高一文理分班考试数学试卷1



高一文理分班考试数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共计 10 个小题。在给出的四个选项中只有一个是正确选项) 1.下列事件是随机事件的是 ( ) ①当 x ? 10时, x ? 1 ; lg
2

②当 x ? R, x ? 1 ? 0有解
2

③当 a ? R, 关于x的方程x ? a ? 0 在实数集内有解;④ 当sin ? ? sin ?时,? ? ? A.①② B.②③ C.③④ D.①④ ( )

2.已知集合 A ? {x | y ?

x ? 1}, B ? { y | y ? x 2 , x ? R}, 则A ? B =
D.[-1,+ ? )

A. ? B.[0,+ ? ) C.[1,+ ? ) 3.数列 1,3,6,10,……的一个通项公式是 A. an ? n ? ( n ? 1)
2





B. an ? n ? 1
2

C. an ?

n(n ? 1) 2

D. an ?

n(n ? 1) 2

4.已知集合 A ? {1,3,5,7}, B ? {4,8} 现从集合 A 中任取一个数为 a,从 B 中任取一个数为 b, 则 b>a 的概率为 ( )

1 A. 2

3 B. 4

1 C. 4

1 D. 8
1 ,且当 x ? [?3,?2] , f ( x) ? 4 x , f ( x)
( )

5.设偶函数 f (x) 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ? 则 f (107 .5) ? A.10 B.

1 10

C.-10

D. ?

1 10
( )

6.已知等差数列 {a n } 满足 a5 ? a6 ? 28 ,则其前 10 项之和为 A.140
x

B.280

C.168

D.56

7.设方程 2 ? x ? 0, log 2 x ? x ? 0, log 2 x ? A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a

1 ? 0 的实数根分别为 a, b, c, 则 ( x
2 2 2



D.b<a<c

8. ?ABC三边a, b, c 对应的角分别是 A,B,C。若 c ? a ? b ? 2ab cos 2C ,则角 C 的取值 范围是 A. (0, ( )

?
6

)

B. (0,

?
3

)

C. (

? ?

, ) 6 4
7 4 16 4

D. (

? ?

, ) 6 3
8 4 1 8 9 4 0 0 10 4 0 0

9.甲、乙、丙三名运动员在某次比赛中各射击 20 次,三人成绩如下表 环数 频 数 甲 乙 丙 6 4 3 8

10.若 定 义 在 [-2012,2012] 上 的 函 数 满 足 : 对 任 意 x1 , x2 ?[?2012 ,2012 ] , 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 0 1,且 x>0 时,有 f (x) ? 2011 成立。令 f (x) 的最大值和 1
最小值分别为 M,N,则 M+N 的值为 ( A.2011 B.2012 C.4022 D.4024 二、填空题(每小题 5 分,共计 5 个小题。将正确的答案写在答题卡相应的横线上) 11.已知 tan(? ? ? ) ? 3 , tan(? ? ? ) ? 5 ,则 tan 2? 的值为_________。
2 2 12.已知 x, y 满足 x ? y ? 4 ,则 z ? ( x ? 3) ? ( y ? 3) 的最小值是___________.



13. a ? 5, b ? 3, a ? b ? 7 ,则 a , b 的夹角为_________. 14.设数列 {a n } 的所有项和为 S (1) ,第二项及以后所有项和为 S (2) ,第三项及以后所有项和为

?

?

? ?

? ?

S (3) ,…,第 n 项及以后所有项和为 S (n) 。若数列 {S (n)} 是首项为
数列,则 a n ? _________. 15. 对任意实数x ,函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? 数列 {an }的前15项和为 ?

1 ,公比为 2 的等比 2

1 f ( x) ? f 2 ( x) ? ,设 an ? f 2 (n) ? f (n) , 2

31 ,则 f (15) ? ___________. 16

三、解答题(本大题共计 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) ? sin 2 x

(1)求函数 f (x) 的最大值和最小正周期; (2)设 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,若 cos B ?

1 C 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sin A . 3 3 4

17.(本小题满分 12 分) 在文理分科前,为了了解高一学生成绩情 况,某校抽取部分学生进行一次分科前数 学测试,将所得数据整理后,画出频率分 布直方图 (如图所示) 图中从左到右各小 , 长方形面积之比为 2 : 4 : 17 : 15 : 9 : 3 ,第 二小组频数为 12.

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若成绩在 110 分以上(含 110 分)为优秀,试估计该学校全体高一学生的优秀率是多 少? (3)在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内?请说明理由。

18.(本小题满分 12 分) 某种商品原来定价每件 p 元,每月将卖出 n 件。假设定价上涨 x 成(这里 x 成即

x ,每月卖出数量将减少 y 成,而售货金额变成原来的 z 倍. ,0 ? x ? 10 ) 10 1 (1)设 y ? ax ,其中 a 是满足 ? a ? 1 的常数,用 a 来表示当售货金额最大时 x 的值; 3 2 (2)若 y ? x ,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围。 3

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 1,1,2…它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相加而得到。 求该数列的前 n 项和 S n .

20.(本小题满分 13 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c( x ? R, a ? 0)
2

(1)若函数 a ? 0, c ? ?2, 方程f ( x) ? x 的两个实数根 x1 , x2 满足 x1 ? (0,1), x2 ? (1,2) ,求证:

?4?

b ? ?1 ; a

(2)若函数 f (x) 的最小值为 0,且 a ? b ,求

a ? 2b ? 4c 的最小值。 b?a

21.(本小题满分 14 分)
2 2 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) ,已知不等式 f ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 6 对任意实数 x 均成

2 b 立。 定义数列 {an }, {bn } : a1 ? 3 , an ? f (an ?1 ) ? 3(n ? 2) , n ?
的前 n 项和为 S n 。 (1)求 a, b 的值; (2)求证: S n ?

1 (n ? N * ) , {bn } 数列 2 ? an

1 (n ? N * ) ; 3
2 n?1

(3)求证: an ? 2

? 1(n ? N * )


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