2016


1.3.3 函数的最大(小)值与导数

自主学习 新知突破

1.借助函数图象,直观地理解函数的最大值和最小值的
概念. 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与 联系,理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件. 3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.

1.如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象.

[问题1] 试说明y=f(x)的极值. [提示1] f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的

极小值.
[问题2] 你能说出y=f(x),x∈[a,b]的最值吗? [提示2] 函数的最小值是f(a),f(x2),f(x4)中最小的,函数

的最大值是f(b),f(x1),f(x3)中最大的.

2 .函数 y = g(x) , y = h(x) 在闭区间 [a , b] 的图象都是一条
连续不断的曲线(如图所示).

[问题] 两函数的最值分别是什么? [ 提示 ] y = g(x) 的最大值为极大值,最小值为 g(a) , y =

h(x)的最大值为h(a),最小值为h(b).

函数的最大(小)值
一般地,如果在区间 [a , b]上函数 y =f(x)的图象是一条连 最大值 与__________ 最小值 . 续不断的曲线,那么它必有__________

1.函数最值的理解
(1)函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上 对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在

整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.

(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值 或最小值只能各有一个,具有唯一性,而极大值和极小值可能

多于一个,也可能没有,例如:常数函数就既没有极大值也没
有极小值. (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得,有

极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成
为最值,最值只要不在端点处取必定是极值.

求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
极值 1.求函数y=f(x)在(a,b)内的__________ ;
各极值 2 . 将 函 数 y = f(x) 的 __________ 与端点 _______ 处 的 函 数 值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是__________ 最大值 ,最小的一个 最小值 . 就是__________

2.求函数最值需注意的问题
(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求 最值,可用下面简化的方法求得.

①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最 大值和最小值.

(2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在

端点处取得.
(3)若连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点时,这 个点的函数值必然是最值.例如在(-∞,+∞)上函数只有一

个极值,那么这个极值也就是最值.

1.函数f(x)=4x-x4在x∈[-1,2]上的最大值、最小值分别 是( ) A.f(1)与f(-1) C.f(-1)与f(2) B.f(1)与f(2) D.f(2)与f(-1)

解析: f′(x)=4-4x3,f′(x)>0, 即4-4x3>0?x<1,f′(x)<0?x>1,

∴f(x)=4x-x4在x=1时取得极大值,
且f(1)=3,而f(-1)=-5,f(2)=-8, ∴f(x)=4x-x4在[-1,2]上的最大值为f(1),最小值为f(2),

故选B.
答案: B

2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上( A.无最值 B.有极值

)

C.有最大值
解析:

D.有最小值

f′(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)

上单调递增,无极值,也无最值.

答案: A

x 3.函数 y=ex在[0,2]上的最大值为________.

ex· x′-?ex?′x 1-x 解析: ∵y′= = ex , x 2 ?e ? 令 y′=0,得 x=1∈[0,2]. 1 2 ∴f(1)=e ,f(0)=0,f(2)=e2. 1 ∴f(x)max=f(1)=e.
1 答案: e

1 2 4.设 f(x)=x -2x -2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成
3

立,求实数 m 的取值范围.

解析: f′(x)=3x2-x-2, 2 由 f′(x)=0 得 x=-3或 x=1, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况为:

x f′(x) f(x)

-1

? 2? ?-1,- ? 3? ?

2 -3 0 22 5+27

? 2 ? ?- ,1? ? 3 ?

1 0 7 2

(1,2) + ?

2

+ 11 2 ?

- ?

7

由上表知 f(x)max=7, 要使 f(x)<m 恒成立, 只需使 m>f(x)max, 即 m>7.故 m 的取值范围为(7,+∞).

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求函数的最值
求下列函数的最值.
(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3]; 1 (2)f(x)=2x+sin x,x∈[0,2π]. [ 思路点拨 ] 要求区间 [a , b] 上函数的最值,只需求出函

数在(a,b)内的极值,最后与端点处函数值比较大小即可.

(1)f(x)=2x3-12x,
∴f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2), 令 f′(x)=0 解得 x=- 2或 x= 2. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,- 2) + ?

- 2 0 极大值

(- 2, 2) - ?

2 0 极小值

( 2,+∞) + ?

因为 f(-1)=10,f(3)=18,f( 2)=-8 2, 所以当 x= 2时,f(x)取得最小值-8 2; 当 x=3 时,f(x)取得最大值 18.

1 (2)f′(x)=2+cos x,令 f′(x)=0, 2 4 又 x∈[0,2π],解得 x=3π 或 x=3π. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x f′(x) f(x) 0 0
? 2 ? ?0, π? 3 ? ?

2 3π 0 极大值 π 3 3+ 2

?2 4 ? ? π, π? 3 ? ?3

4 3π 0 极小值 2 3 3π- 2

?4 ? ? π,2π? ?3 ?



+ ?

- ?

+ ? π

∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0; 当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π)=π.

导数法求函数最值要注意的问题: (1) 求 f′(x) ,令 f′(x) = 0 ,求出在 (a , b) 内使导数为 0 的点, 同时还要找出导数不存在的点. (2)比较三类点处的函数值:导数不存在的点,导数为0的

点及区间端点的函数值,其中最大者便是f(x)在[a,b]上的最大
值,最小者便是f(x)在[a,b]上的最小值. 特别提醒:比较极值与端点函数值的大小时,可以作差、 作商或分类讨论.

1.求下列各函数的最值. (1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]; (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]. 解析: (1)f′(x)=-4x3+4x,

令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0得
x=-1,或x=0,或x=1.

当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) -3 (-3 ,- 1) + -1 0 (- 1,0) - 0 0 (0,1) + 1 0 (1,2) - 2

f(x)

-60

?

极大 值4

?

极小 值3

?

极大 值4

?

-5

∴当x=-3时,f(x)取最小值-60; 当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4.

(2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,

∴f(x)在[-1,1]上为增函数.
故x=-1时,f(x)最小值=-12; x=1时,f(x)最大值=2.

即f(x)的最小值为-12,最大值为2.

已知函数的最值求参数
a 已知函数 f(x)=ln x+x , 3 若函数 f(x)在[1,e]上的最小值是2,求 a 的值.

[思路点拨]

解答本题的关键是求导数,对 a 的不同取值,

3 先求出函数在该区间内的最小值, 再令最小值等于2, 然后确定 a 的值.

解析:

函数的定义域为[1,e],

1 a x-a f′(x)=x-x2= x2 , 令f′(x)=0,得x=a, ①当a≤1时,f′(x)≥0, 函数f(x)在[1,e]上是增函数, 3 f(x)min=f(1)=ln 1+a=2, 3 ∴a=2?(-∞,1],故舍去.

②当 1<a<e 时,令 f′(x)=0 得 x=a, 函数 f(x)在[1,a]上是减函数,在[a,e]上是增函数, a 3 ∴f(x)min=f(a)=ln a+a=2. ∴a= e∈(1,e),故符合题意.

③当 a≥e 时,f′(x)≤0, 函数 f(x)在[1,e]上是减函数, a 3 f(x)min=f(e)=ln e+e =2, 1 ∴a=2e?[e,+∞),故舍去, 综上所述 a= e.

解决由函数的最值来确定参数问题的关键是 利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值,同时由于系 数a的符号对函数的单调性有直接的影响,其最值也受a的符号 的影响,因此,需要进行分类讨论.本题是运用最值的定义,

从逆向出发,由已知向未知转化,通过待定系数法,布列相应
的方程,从而得出参数的值.

2.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上有最大值3,最 小值-29,求a,b的值. 解析: 依题意,显然a≠0. 因为f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x∈[-1,2], 所以令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).

(1)若a>0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f ( x) -7a+b -1 (-1,0) + ? 0 0 极大值 (0,2) - ? -16a+b 2

由上表知,当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3.
又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,故f(-1)>f(2), 所以当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=

2.

(2)若 a<0,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) -7a+b -1 (-1,0) - ? 0 0 极小值 (0,2) + ? -16a+b 2

所以当 x=0 时,f(x)取得最小值,所以 f(0)=b=-29.

又 f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29, 故 f(2)>f(-1). 所以当 x=2 时,f(x)取得最大值, 即-16a-29=3,a=-2. 综上所述,所求 a,b
? ?a=2, 的值为? ? ?b=3 ? ?a=-2, 或? ? ?b=-29.

与最值有关的恒成立问题
已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得

极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x>0,不等式f(x)≥
-2c2恒成立,求c的取值范围. [思路点拨]

有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最 值问题.求解时要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知, 即函数是以已知范围的变量为自变量的函数. 一般地,λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;

λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.

3 . 已 知 函 数 f(x) = x3 - 3x2 - 9x + c , 当 x∈[ - 2,6] 时 ,
f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围. 解析: f(x)=x3-3x2-9x+c, f′(x)=3x2-6x-9. 当x变化时,f′(x),f(x)随x的变化如下表: x f′(x) f ( x) (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 c+5 (-1,3) - ? 3 0 极小值 c-27 (3,+∞) + ?

而f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54,

要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可,
当c≥0时,c+54<2c,∴c>54; 当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18.

∴c∈( - ∞ ,- 18)∪(54 ,+ ∞ ) ,此即为参数 c 的取值范
围.

◎求函数f(x)=x3-3x2-9x+5,x∈[-5,6]的最大值和最小 值. 【错解】 得x=-1或x=3. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) (-5,-1) -1 0 + ? 10 (-1,3) - ? 3 0 -22 (3,6) + ? f′(x)=3x2-6x-9.令f′(x)=3x2-6x-9=0,解

从上表可知,函数f(x)的最大值为10,最小值为-22.

【错因】

错解的原因在于忽视闭区间端点的函数值.将

f(x)的各极值与函数端点值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是 最大值,最小的一个就是最小值.如果仅仅是求最值,还可将

上面的办法简化,只需将所有可能为极值点的函数值与端点函
数值进行比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值.函数 f(x) 在闭区间上一定存在最大值与最小值,且一定不要忽略端

点的函数值.
【正解】 由f(x)的定义域为闭区间[-5,6],而f(-5)=- 150 , f(6) = 59 ,与函数的极值比较,可知函数 f(x) 的最大值为 59,最小值为-150.


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