广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题


廷锴纪念中学 2014-2015 高二第二学期理科数学期中考试
一、选择题(共 8 题,每题 5 分,共 40 分) 1.复数 z ? 3 ? 4i 的虚部为( ) A.3 B. 3 ? 4i C. 4i D.4 f?1+Δx?-f?1? 2.设函数 f(x)可导,则 lim 等于( ). 3Δx Δx→0 1 A. f′(1) B.3 f′(1) C. f′(1) D.f′(3) 3 3.在曲线 y ? x 3 ? 6 x 上的一点 P(2,-4)处切线的斜率是( A.2 B. 4 C.6 D.10 1-an 2 = (a≠1,n∈N*)时,在验证当 n=1 时, 1- a




4.在用数学归纳法证明 1+a+a +?+a 等式左边为( A.1 ) C.1+a+a2

2

n+1

B.1+a

D.1+a+a2+a3

5.某电视台连续播放 5 个广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运广告.要求 2 个奥运广告不能连续播放,则不同的播放方式有( ) A.120 种 B.72 种 C.36 种 D.18 种 6. 已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3, 且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x)<2 (x∈R),则不等式 f(x)>2x+1 的解集为( A.(1,+∞) C.(-1,1) B.(-∞,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ) D1 A1 8. ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体, 黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA1→A1D1,?,黑蚂蚁爬行的路线是 AB→BB1,?,它们都遵 循如下规则: 所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线 * (i∈N ) ,设黑白蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个 顶点处,则此时黑白蚂蚁的距离是( ) A. 2 B.1 C.0 D. 3 B1 )

7.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是( A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D.0

C1

D A B

C

二、填空题(共 6 题,30 分) 9.若复数 z ?

2( 2 ? i ) ,则复数 z的模 z ? 1 ? 3i

___

10.以初速度 40m/s 垂直向上抛一物体,第 t 秒时的速度(单位:m/s)为 u = 40 - 10t ,t 秒后此物体达到最高,最大高度是 ___ m a1+a2+?+an? 11.若数列{an}是等差数列,则有数列{bn}?bn= 也是等差数列.类比上述性质, n

?

?

相应地,若数列{cn}为等比数列,且 cn>0(n∈N ),则 dn=________时,{dn}也是等比数列 12.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是_____

*

13.已知函数 f ( x) ? x 2 ?

a ( x ? 0, a ? R)在(0,2)上为减函数,则 a取值范围为 _____ x

14. 为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有 3 种不同颜色可供选择,则共 有_______种不同涂色方案(要求用具体数字作答).

14 题 三、解答题(共 6 题,80 分) 15.(12 分)已知复数 z ? (m ? 8m ? 15) ? (m ? 7m ? 12)i 在复平面内表示的点为 A,实数 m 取
2 2

什么值或范围时,

1)z 为实数?

2)z 为纯虚数?

3)点 A 位于第三象限?

16. (12 分)设 a、b∈R+且 a+b=3,求证: 1 ? a ? 1 ? b ? 10

17. ( 14分)在数列{an }中,a1 = 1,

an+ 1 =

2an 2 + an

(n ? N * ) 2)用数学归纳法加以证明上述猜想。

1)求a2 , a3 ,a4的值,并猜想{an }的通项公式an ;

18. (14 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,1) ,且在点 M(1,f(1) )
3 2

处的切线方程为 8x-y-3=0. 1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; 2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

19.(14 分)设函数 f ( x) = 1)求 、b 的值;

2 3 x + ax 2 + bx + 5c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. 3 2 2)若对于任意的 x ? ?0,3? ,都有 f ( x) > c 成立,求 c 的取值范围.

20.(14 分)已知函数 1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 2)若函数 f ( x) 在区间 内的最小值为



,求 的值.(参考数据



廷锴纪念中学 2014-2015 高二第二学期理科数学期中考试答 案 一、选择题:DACC BBAC













9. 2

10.80

11. n c1 ? c2 ? ? ? cn 13.

12.(?2, 2)
2

?16, ?? ?

14.

18

15.解: (1)当 m ? 7m ? 12 ? 0 化简得(m-4)(m-3)=0 即 m=3 或 m=4 时,z 为实数; 2)当 ? ………4 分

?m 2 ? 8m ? 15 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 5) ? 0 ? , 2 ? ?m ? 7 m ? 12 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 4) ? 0

即 m=5 时,z 为纯虚数.……8 分

3) ? A在第三象限 ?m2 ? 8m ? 15 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 5) ? 0 ? 3 ? m ? 5 ? ? 2 ? ?m ? 7m ? 12 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 4) ? 0 ? 3 ? m ? 4
即 3<m<4 时,对应点在第三象限.……12 分 16.证明:? a, b ? R ?

? 要证 1 ? a ? 1 ? b ? 10
即证 ( 1 ? a ? 1 ? b )2 ? ( 10)2 ??2 分 即证 1 ? a ? 1 ? b ? 2 1 ? a 1 ? b ? 10 ??4 分

即证 (2 1 ? a 1 ? b )2 ? 52 ??7 分 即证 1 ? a ? b ? ab ? 即证 ab ?

25 ??9 分 4

?a ? b ? 3

9 ??10 分 4 a?b 2 9 ) ? 当且仅当 a=b 时等号成立 而 ab ? ( 2 4
所以命题得证 ??12 分

? 即证 2 1 ? a 1 ? b ? 5 ??5 分
17.? a1 ? 1, ? a2 ? a3 ? an ?1 ? 2an 2 ? an ?2 分 ?4 分 a4 ? 2a3 2 ? 2 ? a3 5

2a1 2 ? ; 2 ? a1 3

2a2 1 ? ; 2 ? a2 2

?6 分

2)由 1)猜想 an ?

2 ??7 分 n ?1

证明:①当 n=1, a1 ? 1 ,符合已知;??8 分 ②当 n=k 时,假设猜想成立,则 ak ?

2 ?10 分 k ?1

那么,n=k+1 时,

ak ?1 ?

2ak 2 ? ak

2 2? ? k ?1 2 2? k ?1

4 k ?1 ? 2(k ? 1) ? 2 k ?1 2 2 ? ? k ? 2 (k ? 1) ? 1

?13

? n=k+1 时,命题成立
综上所述,命题对于 ?n ? N 都成立?14 分
*

18.解:1)由

的图象经过 P(0,1) ,知 d=1, ??1 分

所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 1 ??2 分

由在 M(1,f(1) )处的切线方程是 8x-y-3=0,知点M在切线上, 则 f(1)=5; f’(1)=8 ??4 分

?1 ? b ? c ? 1 ? 5 ?b ? c ? 3 ?b ? 2 ??7 分 ?? ?? ? ?3 ? 2b ? c ? 8 ?2b ? c ? 5 ?c ? 1
故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 1
3 2

--------8 分

? f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 1
(Ⅱ)? f ( x) ? 3 x ? 4 x ? 1
' 2

??9 分

? (3 x ? 1)( x ? 1)
令 f ( x) ? 0
'

令 f ( x) ? 0
'

令 f ( x) ? 0
'

1 x ? ? , x ? ?1 3 1 x ? ? , x ? ?1 3 1 ?1 ? x ? ? 3

f ( x) ? ??11 分 f ( x) ? ??13 分 1 3 1 3
-----14 分

3 2 故 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 1的增区间是 (??, ?1), (? , ??) , 减区间是 ( ?1, ? ) .

19.解: (Ⅰ) f ( x) = 2 x + 2ax + b ,??1 分 因为函数 在 及 取得极值,则有 , ??2 分.

'

2

即? í

ì ? f ' (1) = 2 + 2a + b = 0 ??4 分 ' ? f (2) = 8 + 4 a + b = 0 ? ?
, .??6 分

解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) =

2 3 x - 3 x 2 + 4 x + 5c , 3 ' 2 f ( x) = 2x - 6x + 4 = 2( x - 1)( x - 2) .

??8 分 令f ' ( x) = 0, x = 1或x = 2 1,2 ? [0,3] 5 4 f (0) = 5c , f (1) = + 5c , f (2) = + 5c , f (3) = 3 + 5c 3 3 则当 时, 的最小值为 f (0) = 5c .??11 分

??10 分

因为对于任意的
2

,有 f ( x) > c 恒成立, \ f ( x) > c2 , f ( x)min > c2 ??12 分

2

所以 5c > c , 解得 0<c<5, 因此 的取值范围为 (0,5) .??14 分 20:解: (Ⅰ)由 得 ……2 分 ①当 ②当 时, 时, , 综上,当 当 ①当 , 恒成立, ,

f ( x) ? f ( x) ? ??4 分
??5 分 ;

……

3分

f ( x) ?

的单调递增区间是 在 在区间 单调递减, 内单调递增,

时, 可得 时,

单调递增.……6 分

(Ⅱ)结合(Ⅰ)可知:

, 与 ②当 矛盾,舍去; 时, 在区间 …… 8 分 内单调递增, , 与 分 ③当 时, 在区间 内单调递减, , 得到 ④当 时, ,舍去; 在 ……12 分 单调递减, 单调递增, 矛盾,舍去;……10

, 令 故 综上得 在 …… ,则 内为减函数, 14 分 的导 , 通过分析其值的正负 又 , ,

试题分析: 本小题首先利用求导的公式与法则求得函数 数 可得函数的单调性;

(Ⅱ) 本小题主要利用导数分析函数的单调性,根据参数的取值范围得到函数 在区间 上单调性,然后求得目标函数的最值即可.


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