2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:54 直线与圆、圆与圆的位置关系含答案


课时跟踪检测(五十四)

直线与圆、圆与圆的位置关系

(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1. 圆 x +y -2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0 A.相离 C.相交
2 2 2 2 2 2



的位置关系为(

)

B.相切 D.以上都有可能 )

2. 圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( A.相离 C.外切 B.相交 D.内切
2 2

3. (2013·安徽高考) 直线 x +2y -5 + 5 = 0 被圆 x + y - 2x- 4y= 0 截得的弦长为 ( ) A.1 C.4 D. 4 6 4. 过点(1,1)的直线与圆(x-2) +(y-3) =9 相交于 A, B 两点, 则|AB|的最小值为( A.2 3 C.2 5 B.4 D.5
2 2 2 2

B.2

)

5.(2013·福建模拟) 已知直线 l:y=- 3(x-1)与圆 O:x +y =1 在第一象限内交于 点 M,且 l 与 y 轴交于点 A,则△MOA 的面积等于________. 6.以圆 C1:x +y -12x-2y-13=0 和圆 C2:x +y +12x+16y-25=0 公共弦为直径的 圆的方程为______________. 7. 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相 交于 A,B 两点,且|AB|=6,求圆 C 的方程.
2 2 2 2

8. 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程;

2

2

-1-

(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013·枣庄月考)已知:圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程.
2 2

2.(2013·湛江六校联考)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l, 使以 l 被圆截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理 由.

2

2

3.(2013·江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),

-2-

直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

答 案 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.选 C ∵圆的方程可化为(x-1) +(y+2) =9,∴圆心为(1,-2),半径 r=3. 又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上, ∴圆与直线相交. 2.选 B 圆 O1 的圆心坐标为(1,0),半径为 r1=1,圆 O2 的圆心坐标为(0,2),半径 r2=2, 故两圆的圆心距|O1O2|= 5, 而 r2-r1=1, r1+r2=3, 则有 r2-r1<|O1O2|<r1+r2, 故两圆相交. |1+4-5+ 5| 3. 选 C 依题意, 圆的圆心为(1,2), 半径 r= 5, 圆心到直线的距离 d= 5 =1,所以结合图形可知弦长的一半为 r -d =2,故弦长为 4.
2 2 2 2

4.选 B 由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦 AB 的中点时,|AB|的值最小,此时|AB| =2 r -d =2 9-5=4. 5.解析:依题意,直线 l:y=- 3(x-1)与 y 轴的交点 A 的坐标为(0, 3).
2 2

?x +y =1, 由? ?y=- 3 -

2

2

得,

1 1 1 1 3 点 M 的横坐标 xM= ,所以△MOA 的面积为 S= |OA|×xM= × 3× = . 2 2 2 2 4 答案: 3 4

6.解析:法一:将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.
?4x+3y-2=0, ? 由? 2 2 ?x +y -12x-2y-13=0. ?

解得两交点坐标 A(-1,2),B(5,-6).∵所求圆以 AB

1 为直径,∴所求圆的圆心是 AB 的中点 M(2,-2),圆的半径为 r= |AB|=5,∴圆的方程为 2 (x-2) +(y+2) =25. 法二:易求得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.设所求圆 x +y -12x-2y-13+ λ (x +y +12x+16y-25)=0(λ ≠-1),则圆心为-
2 2 2 2 2 2

12λ -12 16λ -2 ,- .∵圆心在 +λ +λ

-3-

公共弦所在直线上,∴4×- 程为 x +y -4x+4y-17=0.
2 2

12λ -12 16λ -2 1 +3- -2=0,解得 λ = .故所求圆的方 +λ +λ 2

答案:x +y -4x+4y-17=0 7.解:设点 P 关于直线 y=x+1 的对称点为 C(m,n), 1+n -2+m ? ? 2 = 2 +1, 则由? n-1 ? ?m+2·1=-1

2

2

??

?m=0, ? ? ?n=-1.

|-4-11| 故圆心 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离 d= =3, 9+16 |AB| 所以圆 C 的半径的平方 r =d + =18. 4
2 2 2

故圆 C 的方程为 x +(y+1) =18. 8.解:(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 故方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0.故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y 4 -5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆 心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切. |4+2a| 3 则有 =2.解得 a=- . 2 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
2 2 2 2

2

2

-4-

|CD|= , ? a +1 ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2. |4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1.故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 2.解:假设存在斜率为 1 的直线 l,满足题意,则 OA⊥OB.设直线 l 的方程是 y=x+b, y1 y 2 其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)则 · =-1, x1 x 2 即 x1x2+y1y2=0.①
? ?y=x+b, 由? 2 2 ?x +y -2x+4y-4=0. ?

消去 y 得,2x +2(b+1)x+b +4b-4=0, 1 2 ∴x1+x2=-(b+1),x1x2= (b +4b-4),② 2 1 2 1 2 2 2 2 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b = (b +4b-4)-b -b+b = (b +2b-4). ③ 2 2 把②③式代入①得,得 b +3b-4=0, 解得 b=1 或 b=-4,且 b=1 或 b=-4 都使得 Δ =4(b+1) -8(b +4b-4)>0 成立.故 存在直线 l 满足题意,其方程为 y=x+1 或 y=x-4. 3.解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切 线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, |3k+1| 3 由题意,得 =1,解得 k=0 或- , 2 4 k +1 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x +
2 2 2 2 2 2

2

2



2

=2 x +y ,化简得 x +y +2y-3=0,即 x +(y+1) =4,所以点 M

2

2

2

2

2

2

在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ a +
2 2



2

≤3.

由 5a -12a+8≥0,得 a∈R; 12 2 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤ . 5

-5-

12 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, ]. 5

-6-


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