2012高中数学必做100题--数学2(16题)


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高中数学必做 100 题—必修 2
时量:120 分钟 班级: 姓名: 计分: (说明: 《必修 2》共精选 16 题,每题 12 分, “◎”为教材精选, “☆”为《精讲精练.必修 2》精选) 1. 在圆锥底面半径为 1 cm, 高为 2 cm, 其中有一个内接正方体, 求这个内接正方体的棱长. ☆P3 例 3) (

2. 如图(单位:cm) ,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. (☆P15 例 2) A 2 D

4

B

5

C

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3. 直角三角形三边长分别是 3 cm 、 4 cm 、 5 cm ,绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三 个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积. (◎P36 10)

4. 已知空间四边形 ABCD 中, 、 分别是 AB、 的中点, 、 分别是 BC、 上的点, E H AD F G CD 且 求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点. (☆P21

CF CG 2 ? ? . CB CD 3 例 3)

A E B F H D

G C

问题是数学的心脏。—哈尔默斯

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AB DE 5. 如图, ∥ ? ∥ ? , 直线 a 与 b 分别交 ? , ? , ? 于点 A, B, C 和点 D, E, F , 求证: . (◎P63 B3) ? ? BC EF

6. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (◎P79 B2) 求证: (1)B1D⊥平面 A1C1B; (2)B1D 与平面 A1C1B 的交点设为 O,则点 O 是△A1C1B 的垂心.

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7. (06 年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD , 且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面 AEC ; (3)求二面角 E ? AC ? B 的大小. (☆P38 9)

8. 已知 A(1, ?1) , B(2,2) , C (3,0) ,求点 D 的坐标,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD. (◎P90 8)

问题是数学的心脏。—哈尔默斯

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9. 求过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程. (◎P100 9)

10. 三角形的三个顶点是 A(4,0) 、B(6,7) 、C(0,3). (◎P101 B1) (1)求 BC 边上的高所在直线的方程; (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程; (3)求 BC 边的垂直平分线的方程.

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11. 在 x 轴上求一点 P ,使以点 A(1,2) 、 B(3,4) 和点 P 为顶点的三角形的面积为 10. (◎P110 B5)

12. 过点 P(3,0) 有一条直线 l,它夹在两条直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 l2 : x ? y ? 3 ? 0 之间的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程. (◎P115 B8)

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13. ?ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1) 、 B(7, ?3) 、 C (2, ?8) ,求它的外接圆的方程. (◎P119 例 2)

14. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动,求线段 AB 的中点轨迹方 程. (◎P122 例 5)

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15. 过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 方程. (◎P127 例 2)

16. 求圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,并且经过圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点的圆 的方程. (◎P132 4)

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班级: 姓名: (说明: 《必修 2》部分共精选 12 题, “◎”表示教材精选, “☆”表示《精讲精练.必修 2》精选) 1. 圆锥底面半径为 1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. (☆P3 例 3) 解:过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面,得圆锥 S 的轴截面 SEF,正方体对角面 CDD1C1,如图所示. …………………2 分 设正方体棱长为 x,则 CC1=x,C1D1 ? 2x 。 作 SO ? EF 于 O,则 SO ? 2 ,OE=1,……………………………….5 分

x 1 ? ( 2 / 2) x CC1 EC1 ,即 ………..10 分 ? ? ? ?ECC1 ~ ?EOS , ∴ 1 SO EO 2 2 2 ∴ x? cm……………………….12 分 (cm) , 即内接正方体棱长为 2 2

C

D

E

C1 A

O 2

D1

F D

2. 如图(单位:cm) ,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积 和体积. (☆P15 例 2) 4 解:由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、侧面和一半球面. ……………………………………….3 分 S 半球=8π , S 圆台侧=35π ,S 圆台底=25π. B 故所求几何体的表面积为 68π ………………………………………..7 分 A 2 1 由 V圆台 ? ? [? ? 22 ? (? ? 22) ? ? 52) ? ? 52 ]? 4 ? 52? ,………9 分 ? ( ? 3 4 1 16 V半球 ? ? ? 23 ? ? ? …………………………………………….11 分 4 3 2 3 16 140 所以,旋转体的体积为 V圆台 ? V半球 ? 52? ? ? ? ? (cm3 ) ……12 分 3 3 B 3. 直角三角形三边长分别是 3 cm 、 4 cm 、 5 cm ,绕三边旋转一周分别形

5 D

C

5 (◎P36

C

成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积. 10) 解:以绕 5cm 边旋转为例,其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为:

…………………………………………………………………………………………………………..2 分 其表面是两个扇形的表面,所以其表面积为 S ?

1 12 84 ? 2? ? ? (3 ? 4) ? ? (cm2 ) ;-----------------3 分 2 5 5

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1 12 48 体积为 V ? ? ? ( )2 ? 5 ? ? (cm3 ) 。………………………………………………….4 分 3 5 5
同理可求得当绕 3cm 边旋转时, S ? 36? (cm2 ), V ? 16? (cm3 ) 。…………………….8 分 得当绕 4cm 边旋转时, S ? 24? (cm2 ), V ? 12? (cm3 ) 。……………………………….12 分 (图形略) 4. 已知空间四边形 ABCD 中, 、 分别是 AB、 的中点, 、 分别是 BC、 上的点, E H AD F G CD 且

求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点. (☆P21 证明: (1) 在△ABD 和△CBD 中, A 1 ∵ E、H 分别是 AB 和 CD 的中点, ∴ EH // BD…………….3 分 2 E H 2 D CF CG 2 又 ∵ ? ? , ∴ FG // BD. G 3 CB CD 3 B F ∴ EH∥FG. 分 所以,E、F、G、H 四点共面.--------------------------------------------7 分 (2)由(1)可知,EH∥FG ,且 EH ? FG,即直线 EF,GH 是梯形的两腰, 所以它们的延长线必相交于一点 P. ……………………………9 分 ∵ AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线,而点 P 是上述两平面的公共点, ∴ 由公理 3 知 P ?AC. ………………………11 分 所以,三条直线 EF、GH、AC 交于一点……..12 分 5. 如图, ? ∥ ? ∥ ? ,直线 a 与 b 分别交 ? , ? , ? 于点 A, B, C 和点 D, E, F ,

CF CG 2 ? ? . CB CD 3 例 3)

C

AB DE . (◎P63 B3) ? BC EF 证明:连结 AF ,交 ? 于 G ,连 BG, EG, …………3 分
求证:

AB AG ? . ……………………7 分 BC GF AG DE 由 ? // ? 得 ? , ………………..10 分 GF EF AB DE 所以 ? . ………………………..12 分 BC EF 6. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (◎P79 B2) 求证: (1)B1D⊥平面 A1C1B; (2)B1D 与平面 A1C1B 的交点设为 H,则点 H 是△A1C1B 的垂心. 证明: (1)连 B1 D1 , B1 D1 ? A1C1 ,又 DD1 ? 面 A1 B1C1 D1 ,
则由 ? // ? 得 所以 DD1 ? AC1 , A1C1 ? 面 D1 DB1 ,因此 A1C1 ? B1 D 。 1 同理可证 B1D ? A1B ,所以 B1D⊥平面 A1C1B。……6 分 (2)连 A1H , BH , C1H ,由 A1B1 ? BB1 ? C1B1 ,得

A1H ? BH ? C1H ,因此点 H 为 ?A1BC1 的外心。
又 ?A1BC1 为正三角形,所以 H 是 ?A1BC1 的中心, 也是 ?A1BC1 的重心。………….…………………. 12 分 7.(06 年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD , 且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面 AEC ; (3)求二面角 E ? AC ? B 的大小. (☆P38 9)

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解: (1)∵ PA⊥平面 ABCD, ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC,AC ? 平面 ABCD, ∴AC⊥PB. ……4 分 (2)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点,∴EO∥PB. 又 PB ? 平面 AEC,EO ? 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC……………………………..8 分 (3)

AC ? PB ? ? ? EO ? AC PB / / EO ? FG // AB ? ? ? FG ? AC AB ? AC ?

取 AD 的中点 F, BC 的中点 G ,连 FG ,则

所以 ?EOG 是所求二面角的平面角,且 ?EOF 与 ?PBA 对应相等。 易知 ?PBA ? 450 , 由图可知, ?EOG ? 1350 为所求。……………12 分 8. 已知 A(1, ?1) , B(2,2) , C (3,0) ,求点 D 的坐标,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD. (◎P90 8) 解:设点 D 的坐标为(x,y) ,由已知得,直线 AB 的斜率 KAB=3,……………2 分.

y y ?1 , 直线CB的斜率 KCB=-2, 直线AD的斜率 KAD= 。 x?3 x ?1 ……………………………………………………………………………8 分
直线CD的斜率 KCD=

? y ? x ? 3 ? 3 ? ?1 ? x ? 0 ? 由 CD⊥AB,且 CB∥AD,得 ? ,………11 分 ?? ?y ?1 ? y ? 1 ? ?2 ? x ?1 ? 所以点D的坐标是(0,1)……………………………………..12 分 9. 求过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程. (◎P100 9)
解:因为直线l经过点P(2,3) ,且在x轴,y轴上的截距相等,所以 (1)当直线 l 过原点时,它的方程为 3x ? 2 y ? 0 ;……………………………5 分

x y 2 3 ? ? 1, 由已知得 ? ? 1 ? a ? 5 , a a a a 所以,直线 l 的方程为 x ? y ? 5 ? 0 。……………………………………….11 分
(2)当直线不过原点时,设它的方程为 综上,直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 0 ,或者 x ? y ? 5 ? 0 。……………..12 分 10. 三角形的三个顶点是 A(4,0) 、B(6,7) 、C(0,3). (◎P101 B1) (1)求 BC 边上的高所在直线的方程; (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程; (3)求 BC 边的垂直平分线的方程. 解: (1) k BC ?

2 2 , 所以BC边上的高所在直线 l 的斜率为 kl ? ? , 又 l 过点 A(4,0) ,所以直线 l 的方程为 3 3

3 y ? ? ( x ? 4), 即 3x ? 2 y ? 12 ? 0 ;……………………………..4 分 2
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(2)BC 中点坐标为 E (3,5) ,所以 AE 所在直线的方程为

y ?0 x?4 ? , 即 5x ? y ? 20 ? 0 。..8 分 5?0 3?4

3 (3)易知 y ? 5 ? ? ( x ? 3) 即 3x ? 2 y ? 19 ? 0 为所求。…………………………………….12 分 2 11. 在 x 轴上求一点 P ,使以点 A(1,2) 、 B(3,4) 和点 P 为顶点的三角形的面积为 10. (◎P110 B5)
解:依设, AB ? 2 2 ,直线 AB 的方程是

y ? 2 x ?1 ? ? x ? y ? 1 ? 0 。……….3 分 4 ? 2 3 ?1

1 在 ?PAB 中,设 AB 边上的高为 h ,则 ? 2 2h ? 10 ? h ? 5 2 ,…………..7 分 2
? 5 2 ,…………….10 分 2 2 解得 x ? 9, 或 x ? ?11 。……………………………….11 分 所以,所求点的坐标是 (9,0) ,或 (?11,0) 。……. 12 分
设 P( x,0) ,则 P 到 AB 的距离为

x ?1

, 所以

x ?1

12. 过 点 P( 3 , 0 有 一 条 直 线 l , 它 夹 在 两 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 )

l2 : x ? y ? 3 ? 0 之间的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程. (◎P115 B8)
解:如图,设直线 l 夹在直线 l1 , l2 之间的部分是 AB,且AB被 P(3,0) 平分。

? x1 ? x2 ? 6 设点A,B的坐标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则有 ? ,………4 分 ? y1 ? y2 ? 0
?2 x1 ? y1 ? 2 ? 0 又A,B两点分别在直线 l1 , l2 上,所以 ? 。…………..8 分 ? x2 ? y2 ? 3 ? 0

11 16 11 16 , y1 ? ,即A点坐标是 ( , ) ,……….11 分 3 3 3 3 所以由两点式的AB即 l 的方程为 8x ? y ? 24 ? 0 。………………….12 分
由上述四个式子得 x1 ? 13. ?ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1) 、 B(7, ?3) 、 C28 ? ; ,( ) 解:设所求圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,…………….2 分 ,求它的外接圆的方程. (◎P119 例 2)

?(5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a ? 2 ? ? 2 2 2 则依设有 ?(7 ? a ) ? ( ?3 ? b) ? r ? ?b ? ?3 。……………11 分 ? ? 2 2 2 2 ?r ? 25 ?(2 ? a ) ? (?8 ? b) ? r
所以, ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 为所求。……………………….12 分 14. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动,求线段 AB 的中点轨迹方 程. (◎P122 例 5) 解:圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的圆心为 P(-1,0),半径长为 2,………….4 分 线段 AB 中点为 M(x, y). ……………………………………5 分

3 3 ?1 ? 4 0 ? 3 , ),即 N( , )…….7 分 2 2 2 2 ∵ M、N 为 AB、PB 的中点, 1 ∴ MN∥PA 且 MN= PA=1. ……………………………….9 分 2 ∴ 动点 M 的轨迹为以 N 为圆心,半径长为 1 的圆.
取 PB 中点 N,其坐标为( 问题是数学的心脏。—哈尔默斯

y B(4,3) N M(x,y) P A x



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3 3 所求轨迹方程为: ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 1 ……………..12 分 2 2
15. 过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 方程. (◎P127 例 2) 解:由 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 ? x 2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,所以圆心坐标为 (0, ?2) ,半径 r ? 5 。……..3 分

4 5 2 ) ? 5 ,……………….5 分 2 因为直线 l 过点 M (?3, ?3) ,所以可设所求直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 。….7 分
因为直线 l 被圆所截得的弦长是 4 5 ,所以弦心距为 52 ? (

1 ? 5 ? k1 ? ? , k2 ? 2 。………………………………………………………..10 分 2 k ?1 所以,所求直线有两条,它们分别为 1 y ? 3 ? ? (x ? 3或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 。即 x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2 x ? y ? 3 ? 0 。………………………..12 分 ) 2 16. 求圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, 并且经过圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点的圆的
依设得
2

2 ? 3k ? 3

方程. (◎P132 4)

? x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0 ? x ? ?1. ? 6 ? ?? 解法一:设两圆交点为A,B,由方程组 ? 2 ,所以 A(?1,3), B(?6, ?2) , 2 ? x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 ? y ? 3, ?2 ?
崩离析 …………5 分

1 ? ?x ? 2 ?x ? y ? 3 ? 0 ? 1 7 因此AB的中垂线方程为 x ? y ? 3 ? 0 。由 ? ,所求圆心C的坐标是 ( , ? ) 。 ?? 2 2 ?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ? 7 ? 2 ? …………9 分
CA ? 89 , 2
……………………10 分

1 7 89 所以,所求圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? , 即 x2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0. …………12…………5 分 2 2 2
解法二:设过圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 交点的圆的方程为

x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 ,………………………………………………………4 分
即 (1 ? ? ) x2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 6 x ? 6? y ? 4 ? 28? ? 0. ………………………………………………….6 分

3 3? ,? ) ,…………………………………………………………………….8 分 1? ? 1? ? 3 3? 因为圆心在 x ? y ? 4 ? 0 上,所以 ? ? (? ) ? 4 ? 0 ,解得 ? ? ?7 。………………10 分 1? ? 1? ? 所以,所求的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ?7( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 ,即 x2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0. 。
其圆心坐标是 (? ………………………………….12 分

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