江苏省连云港市、徐州市、宿迁市2017届高三下学期第三次模拟考试数学试题+Word版含答案


苏北三市高三年级第三次模拟考试 2017 届高三年级第三次模拟考试(三)数学
1n 1n 2 2 数学参考公式:样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s = i ∑ ( x i-x) ,其中 x= ∑ xi. =1 i=1

n

n

1 棱锥的体积 V= Sh,其中 S 是棱锥的底面积,h 是高. 3 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知集合 A={-1,1,2},B={0,1,2,7},则集合 A∪B 中元素的个数为________. 1+i 2. 设 a,b∈R, =a+bi(i 为虚数单位),则 b 的值为________. 1-i

(第 5 题)

x y 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 的离心率是________. 4 3 4. 现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随 机排序,则能组成“中国梦”的概率是________. 5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 k 的值为________. 6. 已知一组数据 3,6,9,8,4,则该组数据的方差是________. y≤x-1, ? ? y 7. 已知实数 x,y 满足?x≤3 则 的取值范围是________. x ? ?x+y≥2, π? ? 8. 若函数 f(x)=2sin(2x+φ )?0<φ < ?的图象过点(0, 3),则函数 f(x)在上的单调 2? ? 减区间是________. 1 9. 在公比为 q 且各项均为正数的等比数列{an}中,Sn 为{an}的前 n 项和.若 a1= 2,且 q S5=S2+2,则 q 的值为________.

2

2

-1-

10. 如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 AB=AA1=3,点 P 在棱 CC1 上,则三棱锥 PABA1 的体积为________.

(第 10 题)

(第 11 题)

11. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,BC 平行于 x 轴,顶点 A,B 和 C 分别在函数 y1 =3logax,y2=2logax 和 y3=logax(a>1)的图象上,则实数 a 的值为________. 12. 已知对于任意的 x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有 x -2(a-2)x+a>0,则实数 a 的 取值范围是________. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C:(x+2) +(y-m) =3.若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB,且 AB=2GO,则实数 m 的取值范围是________. π → → 14. 已知△ABC 三个内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 C= ,c=2.当AC·AB取 3 b 得最大值时, 的值为________. a 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或计算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) 4 5 如图,在△ABC 中,已知点 D 在边 AB 上,AD=3DB,cosA= ,cos∠ACB= ,BC=13. 5 13 (1) 求 cosB 的值; (2) 求 CD 的长.
2 2 2

-2-

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,点 E 在棱 PC 上(异于点 P,C),平面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (1) 求证:AB∥EF;(2) 若平面 PAD⊥平面 ABCD,求证:AF⊥EF.

-3-

17. (本小题满分 14 分) x y 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A,B,过 4 3 右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点(点 P 在 x 轴上方). (1) 若 QF=2FP,求直线 l 的方程; (2) 设直线 AP,BQ 的斜率分别为 k1,k2.是否存在常数 λ ,使得 k1=λ k2?若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

-4-

18. (本小题满分 16 分) 某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆 D 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点 重合,且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点),与左右两边相交(F,G 为其中两个交点),图 AB 1 中阴影部分为不透光区域, 其余部分为透光区域. 已知圆的半径为 1m, 且 ≥ .设∠EOF=θ , AD 2 透光区域的面积为 S. (1) 求 S 关于 θ 的函数关系式,并求出定义域. (2) 根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边 AB 的长度.

-5-

19. (本小题满分 16 分) 已知两个无穷数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的 n∈N , 都有 3Sn+1=2Sn+Sn+2+an. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若{bn}为等差数列,对任意的 n∈N ,都有 Sn>Tn.证明:an>bn; (3) 若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足
* *

an+2Tn * =ak(k∈N )的 n 值. bn+2Sn

-6-

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)= +xlnx(m>0),g(x)=lnx-2. (1) 当 m=1 时,求函数 f(x)的单调增区间; 3 2 (2) 设函数 h(x)=f(x)-xg(x)- 2,x>0.若函数 y=h(h(x))的最小值是 ,求 m 的 2 值; (3) 若函数 f(x), g(x)的定义域都是, 对于函数 f(x)的图象上的任意一点 A, 在函数 g(x) 的图象上都存在一点 B,使得 OA⊥OB,其中 e 是自然对数的底数,0 为坐标原点.求 m 的取值 范围.

m x

密封线 (这是边文,请据需要手工删加)

-7-

密封线

____________ 号学

____________ 名姓 校学

____________ 级班

____________

(这是边文,请据需要手工删加)

2017 届高三年级第三次模拟考试(三)·数学附加题 第页(共 2 页) (这是边文,请据需要手工删加) 2017 届高三年级第三次模拟考试(三) 数学附加题 21. 本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 , 并作答. 若多做,则 ....... . .... 按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. (本小题满分 10 分)
如图,圆 O 的弦 AB,MN 交于点 C,且 A 为弧 MN 的中点,点 D 在弧 BM 上.若∠ACN=3∠ ADB,求∠ADB 的度数.

B. (本小题满分 10 分)
已知矩阵 A=?

? a 3 ? ?1? ?8? ?,若 A=? ?=? ?,求矩阵 A 的特征值. ? 2 d ? ?2? ?4?

C. (本小题满分 10 分)

? π ? 点 B 在直线 l: 在极坐标系中, 已知点 A?2, ?, ρ cosθ +ρ sinθ =0(0≤θ ≤2π )上. 当 2? ?
-8-

线段 AB 最短时,求点 B 的极坐标.

D. (本小题满分 10 分) 3 3 3 3 2 2 2 已知 a,b,c 为正实数,且 a +b +c =a b c .求证:a+b+c≥3 3.

【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 F(1,0),直线 x=-1 与动直线 y=n 的交点为 M,线段 MF 的中垂线与动直线 y=n 的交点为 P. (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2) 过动点 M 作曲线 E 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:∠AMB 的大小为定值.

-9-

23. (本小题满分 10 分) 已知集合 U={1,2,?,n}{n∈N ,n≥2),对于集合 U 的两个非空子集 A,B,若 A∩B =?, 则称(A, B)为集合 U 的一组“互斥子集”. 记集合 U 的所有“互斥子集”的组数为 f(n)(视 (A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”). (1) 写出 f(2),f(3),f(4)的值; (2) 求 f(n). 密封线 (这是边文,请据需要手工删加)
*

2017 届高三年级第三次模拟考试(三)·数学参考答案 (这是边文,请据需要手工删加)

第页(共 4 页) (苏北三市)

2017 届高三年级第三次模拟考试(三)(苏北三市) 数学参考答案 一、 填空题

- 10 -

1. 5 2. 1 3.

7 2

4.

1 6

5. 6 6. 9 3 4

1 y 2? 26 ? 1 2?? (或 5.2) 7. ?- , ??或- ≤ ≤ ? 3 x 3? 5 ? 3 3?? 11. 2

π 8. ( , 12

7π ? ?π 7π ?? )?或? , ?? 9. 12 ? ?12 12 ?? ≤m≤ 2) 14. 2+ 3 二、 解答题

5-1 2

10.

12. (1,5](或 1<a≤5) 13. (或- 2

4 15. (1) 在△ABC 中,cosA= ,A∈(0,π ), 5 所以 sinA= 1-cos A=
2

2 ?4? 3 1-? ? = .(2 分) ?5? 5

12 同理可得,sin∠ACB= . (4 分) 13 所以 cosB=cos =-cos(A+∠ACB) =sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB (6 分) 3 12 4 5 16 = × - × = .(8 分) 5 13 5 13 65 (2) 在△ABC 中,由正弦定理得,AB= BC

sinA

sin∠ACB= × =20.(10 分)

13 12 3 13 5

1 又 AD=3DB,所以 BD= AB=5. (12 分) 4 在△BCD 中,由余弦定理得, CD= BD +BC -2BD·BCcosB = 16 2 2 5 +13 -2×5×13× 65
2 2

=9 2. (14 分) 16. (1) 因为 ABCD 是矩形,所以 AB∥CD.(2 分) 又因为 AB?平面 PDC,CD? 平面 PDC, 所以 AB∥平面 PDC.(4 分) 又因为 AB? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 PDC=EF, 所以 AB∥EF.(6 分) (2) 因为 ABCD 是矩形,所以 AB⊥AD. (8 分) 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, AB? 平面 ABCD,所以 AB⊥平面 PAD. (10 分)

- 11 -

又 AF? 平面 PAD,所以 AB⊥AF. (12 分) 又由(1)知 AB∥EF,所以 AF⊥EF.(14 分) 17. (1) 因为 a =4,b =3,所以 c= a -b =1, 所以 F 的坐标为(1,0),(1 分) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 l 的方程为 x=my+1, 代入椭圆方程,得(4+3m )y +6my-9=0, -3m+6 1+m 则 y1= , 2 4+3m -3m-6 1+m y2= . (4 分) 2 4+3m -3m-6 1+m -3m+6 1+m 若 QF=2PF,则 +2× =0, 2 2 4+3m 4+3m 2 5 解得 m= ,故直线 l 的方程为 5x-2y- 5=0.(6 分) 5 -6m -9 (2) 由(1)知,y1+y2= 2,y1y2= 2, 4+3m 4+3m -9m 3 所以 my1y2= 2= (y1+y2),(8 分) 4+3m 2 k1 y1 x2-2 y1(my2-1) 所以 = · = (12 分) k2 x1+2 y2 y2(my1+3) 3 (y1+y2)-y1 2 1 = = , 3 3 (y1+y2)+3y2 2 1 1 故存在常数 λ = ,使得 k1= k2.(14 分) 3 3 18. (1) 过点 O 作 OH⊥FG 于点 H,则∠OFH=∠EOF=θ , 所以 OH=OFsinθ =sinθ , FH=OFcosθ =cosθ .(2 分) 所以 S=4S△OFH+4S 扇形 OEF
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?1 ? =2sinθ cosθ +4×? θ ? ?2 ?
=sin2θ +2θ ,(6 分) AB 1 1 因为 ≥ ,所以 sinθ ≥ , AD 2 2

?π π ? 所以定义域为? , ?.(8 分) ?6 2?
(2) 矩形窗面的面积为 S 矩形=AD·AB=2×2sinθ =4sinθ .
- 12 -

则透光区域与矩形窗面的面积比值为 2sinθ cosθ +2θ cosθ θ = + .(10 分) 4sinθ 2 2sinθ 设 f(θ )=

cosθ
2



θ π π , ≤θ < . 2sinθ 6 2

1 sinθ -θ cosθ 则 f′(θ )=- sinθ + 2 2 2sin θ =

sinθ -θ cosθ -sin3θ sinθ cos2θ -θ cosθ = 2 2 2sin θ 2sin θ



?1 ? cosθ ? sin2θ -θ ? 2 ? ?
2sin θ
2

,(12 分)

π π 1 1 因为 ≤θ < ,所以 sin2θ ≤ , 6 2 2 2 1 所以 sin2θ -θ <0,故 f′(θ )<0, 2

?π π ? 所以函数 f(θ )在? , ?上单调减. ?6 2?
π π 3 所以当 θ = 时,f(θ )有最大值 + ,此时 AB=2sinθ =1(m).(14 分) 6 6 4

?π π ? 答:(1) S 关于 θ 的函数关系式为 S=sin2θ +2θ ,定义域为? , ?; ?6 2?
(2) 透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,AB 的长度为 1m.(16 分) 19. (1) 由 3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得 2(Sn+1-Sn)=Sn+2-Sn+1+an, 即 2an+1=an+2+an,所以 an+2-an+1=an+1-an. (2 分) 由 a1=1,S2=4,可知 a2=3. 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 故{an}的通项公式为 an=2n-1.(4 分) n(n-1) (2) 证法一:设数列{bn}的公差为 d,则 Tn=nb1+ d, 2 由(1)知,Sn=n . n(n-1) 2 因为 Sn>Tn,所以 n >nb1+ d,即(2-d)n+d-2b1>0 恒成立, 2
? ? ?2-d≥0, ?d≤2, 所以? 即? (6 分) ?d-2b1>0, ?2b1<d. ? ?
2

又由 S1>T1,得 b1<1, 所以 an-bn=2n-1-b1-(n-1)d=(2-d)n+d-1-b1 ≥(2-d)+d-1-b1=1-b1>0.
- 13 -

所以 an>bn,得证. (8 分) 证法二:设{bn}的公差为 d,假设存在自然数 n0≥2,使得 an0≤bn0, 则 a1+(n0-1)×2≤b1+(n0-1)d,即 a1-b1≤(n0-1)(d-2), 因为 a1>b1,所以 d>2.(6 分) d? n(n-1) ?d ? 2 ? 2 所以 Tn-Sn=nb1+ d-n =? -1?n +?b1- ?n, 2? 2 ?2 ? ? d * 因为 -1>0,所以存在 N0∈N ,当 n>N0 时,Tn-Sn>0 恒成立. 2 这与“对任意的 n∈N ,都有 Sn>Tn”矛盾! 所以 an>bn,得证. (8 分) (3) 由(1)知,Sn=n .因为{bn}为等比数列,且 b1=1,b2=3, 所以{bn}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. 所以 bn=3 则
n-1
2 *

3 -1 ,Tn= .(10 分) 2

n

2 an+2Tn 2n-1+3n-1 3n+2n-2 6n -2n+2 = n-1 = n-1 2 2 =3- n-1 2 , bn+2Sn 3 +2n 3 +2n 3 +2n

因为 n∈N ,所以 6n -2n+2>0,所以 而 ak=2k-1,所以

*

2

an+2Tn <3.(12 分) bn+2Sn

an+2Tn n-1 2 =1,即 3 -n +n-1=0(*). bn+2Sn

当 n=1,2 时,(*)式成立;(14 分) 当 n≥2 时,设 f(n)=3
n n-1

-n +n-1,
2

2

则 f(n+1)-f(n)=3 -(n+1) +n-(3 所以 0=f(2)<f(3)<?<f(n)<?. 故满足条件的 n 的值为 1 和 2.(16 分) 1 20. (1) 当 m=1 时,f(x)= +xlnx, x 1 f′(x)=- 2+lnx+1.(2 分) x

n-1

-n +n-1)=2(3

2

n-1

-n)>0,

因为 f′(x)在(0,+∞)上单调增,且 f′(1)=0, 所以当 x>1 时,f′(x)>0;当 0<x<1 时,f′(x)<0. 所以函数 f(x)的单调增区间是(1,+∞).(4 分) m m 2x -m (2) h(x)= +2x- 2,则 h′(x)=2- 2= 2 ,令 h′(x)=0 得 x= x x x 当 0<x< m 时,h′(x)<0,函数 h(x)在(0, 2 m )上单调减; 2
2

m , 2

- 14 -

当 x>

m 时,h′(x)>0,函数 h(x)在( 2 m )=2 2m- 2.(6 分) 2 m 4 ,即 m≥ 时, 2 9

m ,+∞)上单调增. 2

所以 min=h(

①当 2(2 m-1)≥

函数 y=h(h(x))的最小值 h(2 2m- 2)= 2? m 3 ? +2(2 m-1)-1? ?=2 2, ?2(2 m-1) ?

9 即 17m-26 m+9=0,解得 m=1 或 m= (舍),所以 m=1;???8 分) 17 ②当 0< 2(2 m-1)< m 1 4 ,即 <m< 时, 2 4 9

函数 y=h(h(x))的最小值 h? 5 解得 m= (舍). 4 综上所述,m 的值为 1.(10 分)

? ?

3 m? ?= 2(2 m-1)=2 2, 2?

m lnx-2 (3) 由题意知,kOA= 2+lnx,kOB= . x x 考虑函数 y= 所以函数 y=

lnx-2
x x

3-lnx ,因为 y′= >0 在上恒成立, 2 x 1? ? 在上单调增,故 kOB∈?-2,- ?.(12 分)

lnx-2

?

e?

1 m ?1 ? 所以 kOA∈? ,e?,即 ≤ 2+lnx≤e 在上恒成立, 2 2 x ? ? x 2 2 即 -x lnx≤m≤x (e-lnx)在上恒成立. 2 x 2 设 p(x)= -x lnx,则 p′(x)=-2xlnx≤0 在上恒成立, 2 1 所以 p(x)在上单调减,所以 m≥p(1)= . (14 分) 2 设 q(x)=x (e-lnx), 则 q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0 在上恒成立, 所以 q(x)在上单调增,所以 m≤q(1)=e.
2 2 2

?1 ? 综上所述,m 的取值范围为? ,e?. (16 分) ?2 ?
附加题

- 15 -

21. A. 连结 AN,DN. 因为 A 为弧 MN 的中点, 所以∠ANM=∠ADN. 而∠NAB=∠NDB, 所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB, 即∠BCN=∠ADB. (5 分) 又因为∠ACN=3∠ADB, 所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°, 故∠ADB=45°.(10 分)

?1? ? a 3 ??1? ?a+6 ? ?8? B. 因为 A? ?=? ?? ?=? ?=? ?, ?2? ? 2 d ??2? ?2+2d? ?4?
?a+6=8, ?a=2, ? ? 所以? 解得? ?2+2d=4, ?d=1. ? ?

所以 A=?

? 2 3 ? ?.(5 分) ? 2 1 ? ? λ -2 -3 ? 2 ?=(λ -2)(λ -1)-6=λ -3λ ? -2 λ -1 ?

所以矩阵 A 的特征多项式为 f(λ )=? -4,

令 f(λ )=0,解得矩阵 A 的特征值为 λ 1=-1,λ 2=4.(10 分) C. 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系, π 则点 A(2, )的直角坐标为(0,2),直线 l 的直角坐标方程为 x+y=0.(4 分) 2

AB 最短时,点 B 为直线 x-y+2=0 与直线 l 的交点,
解?
? ?x-y+2=0, ?x+y=0 ?

得?

? ?x=-1, ?y=1. ?

所以点 B 的直角坐标为(-1,1).(8 分)

3 所以点 B 的极坐标为( 2, π ).(10 分) 4 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 D. 因为 a +b +c =a b c ≥3 a b c , 所以 abc≥3,(5 分) 3 3 所以 a+b+c≥3 abc≥3 3,

- 16 -

3 当且仅当 a=b=c= 3时,取“=”.(10 分) 22. (1) 因为直线 y=n 与 x=-1 垂直,所以 MP 为点 P 到直线 x=-1 的距离. 连结 PF,因为 P 为线段 MF 的中垂线与直线 y=n 的交点,所以 MP=PF. 所以点 P 的轨迹是抛物线.(2 分) 焦点为 F(1,0),准线为 x=-1. 所以曲线 E 的方程为 y =4x. (5 分) (2) 由题意,过点 M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为 y-n=k(x+1),
?y=kx+k+n, ? 2 联立? 2 得 ky -4y+4k+4n=0, ? y = 4x , ?
2

所以Δ 1=16-4k(4k+4n)=0,即 k +kn-1=0(*),(8 分) 因为Δ 2=n +4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为 k1k2, 因为 k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值. (10 分) 23. (1) f(2)=1,f(3)=6,(2 分) f(4)=25. (4 分) (2) 解法一:设集合 A 中有 k 个元素,k=1,2,3,?,n-1. 则与集合 A 互斥的非空子集有 2
?

2

2

n-k

-1 个.(6 分)

1 1 k n-k n 于是 f(n)= n- C1 -1)= [错误!C错误!-C错误!-C错误!=2 -2, n(2 2k=1 2 1 1 n n+1 所以 f(n)= = (3 -2 +1).(10 分) 2 2 解法二:任意一个元素只能在集合 A,B,C=?U(A∪B)之一中, 则这 n 个元素在集合 A,B,C 中,共有 3 种;(6 分) 其中 A 为空集的种数为 2 ,B 为空集的种数为 2 , 所以 A,B 均为非空子集的种数为 3 -2×2 +1,(8 分) 又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”, 1 n n+1 所以 f(n)= (3 -2 +1).(10 分) 2
n n n n n

- 17 -


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