厦门市2014-2015学年第二学期高二年级质量检测数学(文)


厦门市 2014-2015 学年第二学期高二年级质量检测 数学(文科)试题
一、选择题(每题 5 分)
1、复数 z ? 2 ? i ( i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于( A.第一象限 答案:D
2 2、命题“ ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定为(



B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限



A. ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0
2

2 B. ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 2 D. ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0

C. ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0
2

答案:C 3、已知函数 f ( x) ? e x ( x ? 1) ,则 f ' (1) 等于( A. e 答案:C B. 2e C. 3e D. 4e )

4、已知 a , b 为实数,则“ a ? 1 且 b ? 1 ”是 " ab ? 1" 的( A. 充分不必要条件 答案:A B. 必要不充分条件

) D. 既不充分也不必要条件

C. 充要条件

5、在两个变量 y 与 x 的回归模型中,选择了 4 个不同模型,其中拟合效果最好的模型是( A. 相关指数 R 为 0.95 的模型 C. 相关指数 R 为 0.50 的模型 答案:A 6、已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 经过椭圆
2 2



B. 相关指数 R 为 0.81 的模型 D. 相关指数 R 为 0.32 的模型
2

2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的顶点和焦点,则椭圆的标准方程为( a 2 b2 x2 y2 ? ?1 C. 16 12 x2 y2 ? ?1 D. 16 4



x2 y 2 ? ?1 A、 20 16
答案:B

x2 y 2 ? ?1 B. 20 4

7、将正整数按下表排列: 第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 .... 则 101 在 A. 第 25 行,第 1 列 答案:D
x 2 2 8、已知 p : 关于 x 的方程 x ? 8 x ? a ? 0 有实跟;q : 对任意 x ? R , 不等式 e ?

第2列 2 7 10 15 ...

第3列 3 6 11 14 ...

第4列 4 5 12 13 ...

1 8 9 16 ...

B. 第 25 行,第 4 列

C. 第 26 行,第 1 列

D. 第 26 行,第 4 列

1 ? a 恒成立, 若 p ? q 为真命题, ex

则实数 a 的取值范围是( A. ? 4 ? a ? 2 答案:B

) C. a ? 4 D. a ? ?4

B. ? 4 ? a ? 2

9、已知函数 f ( x) 的部分图像如图,则 f ( x) 的解析式可能为( A. f ( x) ? x cos x ? sin x C. f ( x) ? x cos x ? sin x B. f ( x) ? x sin x D. f ( x) ? x cos x



答案:A 10、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲线右支上存在异于顶点的点 a 2 b2


P 满足 c ? sin ?PF 1F2 ? 3a ? sin ?PF 2F 1 ,则双曲线的离心率的取值范围是(
A. (1,1 ? 7 ) 答案:D B. (1,2 ? 7 ) C. (3,1 ? 7 ) D.

(3,2 ? 7 )

解析:

由正弦定理可得 c ? PF2 ? 3a ? PF 1 ,且 PF 1 ? PF 2 ? 2a 联立可得 PF2 ?

c 6a 2 >0,即得 c ? 3a ? 0 ,即 e ? ? 3 ...① a c ? 3a

又 PF2 ? c ? a (由 P 在双曲线右支上运动且异于顶点)

6a 2 ? c ? a ,化简可得 c 2 ? 4ac ? 3a 2 ? 0 ,即 e 2 ? 4e ? 3 ? 0 ,得1 ? e ? 2 ? 7 ...② ∴ PF2 ? c ? 3a
由①②可得 e ? (3,2 ? 7 )

二、填空题(每小题 4 分) 2i 11、已知 i 是虚数单位,则 = 1? i 答案: i ? 1
x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 12、双曲线 9 4
答案: y ? ?

.

.

2 x 3
.

13、函数 y ? x ? sin x 在 [0, ? ] 的最大值为 答案: ?

解析: y' ? 1 ? cos x ? 0 ,即 y ? x ? sin x 在 [0, ? ] 上单调递增,

ymax ? y |x?? ? ?

14、某次考试后,甲、乙、丙三位同学被问到是否答对三道填空题时,

甲说:我答对的题数比乙多,但答错第一题; 乙说:我至少答对第二题和第三题 丙说:我打错了第三题 若有一题三人都答对,则该题为第 答案: 二 解析: 第一题 甲 乙 丙 ×(已知) ×(已知) 第二题 第三题 题.

第一题和第三题 都有人错 ,那只能是第二题 全对咯,这么简单 ^-^ 15、1854 年,地质学家 W .K .劳夫特斯在森凯莱(古巴比伦地名)挖掘出两块泥板,其中一块泥板记着:

92 ? 81 ? 60 ? 21 ? 1? 21 102 ? 100 ? 60 ? 40 ? 1? 40 112 ? 121? 2 ? 60 ? 1 ? 2 ?1 122 ? 144 ? 2 ? 60 ? 24 ? 2 ? 24
...... 照此规律, 58 = 答案: 56 ? 4 解析: 58 ? 3364? 56? 60 ? 4 ? 56 ? 4
2
2

.(写成“ a ? b ”的形式)

16、已知函数 f ( x) ? ? 答案: (0, )

?x ln x ? ax2 , x ? 0
2 ?x ? ax, x ? 0

有且仅有三个极值点,则 a 的取值范围是

.

1 2

解析: ① 当a ? 0时

? x ln x, x ? 0 ,此时 f ( x) 在 (??,0) 上不存在极值点,在 (0,??) 上有且只有一个极值点,显然不成立 f ( x) ? ? 2 ?x , x ? 0
② 当a ? 0时 若 x ? 0 ,则 f ( x) ? x 2 ? ax ,对称轴 x ? ?

a ? 0 ,在 (??,0) 上不存在极值点 2

若 x ? 0 ,则 f ( x) ? x ln x ? ax2 , f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax , 令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax , (x ? 0) ,则 g ' ( x) ?

1 ? 2a ? 0 ,即 g ( x) 在 (0,??) 上单调递增 x

∴ g ( x) 有且仅有 1 个零,即 f ' ( x) 有且仅有一个零点,即 f ( x) 只有一个极值点 显然不成立 当a ? 0时 若 x ? 0 ,则 f ( x) ? x 2 ? ax ,对称轴 x ? ?



a ? 0 ,在 (??,0) 存在 1 个极值点 2

若 x ? 0 ,则 f ( x) ? x ln x ? ax2 , f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax

1 2ax ? 1 ? 2a ? ? x x 1 1 由 g ' ( x) ? 0 可得 x ? ,由 g ' ( x) ? 0 可得 x ? 2a 2a 1 1 1 1 ) 上单调递增,在 ( ,0) 上单调递减,则 g ( x) max ? g ( ) ? ln ? 1 ? 1 ? ? ln 2a ∴ g ( x ) 在 ( 0, 2a 2a 2a 2a
令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax , (x ? 0) ,则 g ' ( x) ? 要让 f ( x) ? x ln x ? ax2 有 2 个极值点,须让 g ( x) ? f ' ( x) 有两个零点,即只须让 g ( x) max ? 0

g ( x)max ? ? ln 2a ? 0 1 综上 a ? (0, ) 2



,得 0 ? a ?

1 2

三、解答题 17、(本题满分 12 分)在某次电影展映活动中,展映的影片类型有科幻片和文艺片两种,统计数据显示。100 名男

性观众中选择科幻片的有 60 名,60 名女性观众中选择文艺片的有 40 名. (1)根据已知条件完成 2 ? 2 列联表: 科幻片 男 女 合计 (2)判断是否有 99 %的把握认为“观影类型与性别有关”? 文艺片 合计

解: (1) 科幻片 男 女 合计 (2) 60 20 80 文艺片 40 40 80 合计 100 60 160

K2 ?

160? (60? 40 ? 40? 20) 2 ? 10.667 ? 6.635 80? 80?100? 60

∴ 有 99%的把握认为“观影类型与性别有关”

18、(本题满分 13 分)已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在坐标原点, 并且经过点 M (2,?2 2 ) ,斜率为 1 的直线 l 经 过抛物线的焦点,且与抛物线相交于 A, B 两点.

(1)求抛物线的标准方程; (2)求线段 AB 的长. 解: (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过 M (2,?2 2 ) 得 4 p ? 8 ,即得 p ? 2 ,∴抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x (2)直线 l 斜率为 1,且过焦点 F (1,0) ,则 l 方程: y ? x ? 1

联立 ?

? y ? x ?1 2 可得 x ? 6 x ? 1 ? 0 2 y ? 4 x ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6 ∴ AB ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8 即线段 AB 的长度

19、(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 1) x 2 ? bx ? 1 ( a , b 是常数, a ? 0 ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 3 2

P(?1, f (?1)) 处的切线与 y 轴垂直.
(1)求 a 与 b 满足的关系式 (2)求 f ( x) 在 (0,??) 上的极值 解: (1) f ' ( x) ? x 2 ? (a ?1) x ? b , f ( x) 在点 P(?1, f (?1)) 处的切线与 y 轴垂直 则 f ' (?1) ? 1 ? (a ? 1) ? b ? a ? b ? 0 ,即 a 与 b 的关系式为 a ? b ? 0 (2)由(1)可知 b ? ? a ,则 f ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 1) x 2 ? ax ? 1 , 3 2

f ' ( x) ? x 2 ? (a ?1) x ? a ? ( x ? a)(x ? 1) ,其中 a ? 0
令 f ' ( x) ? 0 得, x ? ?1 或 x ? a ;令 f ' ( x) ? 0 得, ? 1 ? x ? a ∴ f ( x) 在 (??,?1) 上单调递增,在 (?1, a) 上单调递减,在 ( a,??) 上单调递增

1 1 1 7 ? (a ? 1) ? a ? 1 ? a ? 3 2 2 6 1 3 1 2 1 1 f ( x)极小值 ? f (a) ? a ? a (a ? 1) ? a 2 ? 1 ? ? a 3 ? a 2 ? 1 3 2 6 2 1 7 1 3 1 2 即 f ( x) 有极大值 a ? ,极小值 ? a ? a ? 1 . 2 6 6 2
∴ f ( x) 极大值 ? f (?1) ? ? 20、(本题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的标准方程

x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 短轴端点在圆 O : x ? y ? 1上 2 a b 2

(2)设过点 A(0,2) 的动直线 l 与圆 O 有公共点,且与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,求△OPQ 面积的最大值及取得最大 值时 l 的方程

解: (1)依题意可得

c 2 2 2 2 , b ? 1 ,且 a ? b ? c ,可得 b ? c ? 1 , a ? 2 ? a 2
x2 ? y2 ? 1 2

即得椭圆 C 的标准方程为

(2)由图形可得,直线 l 的斜率 k 存在,且 k ? 0 ,设 l 方程为: y ? kx ? 1 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

2 1 y ? y2 l : y ? kx ? 2 与 x 轴交于 B(? ,0) ,则 S ?OPQ ? ? OB ? | y1 ? y2 |?| 1 | k 2 k
即得 S ?OPQ ?
2

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 , k2

联立 ?

? y ? kx ? 2 4 4 ? 2k 2 2 2 2 y ? y ? y ? y ? 可得 ,即 , ( 1 ? 2 k ) y ? 4 y ? 4 ? 2 k ? 0 1 2 1 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 2
2 1? k
2

由圆心 O(0,0)到 y ? kx ? 2 的距离 d ?

? 1 ,得 k 2 ? 3

∴ S ?OPQ

2

16 16 ? 8k 2 ? ( y ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 2k 2 ? 3 4 1 ? 1 ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 2 k k (1 ? 2k ) (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2

即 S?OPQ ?

?

4 1 1 1 1 1 2 ? ? ,即 0 ? u ? ,由 k ? 3 可得 0 ? 2 2 2 ,令 u ? 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 7 7

∴ S ?OPQ ?
2

1 1 1 5 ? 2u 2 ? u ? ? 2(u ? ) 2 ? ,∴当 u ? 时, S ?OPQ 为最大值 4 8 7 7

此时 k ? 3 ,即 k ? ? 3 ,即 l 方程为 y ? 3x ? 1 或 y ? ? 3x ? 1

21、(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

1 2 x ? 2 ln x ? a(a ? R) , g ( x) ? ? x 2 ? 3x ? 4 . 2

(2)设 a ? 0 ,直线 x ? t 与 f ( x), g ( x) 的图像分别交于点 M、N ,当 | MN | 达到最小值时,求 t 的值;

(3)若对于任意 x ? (m, n) (其中 n ? m ? 1 ) ,两个函数图像分别位于直线 l : x ? y ? s ? 0 的两侧(与直线 l 无 公共点) ,则称这两个函数存在“ EN 通道”.试探究: f ( x) 与 g ( x) 是否存在“ EN 通道” ,若存在,求出 x 的取值 范围;若不存在,请说明理由.

2 x2 ? 2 解: (1) f ' ( x) ? x ? ? ,x ?0 x x
令 f ' ( x) ? 0 得 x ?

2 ,令 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ,则 f ( x) 在 (0, 2 ) 上单调递减,在 ( 2 ,??) 上单调递增

即 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2 ) ,单调递增区间为 ( 2 ,??) (2)当 a ? 0 时, f ( x ) ? 令 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? 则 h' (t ) ? 3t ? 3 ?

1 2 x ? 2 ln x , g ( x) ? ? x 2 ? 3x ? 4 2

3 2 t ? 3t ? 2 ln t ? 4 , t ? 0 ,则 | MN |?| h(t ) | 2

2 3t 2 ? 3t ? 2 ? t t

(请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号) 22、(本题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知 A, B 的极坐标分别为 ( 2,

?
2

),

( 2, ) . 4
(1)求直线 AB 的直角坐标方程; (2)圆 C 的参数方程为 ? 解: (1) A(0,2)

?

? x ? 1 ? 2 cos? , ( ? 为参数) ,试判断直线 AB 与圆 C 的位置关系. y ? 2 sin ? ?
1? 2 x ? 2 即 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 1? 0

B(1,1) ,则 l AB 方程为: y ?

(2)圆 C 的标准方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,圆心为 C (1,0) ,半径 r ? 2 则圆心为 C (1,0) 到 l AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以直线 AB 与圆 C 相交

2 ?2 2

23、(本题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 若不等式 | x ? 1 | ? | x ? m |? 5(m ? Z ) 的解集为 A,且 3 ? A . (1)求 m 的值 (2)若 a, b, c ? R ,且满足 a ? 2b ? 2c ? m, 求 a ? b ? c 的最小值
2 2 2

解: (1)∵ 3 ? A ,∴ 4? | 3 ? m |? 5 ,即 | 3 ? m ? 1 | ,即 ? 1 ? m ? 3 ? 1 , 得 2 ? m ? 4 ,又∵ m? z ,∴ m ? 3 (2) a ? 2b ? 2c ? 3 由柯西不等式可得

(a 2 ? b2 ? c 2 )(12 ? 22 ? 22 ) ? (a ? 2b ? 2c)2
2 2 2 即 9 (a ? b ? c ) ? 9 ,即得 a ? b ? c ? 1

2

2

2

所以 a ? b ? c 得最小值为 1
2 2 2


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