解决数列题的主要策略


解决数列题的主要策略 在处理数列题时,最基本的方法是运用定义及公式来解决,但是有时恰当地使用等差、等比数列的性质能给 人以出奇制胜、耳目一新的感觉;同时在解决数列题时要注意加强与函数的联系,通过相应的函数及其图象 的特征变化地、直观地去认识数列的性质。 一. 用定义和公式解题

1. 在数列

中,前 n 项和

,求



分析:为了求通项公式应先得到关于项的递推公式,由

得,当 n=1 时,



当 ∵

时,

,可得:



∴数列

为等比数列

评析:本题先得到关于项的递推公式,再根据等比数列的定义得出数列的通项公式。

2. 数列

是等差数列,

是数列

的前 n 项和, 已知





的前 n 项和, 求



分析:本题直接用数列的性质做对多数学生来说有困难,可以考虑用公式解题。 解:设等差数列 的公差为 d,则

即 解得

∴数列

是等比数列,其首项为

,公差为



评析:此题运用了等差数列的定义,通项公式与求和公式,这两个公式中共涉及五个量,知道其中的三个可 以求另两个,用定义和公式解题是解决数列问题的基本方法。

3. 已知数列 数列的首项

为正项等比数列,它的前 n 项和为 80,其中最大的项为 54,前 2n 项的和为 6560,试求此 和公比 q。

分析:利用性质解决该题并不方便,可以用公式来解。 解:∵ ∴

依题意有 解得 又∵q>0 ∴q>1 ∴前 n 项中 由 因此有 评析: 在运用等比数列求和公式时要注意公式的应用条件即 , 同时这里运用了整体代换的技巧简化运算, 最大,将 得: 代入式(1)得,

在用公式解题时,要树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,这样才能取得好的效果。 练习: 1. 在数列 A. 中, B. 1 (c 为非零常数)且前 n 项和 C. 0 D. 2 ,则实数 k 等于( )

2. 数列

中,

,当

时,其前 n 项和

满足

,求

的表达式。

二. 用性质解题 1. 已知数列 解法一:∵ ∴公比 是等比数列, ,则 _________。

解法二:∵数列 ∴

是等比数列 为一等比数列,其首项为 1,公比为 2, 为该数列第五项,易

求出其结果为 16。 评析:此题可以用定义也可以用性质完成,用性质考虑可以避开对公比的讨论,同时也简化了运算,提高了 解题速度。

2. 数列

是等差数列,

是数列

的前 n 项和,已知

,求项数 n。

分析一:设数列的公差为 d,由已知可列方程组

由(1)(2)可得 可求出

代入(3)

分析二: ,又如何求 呢? ,又如何求 呢?

评析:用公式来解,运算量很大,因而不可取;巧妙地运用性质,解法很简捷。因而我们在利用定义和公式 这种通法解题的同时,还要恰当地运用性质,往往有事半功倍的效果。 3. 一个等差数列的前 3 项之和为 34 ,最后 3 项之和为 146 ,所有项之和为 360 ,则这个数列共有 ________________项。

分析:

∴n=6 评析:用等差数列的性质解题方法简捷。 练习: 1. 知等差数列 中, ,则 ____________;

2. 等比数列 3. 数列

中,若 是公比为 2 的等比数列,且 中,

,则此数列的前 10 项的积为____________。 ,则 ,且 都大于 0 都大于 0 都大于 0 都小于 0 是数列 _______。 的前 n 项和,则( )

4. 已知等差数列 A. B. C. D.

都小于 0, 都小于 0, 都小于 0, 都小于 0,

三. 用函数思想研究数列问题 1. 在等差数列 解法一:设数列 即 中, ,,问该数列的前多少项和最小?

的公差为 d,由题意得

解不等式组 解得

∴n=10 或 11 时, 解法二:设数列 即

取最小值 的公差为 d,由题意得

∴n=10 或 11 ∴n=10 或 11 时, 解法三:∵ ∴ ∴数列 ∵ ∴抛物线的对称轴是 x=10.5 ∵ ∴n=10 或 11 ∴n=10 或 11 时, 取最小值。 看成 n 的二次函数,将问题转化成 的图象是函数 图象(开口向上的抛物线)上的一系列点 取最小值。

是等差数列

评析:解法一利用了等差数列单调性,所有负项的和最小;解法二中把

函数的最值问题;解法三利用等差数列的前 n 项和构成的数列的图象是抛物线上的一系列点,进而借助二次 函数的图象来求最值,这种数列结合的方法既直观又简捷。

2. 数列 A. B. C. D. 与 与

中,已知

,则对于任意正整数 n 都有( )

的大小关系和 c 有关

的大小关系和 c 无关

分析:∵ ∴当 当 ∴选 B 时, 时, ;当 c=1 时, ;

3. 已知 (1)求证:数列 是等比数列;

,数列

满足



(2)若

,当 n 取何值时,

取最大值,并求出最大值。

解:(1)由等比数列的定义可以证明,并得出

,过程略

(2)

当 即



时,

当 n=7 或 n=8 时, 即 当 即 ∴ 且这两项同时最大 , 时,

评析:数列是定义在正整数集或正整数集的有限子集上的函数,因而数列也有单调性、周期性、最值等性质, 本题通过研究 的符号来得出数列 单调性,进而求出最大值。

4. 已知数列 A. B. C. D. 与

的通项公式是

,其中 a、b 均为正常数,那么



的大小关系是( )

的大小关系不确定

解法一:∵

解法二:

∴数列

是递增的

解法三:

∴数列

是递增的

评析:解法一是通过作差来研究数列的单调性;解法二和解法三则是直接利用简单函数的单调性来得出数列 的单调性的,其中解法三是非常简捷的。 练习:

1. 已知函数 (1)求 a 的值;

的最大值不大于

,又当

时,



(2)设

,求证:



2. 已知数列 A. 最大值为 B. 最大值为

中, ,最小值为 ,最小值不存在

,则下列叙述正确的是( )

C. 最大值不存在,最小值为 D. 最大值为 练习答案: ,最小值为

一. 用定义解题练习:

1. A

2.

二. 用性质解题练习:

1.

2.

3.

4. B

三. 用函数思想研究数列问题练习: 1. 1 2. A


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