2 ? =sin[( ? + ? )+( ? - ? )] cos2 ? =-

1 ? cos(2? ? ) 2 -2=-2sin ? 2 分 2

?

1分

4 4 9 × =-1 5 5 25

m

3 5 ? 3 0< ? - ? < ∴sin( ? - ? )= 5 2 3 4 4 3 ∴sin2 ? = × +(- )× =0 5 5 5 5 3 39. (1)cos2A=2cos 2 A-1= 5 4 ∴cos 2 A= 5
∵0< ? + ? < ? ∴sin( ? + ? )= ∵A 锐角,∴cosA=

1分 1分 1分

2 5 5
1分

1分

sinA=

5 5 10 10
cosB=

sinB=

B 锐角

3 10 10

1分

cos(A+B)=

2 5 3 10 5 10 5 50 2 · · = = 5 10 5 10 50 2
2分

∴A+B=

? 4

5 a sin A (2)∵ = = 5 = 2 b sin B 10 10
∴?

? ?a ? 2b ?a ? b ? 2 ? 1 ?
1分
2

1分

==>b=1

1分

a= 2
2 2

C=

3? 4

1分

c =a +b -2abcosC=5 ∴c= 5 40. 【解】(I): f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 2 2

? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6

?

m

∴最小正周期 T ? ∵?

?
2

2? ?? , 2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时 f ( x) 为单调递增函数

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? Z 3 6 ? ? 5? ? ? ? (II)解: ∵ f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ,由题意得: ? ? x ? ∴ 2 x ? ? [? , ], 6 6 6 6 6 3 ? 1 ∴ sin(2 x ? ) ? [? ,1] ,∴ f ( x) ?[1, 4] 6 2
∴ f ( x) 值域为 [1, 4] 41.解:(1) AB ? AC ?| AB ? AC |? 2

?

?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ??? ? ? AB ? AC ?| BC |? a ? 2

?b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ? ?bc cos A ? 2

?| AB |2 ? | AC |2 ? b2 ? c 2 ? 8
(2) S?ABC ?

1 bc sin A 2

=

1 bc 1 ? cos 2 A 2
1 2 bc 1 ? ( ) 2 2 bc

=

=

1 (bc)2 ? 4 2

1 b2 ? c2 2 ? ( ) ?4 2 2
= 3

m

当且仅当 42. (1) f ( x) ? sin(2 x ? (2) ?

b=c=2 时 A=

?

? 3

1 ) ? ,T ? ? 6 2

?1 ? 3 3 ? , ? 2? ? 2

43.

π [解析] f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6 π π 3π (1)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z) 2 6 2 π 2π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3 π 2π ∴f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π π (2)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =kπ(k∈Z), 6 6 kπ π 即 x= - (k∈Z), 2 12 π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(- ,0). 12

44.解: (1) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

f (x) 的单调递增区间为 [k? ?
(2)由 f ( A) ? ∵

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z )

1 ? 1 ,得 sin( 2 A ? ) ? 2 6 2

?
6

? 2A ?

?
6

? 2? ?

?
6

,∴ 2 A ?

?
6

?

5? ? ,∴ A ? 6 3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18

m

由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2


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