2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.7 对数与对数函数


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :2.7
一、选择题 1.(2013·日照联考)设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x),若 g? 等于( ) 1 B.- 2 D.2
x

对数与对数函数
? 1 ?=1 ,则 a ? ?a-1? 4

A.-2 1 C. 2

解析:因为函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=2 ,
1

? 1 ?=1,得 2 1 a--1=1. x 所以 g(x)=2 ,由 g? ? a-1 4 ?a-1? 4
所以 1 1 =-2,a= . a-1 2

答案:C 2. 已知函数 f(x)=a +logax(a>0, 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 l oga2 +6,则 a 的值为( A. 1 2 ) B. 1 4
x

C.2
x

D.4

解析: 由题可知函数 f(x)=a +logax 在[1,2]上是单调函数, 所以其最大值与最小值之 和为 f(1)+f(2)=a+loga1+a +loga2=loga2+6,整理可得 a +a-6=0,解得 a=2 或 a =-3(舍去),故 a=2. 答案:C 1 3.若 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21 -loga 3,则( 2 A.x>y>z C.y>x>z 解析:x=loga 6,y=loga 5,z=loga 7. 因为 0<a<1,所以 y=logax 在(0,+∞ )上是减函数. 又 7> 6> 5,故 y>x>z.选 C. 答案:C 4.已知 lga+lgb=0(a>0,b>0 且 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=- logbx 的图像可能是( )
1
x
2 2

)

B.z>y>x D.z>x>y

A.

B.

C.

D.

解析:由 lga+lgb=0(a>0,b>0,且 a≠1,b≠1),得 ab=1. 若 a>1,则 0<b<1,而 y=-logbx 的图像与 y=logbx 的图像关于 x 轴对称,故选 B. 答案:B

?1? x 5.已知函数 f(x)=? ? -log2x,实数 a,b,c 满足 f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b< ?3?
c),若实数 x0 为方程 f(x)=0 的一个解,那么下列不等式中,不可能 成立的是( ...
A.x0<a C.x0<c B.x0>b D.x0>c )

解析:易知 f(x)在(0,+∞)上是减函数.由 0<a<b<c,知 f(a)>f(b)>f(c). 又 f(a)·f(b)·f(c)<0,故 f(c ) <0,从而 f(a)·f(b)>0. 又 f(x)的图像在(0,+∞)上是一条连续不断的曲线,故 x0>c 不可能成立.选 D. 答案:D 6. 已知函数 f(x)=log2(a-2 )+x-2, 若 f(x)=0 有解, 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.[4,+∞)
x

)

2

解析:方法一:f(x)=log2(a-2 )+x-2=0,得 a-2 =2
2 2

x

x

2-x

4 x x ,即 a-2 = x,令 t=2 (t 2

>0 ),则 t -at+4=0 在 t∈(0,+∞)上有解,令 g(t)=t -at+4,g(0)=4>0,故 满

a ? ? >0, 足?2 ? ?Δ =a2-16≥0,

得 a≥4.

方法二:f(x)=l og2(a-2 )+x -2=0,得 a-2 =2 答案:D 二、填空题

x

x

2-x

4 x ,a=2 + x≥4. 2

7.(2013·金华联考)已知函数 f(x)=log2(x -ax+a )的图像关于 x=2 对称,则 a 的 值为__________. 解析:由题意 f(x)=f(4-x),∴x -ax+a =(4-x) -a(4-x)+a ,整理得 a=4. 答案:4 1 1 1 ?1? 8.(2013·杭州 月考)设 f(x)= lgx+ lgx+ lgx,则 f(x)+f? ?=__________. 1+2 1+4 1+8 ?x?
2 2 2 2

2

2

?1? ? 解析:f(x)+f? ?=?
答案:3

1 1 1 ? ? 2 4 8 ? lgx+ lgx+ lgx?+? lgx+ lgx+ lgx?=3. 1+4 1+8 ? ?1+2 1+4 1+8 ? ?x? ?1+2

lgx

lgx

lgx

9.(2013·湖南联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x +2)+f(x)=0,当 x ∈[0,1]时,f(x)=2 -1,则 f(log1 125)= __________. 8 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)+f(x)=0,f(log1 125)=f(-log25) 8 log25-2 5 1 =-f(log25)=f(log25-2)=2 -1= -1= . 4 4 1 答案: 4 三、解答题 10.若 f(x)=x -x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及相 应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). 解析:(1)∵f(x)=x -x+b. ∴f(log2 a)=(log2a) -log2a+b, 由已知(log2a) -log2a+b=b, ∴log2a(log2a-1)=0.
2 2 2 2

x

3

∵a≠1,∴log2a=1. ∴a=2. 又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a -a+b=4. ∴b=4-a +a=2. 故 f(x)=x -x+2. 从而 f(lo g2x)=(log2x) -log2x+2 1?2 7 ? =?log2x- ? + . 2? 4 ? 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4
??log2x? -log2x+2>2, ? (2)由题意,? 2 ? ?log2?x -x+2?<2 ?x>2,或0<x<1, ? ? ?-1<x<2 ?
x
2 2 2 2 2

?

? 0<x<1.
x

11.已知 f(x)=lg(a -b )(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)问是否存在实数 a、 b, 当 x∈(1, +∞)时, f(x)的值域为(0, +∞), 且 f(2)=lg2? 若存在,求出 a、b 的值,若不存在,说明理由. 解析:(1)由 a -b >0 及 a>1>b>0,得? ? >1,故 x>0. b
x x

?a?x ? ?

所以,f(x)的定义域为(0,+∞). (2)令 g(x)=a -b ,由 a>1>b>0 知,g(x )在(0,+∞)上为增函数. 当 x∈(1,+∞)时,f(x)取到一切正数等价于 x∈(1,+∞)时,g(x)>1. 故 g(1)=1,得 a-b=1.① 又 f(2)=lg2,故 a -b =2.② 3 1 由①②解得 a= ,b= . 2 2 12.(2013·辽宁测试)已知函数 f(x)=log4( 4 +1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a·2 -a)有且仅有一个根, 求实数 a 的取值范围. 解析:(1)∵ f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f( x). 即 log4(4 +1)-kx=log4(4 +1)+kx,
-x 2 2

x

x

x

x

x

4

4 +1 x ∴log4 x -log4(4 +1)=2kx, 4 1 ∴ (2k+1)x=0,∴k= - . 2 1 x x (2)依题意知:log4(4 +1)- x=log4(a·2 -a). (*) 2
?4 +1=?a·2 -a?·2 , ? ∴? x ? ?a·2 -a>0,
x x x

x

令 t=2 ,则(*)变为(1-a)t +at+1=0 只需其有一正根. ①a=1,t=-1 不合题意; Δ =a -4?1-a?>0, ? ? ②(*)式有一正一负根, ∴? 1 t1t2= <0, ? 1-a ? >1. ③(*)式有两相等的根,Δ =0,∴a=±2 2-2,又 a·2 -a>0,∴a=-2-2 2, 综上所述可知 a 的取值范围为{a|a>1 或 a=-2-2 2}.
x
2

x

2

经验证满足 a·2 -a>0, ∴a

x

5


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